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成都市2015职高对口升学高考数学复习模拟试题一(含答案)


数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求. 1. i 为虚数单位,则 i 2013 ? ( )

A. ?i B. ?1 答案:C 解析: i 2013 ? i 4?503?1 ? i 2. 若 f ( x) ? xe x ,则 f ?(1) =( )
A.0 B. e

C. i

D. 1

C. 2e

D. e 2

解析:选 C ∵f′(x)=ex+xex,∴f′(1)=2e.

3. 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 的 一 个 焦 点 坐 标 是 ?5 , 0 ? ,则双曲线的渐近线方程是 9 m




3 4 2 2 3 2 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? D. y ? ? x x 4 3 3 4 答案:B x2 y 2 ? 1 的焦点在 x 轴,且 m ? 0, c ? 9 ? m ? 3 ,又一个焦点是 ? 5,0 ? , 解析:知双曲线 ? 9 m
∴ 9 ? m ? 5, m ? 16 双曲线的渐近线方程为 y ? ?

4 x 3

4.下列叙述: ①若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反; ②若两个向量均为同一个平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行; ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直,则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案:B 解析:①正确,②③错误.

5.学校体育场南侧有 4 个大门,北侧有 3 个大门,西侧有 2 个大门,某学生到 该体育场训练,但必须是从南或北门进入,从西门或北门出去,则他进出门的方 案有( ) A.7 个 B.12 个 C.24 个 D.35 个
答案:D

6. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(

)

A.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .由 an ? 2n ? 1 ,求出 S1 ? 12 , S2 ? 22 , S3 ? 32 , ,?,推断:
Sn ? n 2

B.由 f ( x) ? x cos x 满足 f (? x) ? ? f ( x) 对? x ∈R 都成立,推断: f ( x) ? x cos x 为奇
函数

C.由圆 x2 ? y2 ? r 2 的面积 S ? ? r 2 ,推断:椭圆
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的面积 S ? ? ab a 2 b2
2

D.由 ?1 ? 1? ? 21 , ? 2 ? 1? ? 22 , ?3 ? 1? ? 23 , ?,推断:对一切 n ∈N*, ? n ? 1? ? 2n
答案:A 解析:选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前 n n?1+2n-1? 2 项和等于 Sn= =n ,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确.因此选 A. 2

7. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 3 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 在 x ???2,5? 上有 3 个零点,
则 m 的取值范围为 ( ) A.(-24,8)

B.(-24,1]

C.[1,8]

D.[1,8)

[解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)· (x-3), 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=3. 当 x∈[-2,-1)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;当 x∈(-1,3)时,f′ (x)<0,函数 f(x)单调递减;当 x∈(3,5]时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 所以函数 f(x)的极小值为 f(3)=-24,极大值为 f(-1)=8; 而 f(-2)=1,f(5)=8,函数图象大致如图所示.故要使方程 g(x)=f(x)- m 在 x∈[-2,5]上有 3 个零点,只需函数 f(x)在[-2,5]内的函数图象与直线 y
?m<8, ? =m 有 3 个交点.故? 即 m∈[1,8). ? ?m≥1,

[答案] D

8. 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,已知点 A, B 为抛物线上的两个动点,且满足 ???? ? MN ?AFB ? 90? .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则 ??? ? 的最大 AB
值为

A.
答案:A

2 2

B.

3 2

C. 1

D.
4 3

3
y A L1

1 , BF ? r 2 ,则 解析:试题分析:设 AF ? r

MN

2 1 (r1 ? r2 ) 2 2 2 2N r ? 2 r r ? r 2 r r r ? r 1 1 1 2 1 1 2 2 ?2 ? ? 1? 2 1 2 2 ? 1 ? 12 22 ? 1 2 2 AB r1 ? r2 2 r1 ? r2 2 r1 ? r2 2B r12 ? r22 2 –4 –3 –2 –1

M x F
1 2 3 4

O

–1 –2 –3 –4

二、 填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 9.

?

?

2 0

4sin xdx ?

答案:4

解析:

?

?

2 0

4sin xdx ? ?4 cos x |02 ? 4

?

10.已知 0 ? a ? 1 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则复数 z 对应的点 Z 到原点距离的取值范围 是 答案: 1, 2

?

?

解析:∵ 0 ? a ? 1 ,∴ OZ ? a 2 ? 1 ? 1, 2 11. 曲线 C: y ?

?

