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成都市2015职高对口升学高考数学复习模拟试题一(含答案)

数学试题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项符合题目要求.

1. i 为虚数单位,则 i2013 ?

A. ?i

B. ?1

答案:C

C. i

() D.1

解析: i2013 ? i4?503?1 ? i 2. 若 f (x) ? xex ,则 f ?(1) =( )

A.0

B. e

C. 2e

解析:选 C ∵f′(x)=ex+xex,∴f′(1)=2e.

D. e2

3. 已 知 双 曲 线 x2 ? y2 ? 1 的 一 个 焦 点 坐 标 是 ?5 , 0? , 则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是
9m

( )

A. y ? ? 3 x 4
答案:B

B. y ? ? 4 x 3

C. y ? ? 2 2 x 3

D. y ? ? 3 2 x 4

解析:知双曲线 x2 ? y2 ? 1 的焦点在 x 轴,且 m ? 0,c ? 9 ? m ? 3 ,又一个焦点是 ?5,0? ,
9m

∴ 9 ? m ? 5, m ? 16

双曲线的渐近线方程为 y ? ? 4 x 3

4.下列叙述:

①若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反;

②若两个向量均为同一个平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行;

③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直,则该直线与这个平面平行.

其中正确的个数是

()

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

答案:B

解析:①正确,②③错误.

5.学校体育场南侧有 4 个大门,北侧有 3 个大门,西侧有 2 个大门,某学生到

该体育场训练,但必须是从南或北门进入,从西门或北门出去,则他进出门的方

案有( ) A.7 个
答案:D

B.12 个

C.24 个

D.35 个

6. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A.设数列?an? 的前 n 项和为 Sn .由 an ? 2n ?1 ,求出 S1 ? 12 , S2 ? 22 , S3 ? 32 , ,…,推断:
Sn ? n2
B.由 f (x) ? xcos x 满足 f (?x) ? ? f (x) 对? x ∈R 都成立,推断: f (x) ? xcos x 为奇

函数

C.由圆 x2

?

y2

?

r2 的面积 S

? ? r2 ,推断:椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的面积 S

? ?ab

D.由 ?1?1?2 ? 21,?2 ?1?2 ? 22,?3 ?1?2 ? 23, …,推断:对一切 n ∈N*, ?n ?1?2 ? 2n
答案:A
解析:选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前 n 项和等于 Sn=n?1+22n-1?=n2,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确.因此选 A.

7. 已知函数 f (x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 3,若函数 g(x) ? f (x) ? m 在 x ???2,5? 上有 3 个零点,

则 m 的取值范围为
() A.(-24,8)

B.(-24,1]

C.[1,8]

D.[1,8)

[解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)·(x-3),

令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=3.

当 x∈[-2,-1)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;当 x∈(-1,3)时,f′(x)<0,

函数 f(x)单调递减;当 x∈(3,5]时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增.

所以函数 f(x)的极小值为 f(3)=-24,极大值为 f(-1)=8;

而 f(-2)=1,f(5)=8,函数图象大致如图所示.故要使方程 g(x)=f(x)-

m 在 x∈[-2,5]上有 3 个零点,只需函数 f(x)在[-2,5]内的函数图象与直线 y=m 有 3 个交点.故

??m<8,

?

即 m∈[1,8).

??m≥1,

[答案] D

8. 抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0)的焦点为 F ,已知点 A, B 为抛物线上的两个动点,且满足

MN

?AFB ? 90 .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则

的最大

AB

值为

A. 2 2
D. 3
答案:A

B. 3 2

C. 1

y
4

3

A

解析:试题分析:设 AF ? r1, BF ? r2 ,则

2

N

M

1

B

–4 –3 –2 –1 O

F1

2

3

–1

–2

–3

L1
x
4

MN

?

1 2

(r1

?

r2 )

?

1

AB

r12 ? r22 2

r12 ? 2r1 r2 ? r22 r12 ? r22

?1 2

1?

2r1 r2 r12 ? r22

?1 2

1?

r12 r12

? ?

r22 r22

?

2 2

二、 填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.
?
? 9. 2 4sin xdx ? 0
答案:4

?

?

? 解析:

2 0

4

sin

xdx

?

?4

cos

x

|02

?

4

10.已知 0 ? a ?1,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则复数 z 对应的点 Z 到原点距离的取值范围 是
? ? 答案: 1, 2

? ? 解析:∵ 0 ? a ?1,∴ OZ ? a2 ?1? 1, 2

11. 曲线 C: y ? ln x 在点(1,0)处的切线方程是

.

x

答案: y ? x ?1

解析:设 f(x)=lnxx,则 f′(x)=1-x2ln x.所以 f′(1)=1.所以所求切线方程为 y=x-1.

