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2018年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时达标2命题及其关系充分条件与必要条件理


2018 年高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 课时达标 2 命题及其关系、充分条件与必要条件 理
[解密考纲]考查命题及其相互关系、 充分条件及必要条件的定义, 与高中所学知识交汇 考查,常以选择题、填空题的形式呈现,考卷中常排在靠前的位置. 一、选择题 1.(2016·上海卷)设 a∈R,则“a>1”是“a >1”的( A.充分非必要条件 C.充要条件
2

A )

B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

2.原命题为“△ABC 中,若 cos A<0,则△ABC 为钝角三角形”,关于其逆命题,否命 题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( B A.真,真,真 C.真,真,假 )

B.假,假,真 D.真,假,假

解析:因为 cos A<0,0<A<π ,则 A 必为钝角,△ABC 为钝角三角形,所以原命题为真, 从而逆否命题也为真;△ABC 为钝角三角形,可能是 B 或 C 为钝角,A 为锐角,则 cos A>0, 所以逆命题为假,从而否命题也为假,故选 B. 3.(2015·湖北卷)l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线,q:l1,l2 不相交,则( A )

A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 解析:两直线异面,则两直线一定无交点,即两直线一定不相交;而两直线不相交,有 可能是平行,不一定异面,故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件,故选 A. 4.(2017·安徽合肥八中月考)已知 a,b 是两个非零向量,给定命题 p:|a+b|=|a| +|b|;命题 q:? t∈R,使得 a=tb;则 p 是 q 的( A ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:|a+b|=|a|+|b|?a 与 b 同向,? t∈R,使得 a=tb?a 与 b 同向或反向,显 然 p? q,q? / p,故选 A. 5.(2016·四川卷)A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R},则“x∈A”是 “x∈B”的( B ) B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
1

A.充分非必要条件 C.充分必要条件

解析:由已知得 A=(-∞,0]∪[2,+∞),B=(2,+∞),若“x∈B”,则必有“x ∈A”,反之不成立,即得“x∈A”是“x∈B”的必要非充分条件,故选 B. 6.下列四个选项中错误的是(
2

B )
2

A.命题“若 x≠1,则 x -3x+2≠0”的逆否命题是“若 x -3x+2=0,则 x=1” B.若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 C.若命题 p:? x∈R,x +x+1≠0,则?p:? x0∈R,x0+x0+1=0 D.“x>2”是“x -3x+2>0”的充分不必要条件 解析:对于 A,显然是正确的;对于 B,根据复合命题的真值表知,有 p 真 q 假、p 假 q 真、p 真 q 真三种情况,故选项 B 是错误的;对于 C,由全称命题的否定形式知选项 C 是正 确的;对于 D,x -3x+2>0 的解是 x>2 或 x<1,故选项 D 是正确的. 二、填空题 7.(2017·山东邹城模拟)已知命题 p:“若 a>b>0,则log1 a<log1 b+1”,命题 p 2 2 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为 2. 解析:∵a>b>0,∴log1 a<log1 b, 2 2 ∴命题 p 为真命题, 其逆命题为:若log1 a<log1 b+1,则 a>b>0, 2 2 ∵a=2,b=2 时,log1 a<log1 b+1,而 a=b. 2 2 ∴逆命题为假命题. 根据命题与其逆否命题的真假相同, 逆命题与否命题互为逆否命题, 知命题 p 的原命题、 逆命题、否命题、逆否命题中只有原命题及其逆否命题是真命题. 8.记不等式 x +x-6<0 的解集为集合 A,函数 y=lg(x-a)的定义域为集合 B.若“x ∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数 a 的取值范围为(-∞,-3]. 解析: 由 x +x-6<0 得-3<x<2, 即 A=(-3,2), 由 x-a>0, 得 x>a, 即 B=(a, +∞), 若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则 A? B,则 a≤-3. 9.下列四个命题中,真命题的序号是①②③④.(写出所有真命题的序号) ①若 a,b,c∈R,则“ac >bc ”是“a>b”成立的充分不必要条件; ②命题“? x0∈R,x0+x0+1<0”的否定是“? x∈R,x +x+1≥0”; ③命题“若|x|≥2,则 x≥2 或 x≤-2”的否命题是“若|x|<2,则-2<x<2”; 3 ④函数 f(x)=ln x+x- 在区间(1,2)上有且仅有一个零点. 2 解析:①若 c=0,则不论 a,b 的大小关系如何,都有 ac =bc ,而若 ac >bc ,则有 a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

>b,故“ac >bc ”是“a>b”成立的充分不必要条件,故①为真命题; ②特称命题的否定是全称命题,故命题“? x0∈R,x0+x0+1<0”的否定是“? x∈R,
2

2

2

x2+x+1≥0”,故②为真命题;
③命题“若 p,则 q”的否命题是“若?p,则?q”,故命题“若|x|≥2,则 x≥2 或 x≤ -2”的否命题是“若|x|<2,则-2<x<2”,故③为真命题; 3?? 3? ? 1? ? 1? ? ④由于 f(1)f(2)=?ln 1+1- ??ln 2+2- ?=?- ?×?ln 2+ ?<0,则函数 f(x)= 2?? 2? ? 2? ? 2? ? 3 3 ln x+x- 在区间(1,2)上存在零点,又由函数 f(x)=ln x+x- 在区间(1,2)上为增函数, 2 2 3 所以函数 f(x)=ln x+x- 在区间(1,2)上有且仅有一个零点,故④为真命题. 2 三、解答题 10.已知 p:-4<x-a<4,q:(x-2)(3-x)>0,若?p 是?q 的充分条件,求实数 a 的取 值范围. 解析:p:-4<x-a<4? a-4<x<a+4,

q:(x-2)(3-x)>0? 2<x<3,
又?p 是?q 的充分条件,即?p? ?q,等价于 q? p, 所以?
? ?a-4≤2, ? ?a+4≥3,

解得-1≤a≤6,即 a∈[-1,6].
2

11.(2016·山东淄博期末)函数 f(x)=lg(x -2x-3)的定义域为集合 A,函数 g(x)= 2 -a(x≤2)的值域为集合 B. (1)求集合 A,B; (2)已知命题 p:m∈A,命题 q:m∈B,若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值 范围. 解析: (1)A={x|x -2x-3>0}={x|(x-3)(x+1)>0}={x|x<-1 或 x>3}, B={y|y =2 -a,x≤2}={y|-a<y≤4-a}. (2)∵?p 是?q 的充分不必要条件, ∴q 是 p 的充分不必要条件, ∴B?A,∴4-a<-1 或-a≥3,∴a≤-3 或 a>5, 即 a 的取值范围是(-∞,-3]∪(5,+∞). 12.已知 p:x -8x-20≤0;q:x -2x+1-m ≤0. (1)若 p 是 q 的必要条件,求 m 的取值范围; (2)若?p 是?q 的必要不充分条件,求 m 的取值范围. 解析:由 x -8x-20≤0 得-2≤x≤10, 即 p:-2≤x≤10,q:1-m ≤x≤1+m .
3
2 2 2 2 2 4 2

x

x

(1)若 p 是 q 的必要条件,
?1-m ≥-2, ? 则? 2 ?1+m ≤10, ?
2

?m ≤3, ? 即? 2 ?m ≤9, ?

2

即 m ≤3,解得- 3≤m≤ 3,

2

即 m 的取值范围是[- 3, 3]. (2)∵?p 是?q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 的必要不充分条件.
? ?1-m ≤-2, 即? 2 ?1+m ≥10, ?
2

即 m ≥9,解得 m≥3 或 m≤-3.

2

即 m 的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).

4


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