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高中数学联赛数列基础练习题5


高中数学联赛数列基础练习题 (考试时间:100 分钟) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. (2003, 4, 42) P ? {n | 则 P 与 Q 的关系为( A. P ? Q B.P ? Q
3n ? 4n ? N , n ? N } ,Q ? {m | m ? (2k ?1)2 ? 1, k ? N} , 5

) C.Q ? P D.P ? Q 且 Q ? P
1 2

2. ( 2005 , 10 , 40 ) 定 义 数 列 { an }: ai ? (0, ], (i ? 1, 2, … ) ,且
1 a 2 a1 ? , n ?1 ? 4an ? 3 。则 liman ? ( 2 an n???



A. 3.

3 4

B.

1 12

C.

2 4

D.0 2 ) 在 数 列 {
? n
? ? a ? ? ,2 a a2006 ? ( ? n n 1 a ? ,则 n

( 16
n

届 希 望
2a ? ? ,n a ? 1 ? n a 2

an } 中 ,
) N

a1 ? 1 , a2 ?

A.1

B.2

C.3

D.2006

4.(2004,4,42) 已知等差数列 { an } 和等比数列 { bn } 的个项都是正数 , 且
a1 ? b1 , a2n?1 ? b2n?1 ,那么,一定有(

) C.
an?1 ? bn?1

A. an?1 ? bn?1

B. an?1 ? bn?1

D. an?1 ? bn?1

5. (高一希望 311) 整数数列{ an }, 对于每个 n ? 3 , 都有 an ? an?1 ? an?2 , 若前 2006 项的和为 a,则 s8 ? ( A.a B.
a 8



C.

8 a

D.8a

6. (2005,6,42)如图,在杨辉三角中,斜线 l 的上方,从 1 开始箭 头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,3,6,5,10,…,设其前 n 项和为 sn ,则 s17 的值为( )
1

A.172

B.217

C.228

D.283

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
2 7. (高考分类题解 60)若数列{ an }中, a1 ? 3, an?1 ? an (n ? N ? ) ,则数列

的通项 an ? ______________。 8. (先锋 85)一个正数,若小数部分、整数部分和自身成等比数列, 则该数_______ 9. (先锋 95)正整数 n ? 1000 ,且 n 可以分为 5 个连续整数之和,6 个连续整数之和,7 个连续整数之和,这样的 n 有_______个 10. (1987,全国)已知集合 M ? {x, xy,lg( xy)}, N ? {0,| x |,| y |}若 M=N, 那么 ( x ? ) ? ( x 2 ?
1 y 1 1 ) ? …+( x 2006 ? 2006 )=______ 2 y y

10 .( 2005 , 5 , 43 ) 已 知 非 常 数 列 { an } 满 足 n。 对于给定的正整数 n,a1 ? an?1 , ai2 ? ai ?1ai ? ai ?12 ? 0, ai ?1 ? ai ?1, i ? 1, 2,3, …, 则 ? ai ? ______
i ?o n ?1

11. (2005,7,29)已知数列{ an }中, a1 ? 99 99 , an ? (an?1 )a ,当 a 为
1

1

整数时,最小的正整数 n 是______ 12. (2005,7,34)设无穷数列{ an }的各项都是正数, sn 是它的前 n 项之和,对于任意正整数 n, an 与 2 的等差中项等于 sn 与 2 的等比中 项,则该数列的通项公式为______________。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. (先锋 101)数列{ an }: a1 ? 0, an ?1 ?
6n ? 3 an ? 2, 求: an 4n ? 2

2

14 . ( 33 ) 已 知 数 列 { an } 中 , a1 ? a ( a ? 2 ), 对 一 切 n ? N ? ,
2 an , ⑴ 求 证 : an ? 2 且 an?1 ? an ; ⑵ 证 明 : an ? 0, an?1 ? 2(an ? 1)

a1 ? a2 ? …+an ? 2(n ? a ? 2) 。

15. (高考分类题解 62)已知{ an }等差数列, a1 ? ?393, a2 ? a3 ? ?768 , { bn }是公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列, b1 ? 2, 且{ bn }的前 n 项和为 20。 ⑴ 写 出 {an }bn, { 的 }通 项 公 式 。 ⑵ 试 求 满 足 不 等 式
am ?1 ? am ? 2 ? …+a 2m ? ?160b2 的正整数 m。 m+1

3


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