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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(7)


湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(7)
浠水一中特级教师命制
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题只有一个选项符合题目要求, 请将正确答案的序号填在答题卡相空格内。 ) 1.复数

i 在复平面内的对应点到原点的距离为 1? i
1 2
B.





A.

2 2

C.1

D. 2 )

2.已知函数 y ? 2 sin x 的定义域为 [ a, b] ,值域为[-2,1],则 b ? a 的值不可能是 ( A.

5? 6

B. ?

C.

7? 6

D. 2?

3. 已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量, a ? i ? 2 j , b ? i ? ? j 且 a 与 b 的夹角为锐角,则实 数 ? 的取值范围是 ( B. ( , ??) D. (??, ) )

1 ( ?2, ) 2 2 2 C. ( ?2, ) ( , ??) 3 3
A. ( ??, ?2) 4.已知数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? 的整数是 A. 24 B. 25
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1 2

1 2

48 ,Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项的和,则与 S98 最接近 n ? 2n
2

( C.
2



35

D.

36
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5. .已知 a , b ? R ,若关于 x 的方程 x ? ax ? b ? 0 的实根 x1 和 x 2 满足-1≤ x1 ≤1,1≤ x 2 ≤2, 则在平面直角坐标系 aOb 中, 点( a , b )所表示的区域内的点 P 到曲线 (a ? 3) 2 ? (b ? 2) 2 ? 1 上 的点 Q 的距离|PQ|的最小值为 A.3 2 -1 B.2 2 -1
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( D.2 2 +1
2 2

)

C.3 2 +1

6. 在平行四边形 ABCD 中 , AB ? BD ? 0 ,且 2 AB ? BD ? 4 ? 0 , 沿 BD 折成直二面角

A ? BD ? C ,则三棱锥 A ? BCD 的外接球的表面积是
A.16π 7.给出下列命题: B. 8π C. 4π D. 2π
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(

)

? ? ①若 a, b ? R , a ? b ,则 a ? b ? a b ? ab .②若 a, b ? R , a ? b ,则
3 3 2 2

a?m a ? b?m b

③若 a, b, c ? R? , 则

bc ac ab 1 1 ? ? ? a ? b ? c .④若 3x ? y ? 1, 则 ? ? 4 ? 2 3 a b c x y
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其中正确命题的个数为 A.1 个 8.已知 lim
x?2


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B.2 个

C.3 个
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D.4 个

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x 2 ? cx ? 2 b ? a ,且函数 y ? a ln x ? ? c 在 (1 , e) 上具有单调性 ,则 b 的取值范围 x?2 x
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是 A. (?? ,1] [e , ? ?) B. (?? , 0] [e , ? ?)
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( C. ( ?? , e] D. [1 , e]

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)

9. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在双曲线第一象限的 a2 b2
1 , tan?AF2 F1 ? ?2 ,则双曲线方程为 2

图象上,若△ AF 1 F2 的面积为 1,且 tan ?AF1 F2 ? ( )

5x 2 y 2 ? ?1 A. 12 3

12x 2 12 y 2 2 2 ? 3 y ? 1 C. 3 x ? ?1 B. 5 5
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x2 5 y2 ? ?1 D. 3 12

10. 定义在( -1,1 )上的函数 f(x) 满足: f ( x) ? f ( y) ? f (
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x ? y ;当 x ? (?1,0) 时,有 ) 1 ? xy

f ( x) ? 0 ; 若









1 1 1 1 1 P ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( 2 ) ??? f ( ), Q ? f ( ), 2 , 5 11 r ? r ?1 2009 ? 2009 ? 1 2
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?? f (

1 1 ), Q ? f ( ), R ? f (0) ;则 P,Q,R 的大小关系为 20092 ? 2009 ? 1 2

(

)

A.R>Q>P

B. P>R>Q

C. R>P>Q

D.不能确定

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将正确答案填写在答题卡相应横线 上。 ) 11.在 ? x ?
? ? 1 ? ? 展开式中,含 x 的负整数指数幂的项共有 2x ?
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10

项.