?
.

ln x 在点(1,0)处的切线方程是 x

答案: y ? x ? 1
1-ln x ln x 解析:设 f(x)= x ,则 f′(x)= x2 .所以 f′(1)=1.所以所求切线方程为 y=x-1. 12. 棱长均为 3 的三棱锥 S ? ABC , 若空间一点 P 满足 SP ? xSA ? ySB ? zSC( x ? y ? z ? 1) ,

???

???

???

??? ?

??? 则 SP 的最小值为
答案: 6

.

解析:∵ SP ? xSA ? y SB ? z SC ( x ? y ? z ? 1) , ∴ A, B, C , P 四点共面, SP 的最小值即为点 S 到底面 ABC 的高 h ? 6 . 13. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中, 有 5 架“歼-15”飞机准备 着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法 数是 . 答案:24 解析:分三步:把甲、乙捆绑为一 个元素 A,有 A2 2种方法;A 与戊机形成三个“空”,把 2 2 2 2 丙、丁两机插入空中有 A3种方法;考虑 A 与戊机的排法有 A2 2种方法.可知共有 A2A3A2= 24 种不同的着舰方法. x2 y2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1、A2 ,点 P 在椭圆 C 上,记直线 PA2 的斜率 14. 椭圆 C : ? 4 3 为 k 2 ,直线 PA1 的斜率为 k1 ,则 k1 · k 2 = 3 答案:-4 解析:椭圆的左、右顶点分别为(-2,0),(2,0),设 P(x0,y0), 2 2 y0 y0 y0 x2 0 y0 则 kPA1kPA2= · = 2 ,而 4 + 3 =1, x0+2 x0-2 x0-4 .

3 3 2 即 y2 0= (4-x0),所以 kPA1kPA2=- 4 4 15.函数 f ( x) ? x2 ? a ln(1 ? x) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则实数 a 的范围是

? 1? 答案: ? 0, ? ? 2?
解析: f ( x) 定义域为 (?1, ??)

a a ,令 f ?( x) ? 0 ,则 2 x ? ? 0 在 (?1, ??) 内有两个不同的实数根 x ?1 x ?1 1 a ? ?2 x( x ? 1) ,结合图象知 0 ? a ? 2 f ?( x) ? 2x ?
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 设 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 , q : 实数 x 满足 x ? 3 ? 1 .
2 2

(1)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若其中 a ? 0 且 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解:(1). 由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0
2 2

当 a ? 1 时, 1 ? x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1 ? x ? 3 .?????2 分 由 x ? 3 ? 1 , 得 ?1 ? x ? 3 ? 1 , 得 2 ? x ? 4 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 4 ,?????4 分 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . ?????6 分 (2) 由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0
2 2

?p 是 ?q 的充分不必要条件,即 ?p ? ?q ,且 ?q ? ? ?p , ?????8 分 设 A= {x | ?p} ,B= {x | ?q} ,则 A B, 又 A= {x | ?p} = {x | x ? a或x ? 3a} , B= {x | ?q} ={x|x≥4 或 x≤2},?????10 分
则 0 ? a ? 2 ,且 3a ? 4 所以实数 a 的取值范围是

4 ? a ? 2 ?????12 分 3
A1

C1 B1
C

17. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1 B1C1 中,侧棱垂直底面, ?ACB ? 90? ,
AC ? BC ? CC1 ? 2 .

(1)求证: AB1 ? BC1 ; (2)求二面角 C1-AB1-A1 的大小. 解: :方法一: (1)∵ AC ? BC, AC ? CC1且BC ? CC1 ? C ∴ AC ? 平面C1CBB1 ,又 BC1 ? 平面C1CBB1 ∴ AC ? BC1 , B1C ? BC1 , 且AC ? B1C ? C

A

B

∴ BC1 ? 平面AB1C,又AB1 ? 平面AB1C

∴ AB1 ? BC1 (2)取 A1 B1 的中点为 H ,在平面 A1 ABB1 内过 H 作 HQ ? AB1 于点 Q ,连接 C1Q 则 C1 H ? 平面A1 ABB1 ,∴ C1 H ? AB1 ,而 C1 H ? HQ ? H ∴ AB1 ? 平面C1HQ, ? AB1 ? C1Q ∴ ?C1QH 是二面角 C1-AB1-A1 的平面角,又 C1 H ? 2,在? A1 AB内,解得HQ ? ∴ tan ?C1QH ?

