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湖北省2013年高考试卷(理数)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理科)
一、选择题 1、在复平面内,复数 z ? A. 第一象限 【解析与答案】 z ?

2i ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( 1? i
C. 第三象限 D. 第四象限



B. 第二象限

2i ? 1 ? i ,? z ? 1 ? i 。 1? i

故选 D 【相关知识点】复数的运算

? ? 1 ?x ? ? ? 2 2、 已知全集为 R , 集合 A ? ? x ? ? ? 1? ,B ? ?x | x ? 6 x ? 8 ? 0? , A ? C R B ?( 则 ? ?2? ? ? ?
A. ? x | x ? 0? C. B. D. ?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?



?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

【解析与答案】 A ? ? 0, ?? ? , B ? ? 2, 4 ? ,? A ? CR B ? ? 0, 2 ? ? ? 4, ?? ? 。 故选 C 【相关知识点】不等式的求解,集合的运算 3、在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围” q 是 , “乙降落在指定范围” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A. ? ?p ? ? ? ?q ? B. p ? ? ?q ? C.

? ?p ? ? ? ? q ?

D. p ? q

【解析与答案】 “至少有一位学员没有降落在指定范围” 即: “甲或乙没有降落在指定范围内” 。 故选 A。 【相关知识点】命题及逻辑连接词 4、将函数 y ?

3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的


图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.

?
12

B.

?
6

C.

?
3
? ?

D.

5? 6

【解析与答案】 y ? 2 cos ? x ?

??

? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后变成 6?

? ? ? ? y ? 2 cos ? x ? ? m ? ,所以 m 的最小值是 。故选 B。 6 6 ? ?

1

【相关知识点】三角函数图象及其变换 5、已知 0 ? ? ? ( ) A.实轴长相等

?
4

,则双曲线 C1 :

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 与 C2 : 2 ? 2 ? 1的 cos2 ? sin ? sin ? sin ? tan 2 ?
C.焦距相等 D. 离心率相等

B.虚轴长相等

【解析与答案】双曲线 C1 的离心率是 e1 ?

1 ,双曲线 C2 的离心率是 cos ?

e2 ?

sin 2 ? ?1 ? tan 2 ? ? sin ?

?

1 ,故选 D cos ?
??? ?
??? ?

【相关知识点】双曲线的离心率,三角恒等变形 6、已知点 A ? ?1,1? 、 B ?1, 2 ? 、 C ? ?2, ?1? 、 D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 ( A. )

3 15 2 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? AB ?CD 15 3 2 【解析与答案】 AB ? ? 2,1? , CD ? ? 5,5? ,? ??? ,故选 A。 ? ? ? 2 5 2 CD
B. C. ? D. ? 【相关知识点】向量的坐标运算,向量的投影

3 2 2

3 15 2

3 2 2

25 (t 1? t 的单位: s , v 的单位: m / s )行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位; m )是
7、一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v ? t ? ? 7 ? 3t ? ( ) B. 8 ? 25ln A. 1 ? 25ln 5

11 3

C. 4 ? 25ln 5

D. 4 ? 50 ln 2

【解析与答案】令 v ? t ? ? 7 ? 3t ?

25 ? 0 ,则 t ? 4 。汽车刹车的距离是 1? t

?

25 ? ? ? 7 ? 3t ? ? dt ? 4 ? 25ln 5 ,故选 C。 0 1? t ? ?
4

【相关知识点】定积分在实际问题中的应用 8、一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别 记为 V1 ,V2 ,V3 ,V4 ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体, 则有( ) B. V1 ? V3 ? V2 ? V4 D. V2 ? V3 ? V1 ? V4

A. V1 ? V2 ? V4 ? V3 C. V2 ? V1 ? V3 ? V4

2

【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选 C 【相关知识点】三视图,简单几何体体积 9、如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同样大小的小正方体。经过搅拌 后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为 X ,则 X 的均值为 E ? X ? ? A.

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

【解析与答案】三面涂有油漆的有 8 块,两面涂有油漆的有 36 块,一面涂有油漆的有 54 块,没有涂有油漆的有 27 块,所以 E ? X ? ? 3 ? 【相关知识点】古典概型,数学期望 10、已知 a 为常数,函数 f ( x ) ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则( )

8 36 54 6 ? 2? ? 1? ? 。故选 B。 125 125 125 5

A.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

C.

D.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

【解析与答案】令 f ?( x ) ? 1 ? 2ax ? ln x ? 0 得 0 ? 2a ? 1 , ln xi ? 2axi ? 1(i ? 1, 2) 。 又 f ??

1 ? 1 ? ? x2 。 ? ? 0 ,? 0 ? x1 ? 1 ? 2a ? 2a ?

3

? f ( x1 ) ? x1 ln x1 ? ax12 ? x1 ? 2ax1 ? 1? ? ax12 ? ax12 ? x1 ? 0 ,
2 f ( x2 ) ? ax2 ? x2 ? x2 ? ax2 ? 1? ? ax2 ? 1 ? a ?

