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《线性变换的基本性质》教学课件1 (1)_图文

数学中,经常通过引入新的工具,建立不同对象之间 的联系来研究问题。 矩阵正是研究图形变换的基本工具。 正如前面,我们用二阶矩阵与平面向量(列向量)的 乘积来表示线性变换这一特殊的几何变换。 线性变换坐标公式 ? x? ? ax ? by ( a, b, c, d 均为 ? ? y? ? cx ? dy 常数) 矩阵乘向量表示 ? x? ? ? a b ?? x ? ? ?? ? ? ?? ? y c d ? ? ? ?? y ? 点和线是构成平面图形的基本元素。 自然地,我们就会提出问题: 直线在线性变换作用下变成什么图形呢? 第一环节:请同学们自主学习; 第二环节:师生共同探究。 线性变换的基本性质 性质 1(运算律) 设 A 是一个二阶矩阵, ? , ? 是平面上 的任意两个向量, ? 是一个任意实数,则 ( 1) ???? ? ? ??? ; ( 2) ??? ? ? ? ? ?? ? ?? . 定理 1 设 A 是一个二阶矩阵, ? , ? 是平面上的任意两个 向量, ?1 , ?2 是两个任意实数,则 ???1? ? ?2 ? ? ? ?1?? ? ?2 ?? . 教材是用什么方法得出上述结论的? 从特殊到一般,再对一般结论给出逻辑证明。 问题: 直线在线性变换作用下变成什么图形呢? 第一环节:请同学们自主学习; 第二环节:师生共同探究。 线性变换的基本性质 策略一:从特殊到一般。 1.投影变换 在 直 角 坐 标 xOy 内 , 关 于 x 轴 的 投 影 变 换 ? x? ? ? 1 0 ?? x ? ? ?? ? ? ?? ? 把垂直于 x 轴的直线 x ? t ( t 为常数)变 ? y ? ? 0 0 ?? y ? 成什么图形?把其它直线变成什么图形? 2.伸缩变换 ? x? ? ? 1 0 ?? x ? 在直角坐标 xOy 内, 伸缩变换 ? ? ? ? 把直线 ?? ? ? y? ? ? 0 2 ?? y ? Ax ? By ? D ? 0 ( A, B 不同时为 0 )变成什么图形? 3.切变变换 ? x? ? ? 1 0 ?? x ? 在直角坐标 xOy 内, 切变变换 ? ? ? ? 把直线 ?? ? ? y? ? ? 2 1 ?? y ? Ax ? By ? D ? 0 ( A, B 不同时为 0 )变成什么图形? 线性变换的基本性质 提出猜想: 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变 成直线(或一点) 。 你能类比上面的方法给出证明吗? ? x? ? ? a b ?? x ? 试证: 在直角坐标 xOy 内, 线性变换 ? ? ? ? ?? ? ? y c d ? ? ? ?? y ? ( a, b, c, d 均为常数)把直线 Ax ? By ? D ? 0 ( A, B 不同时 为 0)变成直线(或一点) 。 线性变换的基本性质 ? x? ? ? a b ?? x ? ? x? ? ax ? by 分析:由 ? ? ? ? ,得 ? , ?? ? ? y? ? ? c d ?? y ? ? y? ? cx ? dy 所以, (ad ? bc) x ? dx? ? by? , (ad ? bc) y ? ay? ? cx? dx? ? by ? ay ? ? cx? (i)当 ad ? bc ? 0 时, x ? ,y? ad ? bc ad ? bc 代入直线方程 Ax ? By ? D ? 0 , dx? ? by? ay ? ? cx? ? B? ?D ?0, 得 A? ad ? bc ad ? bc 即 (dA ? cB) x? ? (aB ? bA) y? ? (ad ? bc) D ? 0 ( *) , 此时 dA ? cB 与 aB ? bA 不同时为 0,所以( *)式表示 一条直线; (ii)当 ad ? bc ? 0 时,… 线性变换的基本性质 策略二:转化化归。 转化的关键是把直线表示成向量的形式。 (1)对于任意两个不同向量 ? ,? ,由它们的终 点所确定的直线 l 可表示为:? ? ?1? ? ?2 ? ,其中 ?1 , ?2 是实参数,且 ?1 ? ?2 ? 1 . (2) 经过向量 ? 的终点且平行于非零向量 ? 的直 线 l 可表示为: ? ? ? ? ? ? ,其中 ? 是实参数. 性质 2(几何解释) 一般地,二阶矩阵对应的线性变换把 平面上的直线变成直线(或一点). 知识运用: 1? ? 1 ? 2 ?2? 1. 矩 阵 ? ? 对 应 的线 性变 换把 直 线 y ? x ? 2 变 成 ?? 1 1 ? ? ? ? 2 2 ? ________,把直线 y ? 2 x 变成________. 2. 教材第 27 页习题 1.3 第 2 题 反思学习: 1.本节课你学到了什么知识? 2.我们是怎样得到线性变换的基本性质的?有什么特 别值得注意的地方? 3.从数学思想与方法上,你还有哪些收获? 4.拓展探究:具有什么性质的线性变换才把直线变成 直线? (可逆的线性变换,请查阅资料) 分层作业: 基础题:教材第 27 页习题 1.3 第 1、3 题 ??? ? ??? ? 提高题:如图,向量 OA 、 OB 在矩阵 M 对应的 线性变换作用下分别变成 ???? ? ???? ? / OA 、 OB/ . (Ⅰ)求矩阵 M ; ? ( Ⅱ ) 求 y ? sin( x ? ) 在 3 M 对应的线性变换作用下 的函数解析式. 谢谢大家!

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