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2018-2019学年最新高中数学人教B版必修一学案:1章末复习提升

1.集合中元素的特性 集合中元素有两大特性——确定性、互异性,确定性是指构成集合的元素要有明确的标准; 而互异性是指一个集合中的元素不能有重复,求含有参数的集合元素时利用互异性来进行 讨论,从而达到确定集合的目的. 2.空集的特殊性和特殊作用 空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集, 在解决集合之间关系问题时,它往往被忽视而导致漏解. 3.集合的运算 集合的运算有交、并、补三种.在集合运算过程中应力求做到“三化” : (1)意义化:即首先分清集合的类型,是表示数集、点集,还是某类图形? (2)具体化:具体求出相关集合中函数的 x 的取值集合、y 的取值集合或方程、不等式的解集 等;不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式. (3)直观化:借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来,从而借助数 形结合思想解决问题. 进行集合的运算时应当注意: ①勿忘对空集情形的讨论; ②勿忘集合中元素的互异性; ③对于集合 A 的补集运算,勿忘 A 必须是全集的子集; ④对于含参数(或待定系数)的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍. 题型一 集合间的关系 集合与集合之间的关系有包含和相等的关系,判断两集合之间的关系,可从元素特征入手, 并注意代表元素. 例 1 已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若 B?A,求实数 m 的取值范围; (2)若 x∈Z,求 A 的非空真子集个数. 解 ∵A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1)∵B?A,①B≠? 如图所示 m+1≥-2, ? ? ∴?2m-1≤5, ? ?2m-1≥m+1, m≥-3, ? ? 即?m≤3, ? ?m≥2. ②B=? 由 m+1>2m-1 得 m<2. 综上 m≤3. (2)∵x∈Z,∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}. 则 A 的非空真子集个数为 28-2=254. 跟踪演练 1 下列正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x2+x=0}关系的 Venn 图是( ) ∴2≤m≤3. 答案 B 解析 由 N={-1,0},知 N ? M,故选 B. 题型二 集合的运算 集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,在运算过程中往往会因考虑不全 面而出现错误,不等式解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列举法表示的集合运算常 用 Venn 图法,运算时特别注意对?的讨论,不要遗漏. 例2 已知集合 A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}. (1)若(?RA)∪B=R,求 a 的取值范围. (2)是否存在 a 使(?RA)∪B=R 且 A∩B=?? 解 (1)A={x|0≤x≤2}, ∴?RA={x|x<0,或 x>2}. ∵(?RA)∪B=R. ? ?a≤0, ∴? ∴-1≤a≤0. ?a+3≥2, ? (2)由(1)知(?RA)∪B=R 时, -1≤a≤0,而 2≤a+3≤3, ∴A?B,这与 A∩B=?矛盾.即这样的 a 不存在. 跟踪演练 2 (1)已知集合 U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(?UA)∩B=________. (2)已知集合 A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则 A∩B 等于( A.{x∈R|x≤2} C.{x∈R|-2≤x≤2} 答案 解析 (1){6,8} (2)D B.{x∈R|1≤x≤2} D.{x∈R|-2≤x≤1} ) (1)∵U={2,3,6,8},A={2,3},∴?UA={6,8}. ∴(?UA)∩B={6,8}∩{2,6,8}={6,8}. (2)A={x∈R||x|≤2}={x∈R|-2≤x≤2}. ∴A∩B={x∈R|-2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1} ={x∈R|-2≤x≤1}. 题型三 分类讨论思想的应用 在解决含有字母参数的问题时,常用到分类讨论思想.分类讨论时要弄清对哪个字母进行分 类讨论,分类的标准是什么,分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为: 集合元素互异性、集合运算中出现 A?B,A∩B=A,A∪B=B 等符号语言时对?的讨论等. 例 3 已知集合 A={x|x>0},B={x|x2-x+p=0},且 B?A,求实数 p 的范围. 解 (1)当 B=?时,B?A,由 Δ=(-1)2-4p<0, 1 解得 p> . 4 (2)当 B≠?,且 B?A 时, 方程 x2-x+p=0 存在两个正实根. 由 x1+x2=1>0,Δ=(-1)2-4p≥0, 1 且 x1x2=p>0,得 0<p≤ . 4 由(1)(2)可得 p 的取值范围为{p|p>0}. 跟踪演练 3 设集合 A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若 A∩B={9},求满足条 件的 x 的值. 解 由 A∩B={9},得 9∈A,所以 x2=9 或 2x-1=9. 故 x=± 3 或 x=5. 当 x=3 时,B={-2,-2,9},与集合中元素的互异性矛盾,应舍去. 当 x=-3 时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},满足题意. 当 x=5 时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},A∩B={9,-4}与已知矛盾,应舍去, 综上所述,满足条件的 x 值为-3. 题型四 数形结合思想 集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助 Venn 图、数轴等工具利用数形结合思想将抽 象问题直观化、形象化、明朗化,从而使问题获解. 例 4 已知集合 A={x|x<-1,或 x≥1},B={x|2a<x<a+1,a<1},B?A,求实数 a 的 取值范围. 解 ∵a<1,∴2a<a+1,B≠?. 画出数轴分析,如图所示. 由图知,要使 B?A,需 2a≥1 或 a+1≤-1, 1 即 a≥ 或 a≤-2.又∵a<1, 2 1 ∴实数 a 的取值范围是{a|a

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