1 1 ?1 ? ? 2a 2

故选 D。 【相关知识点】函数导数与极值,函数的性质 二、填空题 (一)必考题 11、从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频 率分布直方图所示。 (I)直方图中 x 的值为 ; (II)在这些用户中,用电量落在区间 ?100, 250 ? 内的户数为 。

第 11 题图 【解析与答案】 ? 0.006 ? 0.0036 ? 0.0024 ? 2 ? 0.0012 ? x ? ? 50 ? 1 , x ? 0.0044

? 0.0036 ? 0.006 ? 0.0044 ? ? 50 ? 100 ? 70
【相关知识点】频率分布直方图 12、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i ?
开始



a ? 10, i ? 1
a ? 4?
否 是 是

a 是奇数 ?



a ? 3a ? 1

a?

a 2

输出 i

i ? i ?1

结束

【解析与答案】5 程序框图运行过程如表所示: i a 1 10 2 5 3 16 4 8 5 4

4

【相关知识点】程序框图 13、 x, y , z ? R , 设 且满足:x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,x ? 2 y ? 3z ? 14 , x ? y ? z ? 则 【解析与答案】由柯西不等式知 12 ? 2 2 ? 32 。

?

?? x

2

? y 2 ? z 2 ? ? ? x ? 2 y ? 3z ? ,结合已知
2

条件得

x y z 14 3 14 x y z ,x? y?z ? 。 ? ? ,从而解得 ? ? ? 1 2 3 14 7 1 2 3

【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件) 14、 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。 如三角形数 1,3,6,10, ?, n 个 第 三角形数为

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n 。记第 n 个 k 边形数为 N ? n, k ? ? k ? 3? ,以下列出了部 2 2 2

分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ?? 可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ?
2

N ? n,3? ?

1 2 1 n ? n 2 2

N ? n, 4 ? ? n 2

N ? n,5? ?

3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n



【解析与答案】观察 n 和 n 前面的系数,可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差 数列,故 N ? n, 24 ? ? 11n ? 10n ,? N ?10, 24 ? ? 1000
2

【相关知识点】归纳推理,等差数列 (二)选考题 15、如图,圆 O 上一点 C 在直线 AB 上的射影为 D ,点 D 在半径 OC 上的射影为 E 。若

AB ? 3 AD ,则

CE 的值为 EO



C

A

E D O

B

第 15 题图

AD ?? AB ? AD ? CE CD 2 AD ?BD ? ? ? ?8 2 2 2 EO OD ?OA ? AD ? ? 1 AB ? AD ? 【解析与答案】由射影定理知 ? ? ?2 ?
5

【相关知识点】射影定理,圆幂定理

? x ? a cos ? ?? 为参数,a ? b ? 0 ? 。在 ? y ? b sin ? 极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极
16、在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ? 轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ? sin ? ? ?

2 m ? m为非零常数 ? 与 ?? 4? 2 。 ? ? b 。若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为
2b ,所以

? ?

??

【解析与答案】直线 l 的方程是 x ? y ? m ,作出图形借助直线的斜率可得 c ?

c2 ? 2 ? a 2 ? c2 ? , e ?

6 3

【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化,椭圆的几何性质,直线与圆 三、解答题 17、 ?ABC 中, A ,B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c 。 在 角 已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 。 (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值。 【解析与答案】 (I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?
(II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

a2 1 2 ? 28 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ? sin 2 A 2 bc 5 ? sin B sin C ? ? 2 4R 7

【相关知识点】二倍角公式,解三角函数方程,三角形面积,正余弦定理 18、已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10 , a1a2 a3 ? 125 。 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m , 使得 说明理由。 【解析与答案】 (I)由已知条件得: a2 ? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 , 所以数列 ?an ? 的通项或 an ? 5 ? 3 (II)若 q ? ?1 ,
n ?2

1 1 1 ? ??? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在, a1 a2 am

1 1 1 1 ? ??? ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; a1 a2 am 5

m 1 1 1 9 ? ?1? ? 9 若q ? 3, ? ,不存在这样的正整数 m 。 ??? ? ?1 ? ? ? ? ? a1 a2 am 10 ? ? 3 ? ? 10 ? ?

【相关知识点】等比数列性质及其求和 19、如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,直线 PC ? 平面 ABC , E , F 分别是 PA , PC 的中点。 (I)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以 证明; (II)设(I)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ,且点 Q 满足 DQ ?

????

? 1 ??? CP 。记直线 PQ 2

6

与平面 ABC 所成的角为 ? ,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ? ,二面角 E ? l ? C 的大小 为 ? ,求证: sin ? ? sin ? sin ? 。

第 19 题图 【解析与答案】 (I)? EF ? AC , AC ? 平面ABC , EF ? 平面ABC

? EF ?平面ABC 又 EF ? 平面BEF ? EF ? l ? l ?平面PAC
(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证。 (这一题用几何方法较快,向量的方法很 麻烦, 特别是用向量不能方便的表示角的正弦。 个人认为此题与新课程中对立体几何的处理 方向有很大的偏差。 )

7

【相关知识点】

8

20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N 800,502 的随机变量。记一 天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 。 (I)求 p0 的值; (参考数据:若 X ? N ? , ?

