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2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答(word版)

2017 年全国高中数学联赛江西省预赛试题 一、填空题(共 8 题,每题 10 分,计 80 分) 1 、 某人在将 2009 中间的两个数码 00 分别换成两位数 ab 与 cd 时,恰好都得到完全平方数: 2ab9 ? m2 , 2cd 9 ? n2 , ? m ? n ? ,则数组 m ? n, ab ? cd ? (100, 100) 解:注意到,对于整数 k ,若 k 的末位数为 9 ,则 k 的末位数必为 3 或 7 ,易知 2 ? ? 5 22 0 5 ? (4 442 ? 2000 ? 2ab9 , ) ,5 2 3 0 ? 2 5 2 9 ? cd ,因此 44 ? m ? n ? 55 ,于是,若要 m, n 满足 2 2 条件,只可能是, m ? 47, n ? 53 ,由于 47 ? 2209 , 53 ? 2809 , 所以 ab ? 20, cd ? 80, m ? 47, n ? 53 , m ? n, ab ? cd ? ?100,100 ? . ? ? y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1 的顶点和焦点,则椭圆的方程为: ? ?1 2、若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线 9 16 16 25 解:双曲线的两顶点为 ? 0, ? 3? ,两焦点为 ? 0, ? 5? ,故由条件,椭圆的两焦点为 ? 0, ? 3? , 两顶点为 ? 0, ? 5? ,因此, c ? 3, a ? 5 , b ? a ? c ? 16 ,则椭圆的方程为 2 2 2 x2 y 2 ? ? 1. 16 25 3、实数 x, y 满足 2x2 ? 3 y 2 ? 6 y ,则 x ? y 的最大值是 1 ? 2 1 10 。 2 2 2 2 解:令 x ? y ? t ,则 x ? t ? y ,由 2 ? t ? y ? ? 3 y ? 6 y ,得 5 y ? 2 ? 2t ? 3? y ? 2t ? 0 , 2 因 y 为实数,则判别式 ? ? 4 ? 2 t ? 3 ? ? 4 ? 5 ? 2 t ? 0 ,得 2 2 ? 10 2 ? 10 ?t ? . 2 2 0 4、四面体 ABCD 中, CD ? BC, AB ? BC, CD ? AC , AB ? BC ? 1 ,平面 BCD 与平面 ABC 成 45 的二面角,则点 B 到平面 ACD 的距离为 解: DC ? AC ? 0 3 . 3 2 ,作 DE ? 平面 ABC ,垂足为 E ,连 CE, AE ,由三垂线逆定理, EC ? BC , 2 ? D C 2 1 1 VABCD ? DE ? S ABC ? , ? 1, 又因 ABCE 为正方形,AE ? 1 , 3 6 1 1 3 ,设 B 到平面 ACD 的距离为 h ,由 h ? S ACD ? ,得 3 6 2 E ? D E 所以 ?DCE ? 45 , 故C 则 AD ? 2 ,因此正三角形 ACD 的面积为 h? 3 3 5、从集合 M ? ?1, 2,3,?, 2009? 中,去掉所有 3 的倍数以及 5 的倍数后,则剩下的元素个数为1072 . 3 的倍数有 ? 解: 集合 M 中, ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? 5 的倍数有 ? 15 的倍数有 ? ? 669 个, ? 401个, ? 133 ? ? ? 5 ? ? 15 ? ? ? 3 ? 个,则剩下的元素个数为 2009 ? ? 669 ? 401 ?133? ? 1072 个. 6 、函数 f ( x) ? 1 1 x ? x3 的值域是 [ ? , ] . 2 2 4 4 (1 ? x ) 解: f ( x) ? 当 x ? ? tan 1 1 1 1 x 1 ? x2 ? ,令 x ? tan ? ,则 f ? sin 2? ? cos 2? ? sin 4? ,由此, ? ? f ? , 2 2 2 4 4 4 1? x 1? x ? 8 , tan ? 8 时两边分别取得等号. 7 、 cos ? 15 ? cos 2? 4? 7? 1 ? cos ? cos ?? . 15 15 15 2 解:原式 ? ? cos ? ? ? 15 ? cos 7? ? ? 2? 4? ? 4? ? ? ? ? cos cos ? 2cos cos ? ? ? cos ? ? 2cos 15 ? ? 15 15 ? 15 5 15 5 ? 2cos ?? ? ? 1 4? ? ? ? ? ? ? ?2 cos sin ? ? . ? cos ? ? ?4cos sin sin ? cos 5 10 2 5? 15 15 ? 5 6 10 0 0 0 0 0 0 ( 注 : 由 sin 72 ? 2sin 36 cos36 ? 4sin18 cos18 cos36 , 则 sin18 cos 36 ? 0 0 c o s 5 ? ? 1 s i?n . ) 1 0 4 1 , 即 4 8 、九个连续正整数自小到大排成一个数列 a1 , a2 ,?, a9 ,若 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9为一平方数, a2 ? a4 ? a6 ? a8 为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是 18000 . 2 3 解:设这九数为 a ? 4, a ? 3, a ? 2, a ? 1, a, a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4 ,则有,5a ? m , 4a ? n , S ? 9a , 则a ? m2 n3 2 3 ? ,得 4m ? 5n ………① 5 4 3 ,再取 5m12 ? 2n1 Y A 2 3 令 n ? 2n1 , m ? 5m1 , 得 100m1 ,所以 ? 40n1 2 2 2 2 2 D M F X m1 ?

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