12. 棱长均为 3 的三棱锥 S ? ABC ,若空间一点 P 满足 SP ? xSA ? ySB ? zSC(x ? y ? z ? 1) ,

则 SP 的最小值为

.

答案: 6

解析:∵ SP ? xSA ? ySB ? zSC (x ? y ? z ?1) ,

∴ A, B,C, P 四点共面, SP 的最小值即为点 S 到底面 ABC 的高 h ? 6 .

13. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架“歼-15”飞机准备

着舰,如果甲、 乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法

数是

.

答案:24
解析:分三步:把甲、乙捆绑为一 个元素 A,有 A22种方法;A 与戊机形成三个“空”,把 丙、丁两机插入空中有 A23种方法;考虑 A 与戊机的排法有 A22种方法.可知共有 A22A23A22= 24 种不同的着舰方法.

14.

椭圆 C : x2 4

?

y2 3

? 1的左、右顶点分别为 A1、A2 ,点 P 在椭圆 C

上,记直线 PA2 的斜率

为 k2 ,直线 PA1 的斜率为 k1 ,则 k1 · k2 =

.

答案:-34 解析:椭圆的左、右顶点分别为(-2,0),(2,0),设 P(x0,y0), 则 kPA1kPA2=x0y+0 2·x0y-0 2=x02y-02 4,而x420+y302=1, 即 y20=34(4-x20),所以 kPA1kPA2=-34
15.函数 f (x) ? x2 ? a ln(1? x) 有两个不同的极值点 x1, x2 ,且 x1 ? x2 ,则实数 a 的范围是

答案:

? ??

0,

1 2

? ??

解析: f (x) 定义域为 (?1,??)

f ?(x) ? 2x ? a ,令 f ?(x) ? 0 ,则 2x ? a ? 0 在 (?1,??) 内有两个不同的实数根

x ?1

x ?1

a ? ?2x(x ?1) ,结合图象知 0 ? a ? 1 2
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分)

设 p :实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 , q :实数 x 满足 x ? 3 ? 1 .

(1)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围;

(2)若其中 a ? 0 且 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

解:(1). 由 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 得 (x ? 3a)(x ? a) ? 0

当 a ? 1时,1? x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是1? x ? 3 .……………2 分

由 x ? 3 ? 1 , 得 ?1? x ? 3 ?1, 得 2 ? x ? 4

即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 4 ,……………4 分

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,

所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . ……………6 分

(2) 由 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 得 (x ? 3a)(x ? a) ? 0

?p 是 ?q 的充分不必要条件,即 ?p ? ?q ,且 ?q ?? ?p , ……………8 分

设 A={x | ?p} ,B={x | ?q} ,则 A B ,

又 A={x | ?p} ={x | x ? a或x ? 3a} , B={x | ?q} ={x|x≥4 或 x≤2},……………10 分

则 0 ? a ? 2 ,且 3a ? 4

所以实数 a 的取值范围是 4 ? a ? 2 ……………12 分
3

17. (本小题满分 12 分)

A1

如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面, ?ACB ? 90? ,

AC ? BC ? CC1 ? 2 .

(1)求证: AB1 ? BC1 ;

C1 B1
C

A

B

(2)求二面角 C1-AB1-A1 的大小. 解::方法一:

(1)∵ AC ? BC, AC ? CC1且BC CC1 ? C ∴ AC ? 平面C1CBB1,又 BC1 ? 平面C1CBB1 ∴ AC ? BC1, B1C ? BC1,且AC B1C ? C ∴ BC1 ? 平面AB1C,又AB1 ? 平面AB1C ∴ AB1 ? BC1 (2)取 A1B1 的中点为 H ,在平面 A1ABB1 内过 H 作 HQ ? AB1 于点 Q ,连接 C1Q 则 C1H ? 平面A1ABB1 ,∴ C1H ? AB1,而 C1H HQ ? H ∴ AB1 ? 平面C1HQ,? AB1 ? C1Q

∴ ?C1QH 是二面角 C1-AB1-A1 的平面角,又 C1H ?

2,在

A1AB内,解得HQ ?

6 3

∴ tan ?C1QH

?

C1H HQ

?

3,?C1QH ? 60?

∴二面角 C1-AB1-A1 为 60°.