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2 2 12. 设函数 f ( x) ? g ( x ) ? x , 曲线 y ? g ( x) 在点(1, g (1) )处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,

则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为
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13. 将一个 4 ? 4 棋盘中的 8 个小方格染成黑色, 使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则 不同的染法种数有 .(用数字作答) 14. 圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中点,动点在圆 锥底面内(包括圆周) 。若 AM⊥MP,则 P 点形成的轨迹的长度为
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15. 设 a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? ... ? a12 ( x ? 2)12 ? ( x2 ? 2x ? 2)6 ,

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其中 ai (i ? 0,1, 2...12) 为常数, 则 2a2 ? 6a3 ? 12a4 ? 20a5 ? ... ? 132a12 ?
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三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)

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16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, ?A、?B、?C 的对边的边长分别为 a、b、c 且 a、b、c 成等比数列. (1)求角 B 的取值范围;
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(2)若关于 B 的不等式 cos 2 B ? 4 sin(

?
4

?

B ? B ) cos( ? ) ? m ? 0 恒成立 ,求 m 的取值范围. 2 4 2
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17.(本小题满分 12 分) 某汽车驾驶学校在学员结业前 ,对学员的驾驶技术进行 4 次考核,规定:按顺序考核, 一旦考核合格就不必参加以后的考核, 否则还需参加下次考核。若学员小李独立参加每次考 1 1 核合格的概率依次组成一个公差为 的等差数列, 他参加第一次考核合格的概率不超过 , 2 8 9 且他直到第二次考核才合格的概率为 。 32 (1)求小李第一次参加考核就合格的概率 p1 ; (2)求小李参加考核的次数 ? 的分布列和数学期望。
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18.(本小题满分 12 分) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD的底面为直角梯形, ?ADC ? ?DCB ? 90 , AD ? 1 ,
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BC ? 3 , PC ? CD ? 2 , PC ? 底面 ABCD , E 为 AB 的中点. (1)求证:平面 PDE ? 平面 PAC ; (2)求直线 PC 与平面 PDE 所成的角; (3)求点 B 到平面 PDE 的距离.
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P

C

D

A

E

B

19.(本小题满分 12 分)
1 2 , 其中 a 为常数.如果 x -2 x, g ( x) ? loga x (a>0, 且 a≠1) 2 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 是增函数 ,且 h?( x) 存在零点( h?( x) 为 h( x) 的导函数 ) .

已知函数 f ( x) ?

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(1)求 a 的值;

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(2)设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) (x1<x2)是函数 y=g(x)的图象上两点, g ?( x0 ) ?
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y2 ? y1 x2 ? x1

( g' ( x) 为 g ( x) 的导函数) , 证明 : x1 ? x0 ? x2 .
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20.(本小题满分 13 分) x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1、F2, 过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B a b 两点.
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(1)若点 A 在圆 x

2

? y 2 ? c 2( c 为椭圆的半焦距) 上,且|F1A|=c,求椭圆的离心率;
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(2)若函数 y ? 2 ? logm x (m ? 0且m ? 1) 的图象,无论 m 为何值时恒过定点 (b, a ) , 求 F2 A ? F2 B 的取值范围。

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21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? cos (1)求 a2 , a3 ; (2)求 {an } 的通项公式; (3)设 Sn 为数列 {
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?
2

(0 ? ? ?

?
2

) , an?1 ?
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1 ? an (n ? N *) . 2

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?
2

? a n } 的前 n 项和,证明: S n ?

?
2

.

2010 年高考数学模拟试题(理科)

(参考答案)
1.答案:B 2. 答案:D 3. 答案:A 解析:

1 1 i i ? i2 1 1 ? ? ? i 对应点为 ( , ) 2 2 2 1? i 1? i 2 2

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解析:值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选 D

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? ? 解析:注意到 a 与 b 的夹角为锐角,故 a ? b ? 1 ? 2? ? 0 ,且注意到
? ? ? ? ?2 时, a ? b
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4. 答案:D

解析: a n ?

48 n ? 2n
2
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1 1 1 1 1 ? 24 ( ? ) , S n ? 24(1 ? ? _ ) n n ?1 2 n ?1 n ? 2
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5.答案:A

4776 9900 2 解析 : (?1) ? a(?1) ? b ? 0;12 ? a ? b ? 0;2 2 ? 2a ? b ? 0; 由线性规划求出距 S 98 ? 36 ?
离的最小值;

6.答案:C

解析:折成直二面角后,AC 为外接球直径,

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(2R) 2 ? AC 2 ? AB2 ? BD2 ? CD 2 ? 2 AB2 ? BD2 ? 4 ,R =1,S=4π r =4π ;
2 2

7.答案:B

解析: (a ? b ) ? (a b ? ab ) ? (a ? b) (a ? b) ? 0; 所以①为真;
3 3 2 2 2

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m 的正负未知故②不能确定;

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bc ac bc ab ac ab ? ? 2c; ? ? 2b; ? ? 2a ,三式相加故③为真; a b a c b c
x,y 正负未知,故④不成立; 8.答案:A 解析:由题意知: a ? 1, c ? ?3 ,

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y ? a ln x ?

b b ? c ? ln x ? ? 3 x x
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从而 9. 答案:B

y? ?