?

?

?

2

? ,有 P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 ,

) P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544 , P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974 。 (II)某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往 返一次, A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆。 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队, 并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙 地的运营成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆?

1 ? 0.9544 ? 0.9772 2 (II)设配备 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,运营成本为 z 元,由已知条件得
【解析与答案】 (I) p0 ? 0.5 ?

? x ? y ? 21 ?36 x ? 60 y ? 900 ? ,而 z ? 1600 x ? 2400 y ? y?x?7 ? ? x, y ? N ?

作出可行域,得到最优解 x ? 5, y ? 12 。 所以配备 A 型车 5 辆, B 型车 12 辆可使运营成本最小。 【相关知识点】正态分布,线性规划 21、如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分

别为 2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 。 n (I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值;
大到小依次为 A , B , C , D 。记 ? ? (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由。 y

A B

M
C

O

N

x

D
第 21 题图
9

m ?1 ? ?1 n ? 【解析与答案】 (I) S1 ? ? S2 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,? ? ? m ?1 ? ?1 n 解得: ? ? 2 ? 1 (舍去小于 1 的根) x2 y2 x2 y2 (II)设椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ? a ? m ? , C2 : 2 ? 2 ? 1 ,直线 l : ky ? x a m a n ? ky ? x a 2 ? m 2k 2 2 am ? 2 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y 2 2 am a 2 ? m 2k 2 ? a 2 ? m2 ? 1 ?
同理可得, y B ?

an
2

a ? n 2k 2 又? ?BDM 和 ?ABN 的的高相等 S BD y B ? y D y B ? y A ? 1 ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

如果存在非零实数 k 使得 S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? y B , 即:

2 2 ? 2 ? ? ? 1? ? ? ? 1? ,解得 k 2 ? a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? ? 2 a 2 ? ? 2n 2k 2 a ? n 2k 2 4n 2? 3 ? 当 ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,不存在这

样的直线 l 。 【相关知识点】直线与椭圆相交的问题(计算异常复杂) 22、设 n 是正整数, r 为正有理数。 (I)求函数 f ( x ) ? ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1( x ? ?1) 的最小值;
?n
r

n r ?1 ? ? n ? 1? (II)证明: r ?1

r ?1

? n ? 1? ?

? n r ?1 ; r ?1

r ?1

(III)设 x ? R ,记 ? x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 4 , ? ? ? ? ?1 。 ? ? ? ? ? ? 2 令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? 3 125 ,求 ? S ? 的值。 ? ? (参考数据: 80 ? 344.7 , 81 ? 350.5 , 124 ? 618.3 , 126 ? 631.7 ) 证明: (I) f ?( x ) ? ? r ? 1??1 ? x ? ? ? r ? 1? ? ? r ? 1? ? ?1 ? x ? ? 1? ? ?
r r

? 3? ? ?

4 3

4 3

4 3

4 3

? f ( x ) 在 ? ?1,0 ? 上单减,在 ? 0, ?? ? 上单增。

? f ( x ) min ? f (0) ? 0
(II)由(I)知:当 x ? ?1 时, ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1 (就是伯努利不等式了)

? n r ?1 ? ? r ? 1? n r ? ? n ? 1? r ?1 ? 所证不等式即为: ? r ?1 r ?1 r ? n ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1? ?
若 n ? 2 ,则 n
r ?1

? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?
r

r ?1

? 1? ? ? n ? r ? 1? ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n?

r

10

r ? 1? ? 1? ? ? 1 ? ? ????① n ?1 ? n ?
r r r ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 , ? ? ? n n ?1 n ? n? r r r ? 1? ,故①式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ?1 ? n?
若 n ? 1, n
r ?1

r

r

? ? r ? 1? n r ? ? n ? 1?
r r ?1

r ?1

显然成立。
r

n

r ?1

? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?

? 1? ? n ? r ? 1 ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n? r r ? 1? ? 1? ? ? 1 ? ? ????② n ?1 ? n ?

r r r ? 1? ? ?1 ? ? ? ? 1 , ? n n ?1 ? n? n r r r ? 1? ,故②式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ?1 ? n?
综上可得原不等式成立。 (III)由(II)可知:当 k ? N 时,
*
1 4 4? 4 ? 3? 4 3? k 3 ? ? k ? 1? 3 ? ? k 3 ? ? ? k ? 1? 3 ? k 3 ? ? 4? 4? ? ? 4 4 4 125 4? ? ? 3 3? ? S ? ? ? k 3 ? ? k ? 1? 3 ? ? ? 125 3 ? 80 3 ? ? 210.225 4 k ?81 ? ? 4? ? 4 4 4 125 4 ? ? 3? ? 3 S ? ? ?? k ? 1? 3 ? k 3 ? ? ? 126 3 ? 813 ? ? 210.9 4 k ?81 ? ? 4? ?

r

? ? S ? ? 211 ? ?

11


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