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《线性变换的基本性质》教学课件1 (1)


数学中,经常通过引入新的工具,建立不同对象之间 的联系来研究问题。 矩阵正是研究图形变换的基本工具。 正如前面,我们用二阶矩阵与平面向量(列向量)的 乘积来表示线性变换这一特殊的几何变换。 线性变换坐标公式 ? x? ? ax ? by ( a, b, c, d 均为 ? ? y? ? cx ? dy 常数) 矩阵乘向量表示 ? x? ? ? a b ?? x ? ? ?? ? ? ?? ? y c d ? ? ? ?? y ? 点和线是构成平面图形的基本元素。 自然地,我们就会提出问题: 直线在线性变换作用下变成什么图形呢? 第一环节:请同学们自主学习; 第二环节:师生共同探究。 线性变换的基本性质 性质 1(运算律) 设 A 是一个二阶矩阵, ? , ? 是平面上 的任意两个向量, ? 是一个任意实数,则 ( 1) ???? ? ? ??? ; ( 2) ??? ? ? ? ? ?? ? ?? . 定理 1 设 A 是一个二阶矩阵, ? , ? 是平面上的任意两个 向量, ?1 , ?2 是两个任意实数,则 ???1? ? ?2 ? ? ? ?1?? ? ?2 ?? . 教材是用什么方法得出上述结论的? 从特殊到一般,再对一般结论给出逻辑证明。 问题: 直线在线性变换作用下变成什么图形呢? 第一环节:请同学们自主学习; 第二环节:师生共同探究。 线性变换的基本性质 策略一:从特殊到一般。 1.投影变换 在 直 角 坐 标 xOy 内 , 关 于 x 轴 的 投 影 变 换 ? x? ? ? 1 0 ?? x ? ? ?? ? ? ?? ? 把垂直于 x 轴的直线 x ? t ( t 为常数)变 ? y ? ? 0 0 ?? y ? 成什么图形?把其它直线变成什么图形? 2.伸缩变换 ? x? ? ? 1 0 ?? x ? 在直角坐标 xOy 内, 伸缩变换 ? ? ? ? 把直线 ?? ? ? y? ? ? 0 2 ?? y ? Ax ? By ? D ? 0 ( A, B 不同时为 0 )变成什么图形? 3.切变变换 ? x? ? ? 1 0 ?? x ? 在直角坐标 xOy 内, 切变变换 ? ? ? ? 把直线 ?? ? ? y? ? ? 2 1 ?? y ? Ax ? By ? D ? 0 ( A, B 不同时为 0 )变成什么图形? 线性变换的基本性质 提出猜想: 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变 成直线(或一点) 。 你能类比上面的方法给出证明吗? ? x? ? ? a b ?? x ? 试证: 在直角坐标 xOy 内, 线性变换 ? ? ? ? ?? ? ? y c d ? ? ? ?? y ? ( a, b, c, d 均为常数)把直线 Ax ? By ? D ? 0 ( A, B 不同时 为 0)变成直线(或一点) 。 线性变换的基本性质 ? x? ? ? a b ?? x ? ? x? ? ax ? by 分析:由 ? ? ? ? ,得 ? , ?? ? ? y? ? ? c d ?? y ? ? y? ? cx ? dy 所以, (ad ? bc) x ? dx? ? by? , (ad ? bc) y ? ay? ? cx? dx? ? by ? ay ? ? cx? (i)当 ad ? bc ? 0 时, x ? ,y? ad ? bc ad ? bc 代入直线方程 Ax ? By ? D ? 0 , dx? ? by? ay ? ? cx? ? B? ?D ?0

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