6 3

C1 H ? 3, ?C1QH ? 60? HQ

∴二面角 C1-AB1-A1 为 60°.

18. (本小题满分 12 分) 时下, 网校教学越来越受到广大学生的喜爱, 它已经成为学生们课外学习的一种趋势, 假设某网校的套题每日的销售量 y (单位:千套)与销售价格 x (单位:元/套)满足的关 系式 y ?

m 2 ? 4 ? x ? 6? ,其中 2 ? x ? 6 , m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售 x?2

出套题 21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数) , 试确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数). 解: (1)因为 x ? 4 时, y ? 21 , 代入关系式 y ?

解得 m ? 10 .????????4 分

m m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,得 ? 16 ? 21 , x?2 2
10 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,?????5 分 x?2

(2)由(1)可知,套题每日的销售量 y ? 所以每日销售套题所获得的利润

2? 2 ? 10 f ( x) ? ? x ? 2 ? ? ? 4 ? x ? 6 ? ? ? 10 ? 4 ? x ? 6 ? ? x ? 2 ? ? 4 x3 ? 56 x 2 ? 240 x ? 278 ? 2 ? x ? 6 ? ?x?2 ?

????????8 分 从而 f ' ? x ? ? 12x2 ?112x ? 240 ? 4 ?3x ?10?? x ? 6?? 2 ? x ? 6? . 令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ?

10 ? 10 ? ? 10 ? ,且在 ? 2, ? 上, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;在 ? , 6 ? 上, 3 ? 3? ?3 ?

f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, ????????10 分 10 所以 x ? 是函数 f ( x) 在 ? 2,6 ? 内的极大值点,也是最大值点, 3 10 ? 3.3 时,函数 f ( x) 取得最大值. 所以当 x ? 3
故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. ???????12 分 19. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn (即 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ), 且方程 x2 ? an x ? an ? 0 有一

根为 Sn -1, n =1,2,3??. (1)求 a1 , a2 ; (2)猜想数列 ?Sn ? 的通项公式,并用数学归纳法给出严格的证明. 解:(1)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0, 1 解得 a1= .?????3 分 2 1?2 1? 1 ? 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- ,于是? ?a2-2? -a2?a2-2?-a2=0, 2 1 解得 a2= .?????5 分 6 (2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即 S2 n-2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1, 代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0.① 1 由(1)得 S1=a1= , 2 1 1 2 S2=a1+a2= + = . 2 6 3 3 n 由①可得 S3= .由此猜想 Sn= ,n=1,2,3?. ?????7 分 4 n+1 下面用数学归纳法证明这个结论. (ⅰ)n=1 时已知结论成立.?????8 分 (ⅱ)假设 n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立, 即 Sk= k , k+1

当 n=k+1 时,由①得 Sk+1=

1 ,?????10 分 2-Sk

k+1 即 Sk+1= ,故 n=k+1 时结论也成立.?????12 分 k+2 n 综上,由(ⅰ)(ⅱ)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立.?????13 分 n+1 20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 离心率为 ,且椭圆的长轴比焦距长 2 2 ? 2 . 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)过点 M ( 0 , ? )的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,试问:在坐标平面上是否存 3 在一个定点 T ,使得无论 l 如何转动,以 A B 为直径的圆恒过定点 T ?若存在,求出点 T 的 坐标;若不存在,请说明理由.

?a ? c ? 2 ? 1 ? 2 ?c 解: (1)设椭圆的焦距为 2c ,则由题设可知 ? ? ,解此方程组得 a 2 ? ?a 2 ? c 2 ? b 2 ? x2 ? y 2 ? 1. a ? 2 , b ? 1. 所以椭圆 C 的方程是 ……………………5 分 2
(2)解法一:假设存在点 T(u, v). 若直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? , 将它代入椭圆方程,并整理,得 (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 . 12k ? x1 ? x2 ? , ? ? 18k 2 ? 9 设点 A、B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ? x x ? ?16 . 1 2 ? 18k 2 ? 9 ? ??? ??? 1 1 因为 TA ? ( x1 ? u, y1 ? v), TB ? ( x2 ? u, y2 ? v) 及 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ? , 3 3 ??? ??? TB ? ( x1 ? u)( x2 ? u) ? ( y1 ? v)( y2 ? v) 所以 TA? 1 2v 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (u ? k ? kv)( x1 ? x2 ) ? u 2 ? v 2 ? ? 3 3 9 2 2 2 2 2 (6u ? 6v ? 6)k ? 4ku ? (3u ? 3v ? 2v ? 5) ? 6k 2 ? 2 ??? ??? TB ? 0 恒成立时,以 AB 为直径的圆恒过定点 T, 当且仅当 TA?
?6u 2 ? 18v 2 ? 18 ? 0, ? 所以 ?u ? 0, 解得 u ? 0, v ? 1. ? 2 2 ?3u ? 3v ? 2v ? 5 ? 0.