1 b 1 b ? 2 ? 0 y ? ? ? 2 ? 0 在 (1 , e) 上 x x x x 或 恒成立

解析:设 ?F1 AF2 ? ? 由已知可求得 tan ? ? 面积 b cot
2

3 ? 1 ,从而 tan ? ,由焦点三角形 4 2 3

?
2

? 1 得, b 2 ?

1 3

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10.答案:C

解 析 : ∵ 函 数 f(x) 满 足 : f ( x) ? f ( y) ? f (

x ? y ; 当 x ? (?1,0) 时 , 有 ) 1 ? xy

f ( x) ? 0 ;

∴f(x)在(-1,1)为奇函数,单调减函数,且在(-1,0)时,f(x)>0,在(0,1)时 f(x)<0; ∴R=f(0)=0, Q ? f ( ) <0<R,

1 2

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1 1 ? 1 1 1 1 ∵ f( 2 )? f( ) ? f ( r r ?1 ) ? f ( ) ? f ( ), 1 1 r (r ? 1) ? 1 r r ?1 r ? r ?1 1? ? r r ?1
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1 1 1 1 1 ∴ P ? f ( 5 ) ? f (11) ? ? ? f ( r 2 ? r ? 1) ? ? ? f ( 20092 ? 2009 ? 1), Q ? f ( 2 ),
= [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? ? ? [ f (

1 2

1 3

1 3

1 4

1 1 1 1 )? f( )] ? f ( ) ? f ( ) 2009 2010 2 2010

1 ) >Q 2010 1 1 ) <0<R,故选 C P= f ( ) ? f ( 2 2010
=Q- f (
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二、填空题 11. 答案:4 12. 答案: 6 x ? y ? 2 ? 0
2 13. 答案: 解析: 第一行染 2 个黑格有 C 4 种染法. 第一行染好后,有如下三种情况:
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(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列, 这时其余行都只有一种染法;
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(2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列, 这时第三行有 C 4 种染法,第四行的
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2

染法随之确定; (3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有 4 种,而在第一、 第二这两行染好后,第三行染的黑格必然有 1 个与上面的黑格均不同列,这时第三行的染法 有 2 种,第四行的染法随之确定. 因此,共有染法为 6 ? ?1 ? 6 ? 4 ? 2? ? 90 种.
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14. 答 案 :

7 2









设 A(0,-1,0), B(0,1,0), S (0,0, 3) , M (0, 0,

3 ) , P(x,y,0). 于 是 有 2

AM ? (0,1,

3 3 3 3 ), MP ? ( x, y, ? ). 由于 AM ⊥ MP ,所以 (0,1, )? ( x, y, ? ) ? 0 ,即 2 2 2 2
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y?

3 3 2 7 ,此为 P 点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长度为 2 1 ? ( ) ? 4 4 2
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15.答案: 解析:两边求导,有:

a1 ? 2a2 ( x ? 2) ? 3a3 ( x ? 2) 2 ? ? ? ? ? 12a12 ( x ? 2)11 ? 6( x 2 ? 2x ? 2) 5 (2x ? 2) ①
再对上式求导,有

2a2 ? 6a3 ( x ? 2) ? 12a4 ( x ? 2) 2 ? ? ? ?132a12 ( x ? 2)10 ? 12( x 2 ? 2x ? 2) 4 (11x 2 ? 22x ? 8) 再对上式令 x ? ?1 得 2a2 ? 6a3 ? 12a4 ? ... ? 132a12 ? 492
三、解答题 16.解:1)

b2 ? ac

? cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac ? b 2 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2
1 2
故0 ? B ?

当且仅当 a ? b ? c 时, cos B ? 2) cos 2 B ? 4 sin(

?
3

………5 分

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?
4

?

