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黑龙江省海林市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆的标准方程课时作业新人教A版1-1 精

2.1.1 椭圆的标准方程 一、选择题 1.已知椭圆方程为 + =1,那么它的焦距为( 20 11 A.6 C.3 31 2 2 2 2 2 x2 y2 ) B. 3 D. 11 解析:由于 a =20,b =11,∴c =a -b =9, ∴c=3,2c=6,故选 A. 答案:A 2.满足条件 a=13,c=5 的椭圆的标准方程为( A. B. C. + =1 169 144 + =1 169 144 + =1 或 + =1 169 144 169 144 ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 x2 D.不确定 解析:因焦点位置不确定,应有两个标准方程,只有 C 成立. 答案:C 3.(2011 年四川安居调研)椭圆 2x +y =8 的焦点坐标是( A.(±2,0) C.(±2 3,0) 解析:椭圆方程为 + =1, 4 8 ∴焦点在 y 轴上,且 c =8-4=4. ∴焦点坐标为(0,±2). 答案:B 4. 设 P 是椭圆 + =1 上一点, P 到两焦点 F1、 F2 的距离之差为 2, 则△PF1F2 是( 16 12 A.锐角三角形 C.钝角三角形 解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8. 又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=2c=2 16-12=4, ∴△PF1F2 为直角三角形. B.直角三角形 D.等腰直角三角形 2 2 2 ) B.(0,±2) D.(0,±2 3) x2 y2 x2 y2 ) 1 答案:B 5.椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那 12 3 么|PF1|是|PF2|的( A.7 倍 C.4 倍 ) B.5 倍 D.3 倍 3 3 ),即|PF2|= , 2 2 x2 y2 解析:不妨设 F1(-3,0),F2(3,0),由条件知 P(3,± 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4 3, 7 3 则|PF1|= ,即|PF1|=7|PF2|,故选 A. 2 答案:A 6.(2011 年湖南济阳高二期末)“m>n>0”是“方程 mx +ny =1”表示焦点在 y 轴上的 椭圆的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 2 2 A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:椭圆方程为 + =1. 1 1 x 2 y 2 m m n n 1 1 当 m>n>0 时, < ,∴椭圆焦点在 y 轴上. 1 1 当椭圆焦点在 y 轴上时,有 > >0,∴0<n<m. n m ∴前者是后者的充要条件. 答案:C 二、填空题 7.椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交 4 点为 P,则|PF2|=______. 解析:由椭圆的方程可知 F1 的坐标为(- 3,0), 1 1 设 P(- 3,y),把 P(- 3,y)代入椭圆的方程中,得|y|= ,即|PF1|= . 2 2 根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4, 1 7 故|PF2|=4-|PF1|=4- = . 2 2 7 答案: 2 2 x2 2 8.过点(3,-2)且与椭圆 4x +9y =36 有相同焦点的椭圆方程是________. 解析:已知椭圆化为标准方程是 + =1,其焦点在 x 轴上,且 c =9-4=5. 9 4 设所求椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). 9 4 2 2 将点(3,-2)代入得 2+ 2=1,又 a =b +5, 2 2 x2 y2 2 x2 y2 a b a b 联立可得 a =15,b =10. 所以所求椭圆方程为 + =1. 15 10 答案: + =1 15 10 2 2 x2 y2 x2 y2 ? π? 2 2 9.若 α ∈?0, ?,方程 x sinα +y cosα =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取 2? ? 值范围是________. 解析:方程 x sinα +y cosα =1 可化为 2 2 x2 1 sinα + y2 1 cosα =1. ∵椭圆的焦点在 y 轴上,∴ 1 1 > >0. cosα sinα π π ? π? 又∵α ∈?0, ?,∴sinα >cosα >0,∴ <α < . 2? 4 2 ? 答案:? ?π ,π ? ? ?4 2? 2 2 三、解答题 8x y 10.已知椭圆 + =1 上一点 M 的纵坐标为 2. 81 36 (1)求 M 的横坐标; (2)求过 M 且与 + =1 共焦点的椭圆的方程. 9 4 8x y 8x 4 2 解:(1)把 M 的纵坐标代入 + =1 得 + =1,即 x =9. 81 36 81 36 ∴x=±3.即 M 的横坐标为 3 或-3. (2)对于椭圆 + =1, 9 4 焦点在 x 轴上且 c =9-4=5,故设所求椭圆的方程为 2+ 9 4 2 把 M 点坐标代入得 2+ 2 =1,解得 a =15. a a -5 3 2 2 2 2 x2 y2 x2 y 2 x2 y2 =1, 2 a a -5 故所求椭圆的方程为 + =1. 15 10 11.一动圆与已知圆 O1:(x+3) +y =1 外切,与圆 O2:(x-3) +y =81 内切,试求 动圆圆心的轨迹方程. 解:两定圆的圆心和半径分别是 O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9. 设动圆圆心为 M (x,y),半径为 R,则由题设条件可知, |MO1|=1+R,|MO2|=9-R, ∴|MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知:M 在以 O1、O2 为焦点的椭圆上,且 a=5,c=3,b =a -c =25-9= 16, 故动圆圆心的轨迹方程为 + =1. 25 16 12.

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