1 3

…………………9 分

此时以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1). …………………11 分 2 2 当直线 l 的斜率不存在,l 与 y 轴重合,以 AB 为直径的圆为 x ? y ? 1 也过点 T(0,1). 综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1) ,满足条件. …………………13 分 解法二:若直线 l 与 y 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x2 ? y 2 ? 1. 若直线 l 垂直于 y 轴,则以 AB 为直径的圆是 x2 ? ( y ? )2 ?
1 3 16 . 9

……………7 分

? x 2 ? y 2 ? 1, ?x ? 0 ? 由? 2 1 2 16 解得 ? y ? 1 . ? ?x ? ( y ? ) ? . 3 9 ? 由此可知所求点 T 如果存在,只能是(0,1). ………………8 分 事实上点 T(0,1)就是所求的点. 证明如下: 当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 与 y 轴重合时,以 AB 为直径的圆为 x 2 ? y 2 ? 1 ,

过点 T(0,1) ; 当 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 方 程 为 y ? kx ?
(18k 2 ? 9) x2 ? 12kx ? 16 ? 0.

1 ,代入椭圆方程,并整理,得 3

12k ? x1 ? x2 ? , ? ? 18k 2 ? 9 设点 A、B 的坐标为 A( x 1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ? x x ? ?16 . 1 2 ? 18k 2 ? 9 ? ??? ??? 因为 TA ? ( x1 , y1 ? 1), TB ? ( x2 , y2 ?1) , ??? ??? 4 16 TA? TA ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 3 9 2 2 2 ?16k ? 16 ? 16k ? 32k ? 16 ? ? 0. 18k 2 ? 9 ??? ??? 所以 TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1).

…………………10 分

综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件. 21. (本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? ln(x ? 1), g ( x ) ?

…………………13 分

1 2 ax ? bx 2 (1)若 a ? 0 , b ? 1 时,求证: f ( x) ? g ( x) ? 0 对于 x ? (?1,??) 恒成立; (2)若 b ? 2 ,且 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; x? y (3)利用(1)的结论证明:若 0 ? x ? y ,则 x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln . 2 解: (1)设 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln(x ? 1) ? x , 1 ?x ' ?1 ? . ………………….2 分 则 ? ( x) ? x ?1 x ?1

x
? ( x)
'

(-1,0) + ↗

0 0 最大值

(0,+ ? ) ↘

? ( x)

? 当 x ? 0 时, ? ( x) 有最大值 0 ? ? ( x) ? 0 恒成立。 即 f ( x) ? g ( x) ? 0 对于 x ? (?1,??) 恒成立。………………………….4 分 1 2 1 ' (2) b ? 2 时 h( x) ? ln x ? ax ? 2 x, h ( x) ? ? ax ? 2 , 2 x 1 ? ax 2 ? 2 x ? 0 有解, ? h( x) 有单调递减区间,? h ' ( x) ? 0 有解,即 x ……………….6 分 ? x ? 0,? ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解, ① a ? 0 时合题意 ② a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1 , ………………………….8 分 ? a 的取值范围是 (?1,??)
(3)证明:

x? y x? y x? y ? x(ln x ? ln ) ? y (ln y ? ln ) 2 2 2 2x 2y x? y x? y ? x ln ? y ln ? ? x ln ? y ln x? y x? y 2x 2y y?x x? y ? ? x ln(1 ? ) ? y ln(1 ? ) 2x 2y x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln
y?x x? y ? ?1, ? ?1 ,由(1)知 2x 2y x? y y?x x? y x l nx ? y l ny ? ( x ? y) l n ? ?x ? ? y? ?0 2 2x 2y y?x x? y 等号在 ? ? 0, 即 x ? y 时成立。 2x 2y x? y ? 0 成立。…………………….13 分 而 y ? x ? 0 , 所以 x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln 2
当 0 ? x ? y 时,


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