B ? B ) cos( ? ) ? m 2 4 2

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1 3 ? B) ? m ? 2(cos B ? ) 2 ? m ? ……8 分 2 2 2 1 1 2 3 3 ? cos B ? 1 ? 2(cos B ? ) ? m ? ? ? m ? , m ? 1) 2 2 2 2 3 3 故原不等式恒成立,即 m ? ? 0 得 m ? 2 2 3 ? m 的取值范围为 ( , ??) .…12 分 2 1 9 1 5 17.解:1)根据题意,得 (1 ? p1 )( p1 ? ) ? ,解得 p1 ? 或 p1 ? . 8 32 4 8 1 1 1 ∵ p1? ,∴ p1? ,即小李第一次参加考核就合格的概率为 ………(6 分) 2 4 4 1 3 1 5 2)由⑴的结论知,小李四次考核每次合格的概率依次为 , , , , 4 8 2 8
= cos 2 B ? 2 sin(
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?

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∴ P (? ?1)? , P(? ?2)?

1 9 1 3 1 15 , P (? ?3)?(1? )?(1? )? ? ………………(8 分) 4 32 4 8 2 64 1 3 1 15 P (? ?4)?(1? )?(1? )?(1? )1 ?? …………………………………(10 分) 4 8 2 64

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1 9 15 15 157 ∴小李参加测试的次数 ? 的数学期望为 E? ?1? ? 2? ?3? ? 4? ? ………(12 分) 4 32 64 64 64 P 18.(Ⅰ)设 AC 与 DE 交点为 G ,延长 DE 交 CB 的延长线于点 F ,

则 ?DAE ? ?FBE ,∴ BF ? AD ? 1 ,∴ CF ? 4 ,∴ tan ?F ? 又∵ tan ?ACD ?

DC 1 ? , CF 2

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AD 1 ? ,∴ ?F ? ?ACD , DC 2

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H C
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又∵ ?ACD ? ?ACF ? 90 ,∴ ?F ? ?ACF ? 90 , ∴ ?CGF ? 90 ,∴ AC ? DE

D B F

A E 又∵ PC ? 底面 ABCD ,∴ PC ? DE ,∴ DE ? 平面 PAC , ∵ DE ? 平面 PDE ,∴平面 PDE ? 平面 PAC …………………………………(4 分) (Ⅱ)连结 PG ,过点 C 作 CH ? PG 于 H 点, 则由(Ⅰ)知平面 PDE ? 平面 PAC , 且 PG 是交线,根据面面垂直的性质, 得 CH ? 平面 PDE ,从而 ?CPH 即
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?CPG 为直线 PC 与平面 PDE 所成的角.
在 Rt ?DCA 中, CG ?

CD 2 22 4 5 , ? ? AC 5 22 ? 12
CG PC
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在 Rt ?PCG 中, tan ?CPG ?

4 5 2 5 2 5 ? 5 ? . 所以有 ?CPG ? arctan , 2 5 5
即直线 PC 与平面 PDE 所成的角为 arctan (Ⅲ)由于 BF ?

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2 5 …………………………………(8 分) 5

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1 CF ,所以可知点 B 到平面 PDE 的距离等于点 C 到平面 PDE 的距离的 4

1 1 ,即 CH . 在 Rt ?PCG 中, CH ? 4 4

4 5 4 5 ? ? , PC 2 ? CG 2 4 5 2 3 22 ? ( ) 5 PC ? CG 2?

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从而点 B 到平面 PDE 的距离等于

1 ………………………………………………(12 分) 3

19.解:解: (Ⅰ)因为 h( x) ? 所以 h?( x) ? x ? 2 ?

1 2 x ? 2 x ? log a x ( x ? 0) , 2

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1 x2 ln a ? 2x ln a ? 1 . ? x ln a x ln a 因为 h(x)在区间 (0, ? ?) 上是增函数,
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x ln a ? 2x ln a ? 1 ≥ 0 在区间 (0, ? ?) 上恒成立. x ln a 若 0<a<1,则 lna<0,于是 x2 ln a ? 2 x ln a ? 1 ≤ 0 恒成立. 又 h?( x) 存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,lna=0,或 lna=1 与 lna<0 矛
2

所以

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盾.所以 a>1. 由 x 2 ln a ? 2 x ln a ? 1 ? 0 恒成立,又 h?( x) 存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0, 所以 lna=1,即 a=e. x2 ? x1 1 1 y ? y1 (Ⅱ)由(Ⅰ) , g ?( x0 ) ? ,于是 ? 2 , x0 ? . 9分 ln x2 ? ln x1 x0 x0 x2 ? x1 以下证明 x1 ?
x2 ? x1 . ln x2 ? ln x1