18. (本小题满分 12 分) 时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,
假设某网校的套题每日的销售量 y (单位:千套)与销售价格 x (单位:元/套)满足的关

系式 y ? m ? 4? x ? 6?2 ,其中 2 ? x ? 6 , m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售
x?2 出套题 21 千套.
(1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数),
试确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数).
解:(1)因为 x ? 4 时, y ? 21 ,

代入关系式 y ? m ? 4? x ? 6?2 ,得 m ?16 ? 21,

x?2

2

解得 m ? 10.……………………4 分

(2)由(1)可知,套题每日的销售量 y ? 10 ? 4? x ? 6?2 ,……………5 分
x?2
所以每日销售套题所获得的利润

f

(x)

?

?

x

?

2?

? ??

10 x?2

?

4

?

x

?

6?2

? ??

?

10

?

4

?

x

?

6?2

?

x

?

2?

?

4x3

?

56x2

?

240x

?

278

?2

?

x

?

6

?

……………………8 分

从而 f '?x? ?12x2 ?112x ? 240 ? 4?3x ?10??x ?6??2 ? x ? 6? .



f

'?x?

?

0 ,得

x

?

10 3

,且在

? ??

2,

10 3

? ??

上,

f

' (x)

?

0

,函数

f

(x)

单调递增;在

? ??

10 3

,

6

? ??

上,

f ' (x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递减, ……………………10 分

所以 x ? 10 是函数 f (x) 在 ?2, 6? 内的极大值点,也是最大值点,
3 所以当 x ? 10 ? 3.3 时,函数 f (x) 取得最大值.
3
故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12 分 19. (本小题满分 13 分)
设数列?an? 的前 n 项和为 Sn (即 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ),且方程 x2 ? anx ? an ? 0 有一

根为 Sn -1, n =1,2,3……. (1)求 a1, a2 ;

(2)猜想数列?Sn? 的通项公式,并用数学归纳法给出严格的证明.

解:(1)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1,

于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,

解得 a1=12.……………3 分

当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2-12,于是??a2-12??2-a2??a2-12??-a2=0,

解得 a2=16.……………5 分

(2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,

即 S2n-2Sn+1-anSn=0.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,

代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0.① 由(1)得 S1=a1=12,
112 S2=a1+a2=2+6=3.

由①可得

3 S3=4.由此猜想

Sn=n+n 1,n=1,2,3….

……………7 分

下面用数学归纳法证明这个结论. (ⅰ)n=1 时已知结论成立.……………8 分 (ⅱ)假设 n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,
k 即 Sk=k+1, 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1=2-1 Sk,……………10 分

k+1 即 Sk+1=k+2,故 n=k+1 时结论也成立.……………12 分

综上,由(ⅰ)(ⅱ)可知

n Sn=n+1对所有正整数

n

都成立.……………13



20. (本小题满分 13 分)

已知椭圆 C

: x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 离心率为

2 ,且椭圆的长轴比焦距长 2 2

2 ?2.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)过点

M

(

0



?

1 3

)的动直线

l

交椭圆

C



A



B

两点,试问:在坐标平面上是否存

在一个定点T ,使得无论 l 如何转动,以 A B 为直径的圆恒过定点T ?若存在,求出点T 的

坐标;若不存在,请说明理由.

?a ? c ? 2 ?1

?

解:(1)设椭圆的焦距为

2c

,则由题设可知

? ? ?

c a

?

2 2

,解此方程组得

?a2 ? c2 ? b2 ?

a ? 2 ,b ?1.

所以椭圆 C 的方程是 x2 ? y2 ? 1. 2

……………………5 分

(2)解法一:假设存在点 T(u, v). 若直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? 1 , 3
将它代入椭圆方程,并整理,得 (18k2 ? 9)x2 ?12kx ?16 ? 0 .

设点 A、B 的坐标分别为 A(x1, y1),

B(x2 , y2 ) ,则

? ??

x1

?

x2

?

12k ,
18k 2 ? 9

?

? ??

x1

x2

?

?16 18k 2 ? 9 .

因为 TA ? (x1 ? u, y1 ? v),

TB ? (x2 ? u, y2 ? v)

及 y1

?

kx1

?

1 3

,

y2

? kx2

? 1, 3

所以 TA TB ? (x1 ? u)(x2 ? u) ? ( y1 ? v)( y2 ? v)

?

(k

2

?1)x1x2

?

(u

?

1 3

k

?

kv)(x1

?

x2

)

?

u2

?

v2

?

2v 3

?