(※)

(※)等价于 x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 ? 0 . 令 r(x)=xlnx2-xlnx-x2+x r ′ (x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′ (x)>0,所以 r(x)在(0,x2]上为增

函数. 当 x1<x2 时,r(x1)< r(x2)=0,即 x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 ? 0 , 从而 x0 ? x1 得到证明. 对于 x2 ?
x2 ? x1 同理可证,所以 x1 ? x0 ? x2 . ln x2 ? ln x1

第二小题还可以这样证明:
x2 ?1 x2 ? x1 x1 x 要证明 x1 ? ,只要证明 >1,令 2 ? t ,作函数 h(x)=t-1-lnt x ln x2 ? ln x1 x1 ln 2 x1

20.解:1)∵点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? c 2上,? ?AF , 1 F2为一直角三角形

?| F1 A |? c, | F1 F2 |? 2c

?| F2 A |? | F1 F2 | 2 ? | AF1 | 2 ? 3c

由椭圆的定义知:|AF1|+|AF2|=2a,? c ? 3c ? 2a

e?

c 2 ? ? 3 ? 1 ………………………………5 分 a 1? 3

2)∵函数 y ? 2 ? logm x的图象恒过点(1, 2) ∴ a ? 2, b ? 1, c ? 1, ①若 AB ? x轴, 则A(?1, 点 F1(-1,0) ,F2(1,0) ,

2 2 ), B(?1,? ), 2 2

∴ F2 A ? (?2,

2 2 1 7 ), F2 B ? (?2, ? ), F2 A ? F2 B ? 4 ? ? …………7 分 2 2 2 2

②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k,则 AB 的方程为 y=k(x+1) 由?

? y ? k ( x ? 1)
2 2

消去y得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 …………(*) ?x ? 2 y ? 2 ? 0

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0,?方程(*)有两个不同的实根.
设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1,x2 是方程(*)的两个根

4k 2 2(k 2 ? 1) x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ………………9 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

F2 A ? ( x1 ? 1, y1 ), F2 B ? ( x2 ? 1, y2 ), F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2

? (1 ? k 2 )

2(k 2 ? 1) 4k 2 7k 2 ? 1 7 9 2 2 ? ( k ? 1 )( ? ) ? 1 ? k ? ? ? 2 2 2 2 2(1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k

?1 ? 2k 2 ? 1,? 0 ?

1 9 9 ? 1,0 ? ? 2 2 1 ? 2k 2(1 ? 2k ) 2 ………………11 分 7 9 7 ? 1 ? F2 A ? F2 B ? ? ? , 2 2(1 ? 2k 2 ) 2
7 ………………………………13 分 2

由①②知 ? 1 ? F2 A ? F2 B ? 21.解: 1)由 an?1 ?

? ? 1 ? an ? ? (n ? N *),a1 ? cos (0 ? ? ? ) ,得: a 2 ? cos , a3 ? cos . …2 分 4 8 2 2 2

2)由(1)可归纳猜想: a n ? cos 现用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,显然成立;

?
2n

(n ? N *) ……………………3 分,

②假设 n=k(k∈N*)时成立,即 a n ? cos

?
2k

,则:

n=k+1 时: a k ?1

1 ? ak ? ? 2

1 ? cos

2 k ? cos2 ? ? cos ? (0 ? ? ? ? ) ; 2 2 2 k ?1 2 k ?1

?

所以,n=k+1 时,猜想也成立。 故:由①②可知,对任意 n∈N*,猜想均成立。……………………………………8 分; 3)证明:设 f(x)=x-sinx (0 ? x ? ∴f(x)=x-sinx 在 [0, 又∵ a n ? cos

?
2

) ,则 f`(x)=1-cosx≥0,

?
2

] 上是增函数. ∴f(x)≥f(0)=0,即 sinx≤x (0 ? x ?

?
2

).

?
2
n

2 2 2n 1 1 (1 ? n ) ? ? ? ? 2 ] ? ? ? (1 ? 1 ) ? ? ? ? …………14 分。 ∴ Sn ? ? ? 3 ? ??? ? n ? [ 2 2 1 2 2 2 2 2 2n 1? 2 2 2 2

? sin(

?

?

?
n

)?

?

?

?
n

,∴

?

? an ?

?

,



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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(4)

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H0068,2010届湖北省黄冈市名校高三数学最新模拟试题(七)

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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(6)

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