1 9

(6u2 ? 6v2 ? 6)k 2 ? 4ku ? (3u2 ? 3v2 ? 2v ? 5) ?
6k 2 ? 2

…………………9 分

当且仅当 TA TB ? 0 恒成立时,以 AB 为直径的圆恒过定点 T,

?6u2 ?18v2 ?18 ? 0,

所以 ??u ? 0,

解得 u ? 0,v ?1.

??3u2 ? 3v2 ? 2v ? 5 ? 0.

此时以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1).

…………………11 分

当直线 l 的斜率不存在,l 与 y 轴重合,以 AB 为直径的圆为 x2 ? y2 ? 1也过点 T(0,1).

综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1),满足条件.

…………………13 分

解法二:若直线 l 与 y 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x2 ? y2 ? 1.

若直线 l 垂直于 y 轴,则以 AB 为直径的圆是 x2 ? ( y ? 1)2 ? 16 . 39

……………7 分



?x2

?

? ??

x

2

? ?

y2 (y

? 1, ? 1)2
3

?

16 .解得 9

?x

? ?

y

? 0. ?1

由此可知所求点 T 如果存在,只能是(0,1).

………………8 分

事实上点 T(0,1)就是所求的点.

证明如下:

当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 与 y 轴重合时,以 AB 为直径的圆为 x2 ? y2 ? 1,

过点 T(0,1);

当 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 方 程 为 y ? kx ? 1 , 代 入 椭 圆 方 程 , 并 整 理 , 得 3
(18k 2 ? 9)x2 ?12kx ?16 ? 0.

设点 A、B 的坐标为 A(x1, y1),

B(x2

,

y2

)

,则

? ??

x1

?

?

? ??

x1

x2

x2 ?

12k ?
18k 2 ? ?16
. 18k 2 ? 9

9

,

因为 TA ? (x1, y1 ?1), TB ? (x2 , y2 ?1) ,

TA

TA

?

x1x2

?

y1

y2

?

( y1

?

y2

)

?1

?

(k 2

?1)x1x2

?

4 3

k ( x1

?

x2 )

?

16 9

?

?16k 2

?16 ?16k2 ? 18k2 ? 9

32k 2

?16

?

0.

所以 TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1). 综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件.

21. (本小题满分 13 分)

…………………10 分 …………………13 分

已知 f (x) ? ln(x ?1), g(x) ? 1 ax2 ? bx 2
(1)若 a ? 0 , b ? 1时,求证: f (x) ? g(x) ? 0 对于 x ? (?1,??) 恒成立;

(2)若 b ? 2,且 h(x) ? f (x ?1) ? g(x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围;

(3)利用(1)的结论证明:若 0 ? x ? y ,则 x ln x ? y ln y ? (x ? y) ln x ? y . 2
解:(1)设?(x) ? f (x) ? g(x) ? ln( x ?1) ? x ,

则? ' (x) ? 1 ?1 ? ? x . ………………….2 分 x ?1 x ?1

x
? ' (x)

(-1,0) +

0

(0,+ ? )

0

-

?(x)



最大值



?当 x ? 0时,?(x) 有最大值 0

? ?(x) ? 0 恒成立。

即 f (x) ? g(x) ? 0 对于 x ? (?1,??) 恒成立。………………………….4 分

(2) b ? 2时 h(x) ? ln x ? 1 ax2 ? 2x, h' (x) ? 1 ? ax ? 2,

2

x

? h(x) 有单调递减区间,? h' (x) ? 0 有解,即 1 ? ax2 ? 2x ? 0 有解, x

? x ? 0,? ax2 ? 2x ?1 ? 0 有解,

……………….6 分

① a ? 0时合题意

② a ? 0时, ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1,

? a 的取值范围是 (?1,??)

………………………….8 分

(3)证明:

x ln x ? y ln y ? (x ? y) ln x ? y ? x(ln x ? ln x ? y ) ? y(ln y ? ln x ? y )

2

2

2

? x ln 2x ? y ln 2y ? ?x ln x ? y ? y ln x ? y

x?y x?y

2x

2y

? ?x ln(1? y ? x) ? y ln(1? x ? y )

2x

2y

当 0 ? x ? y 时, y ? x ? ?1, x ? y ? ?1 ,由(1)知

2x

2y

x ln x ? y ln y ? (x ? y) ln x ? y ? ?x ? y ? x ? y ? x ? y ? 0

2

2x

2y

等号在 y ? x ? x ? y ? 0, 即 x ? y 时成立。 2x 2y

而 y ? x ? 0 , 所以 x ln x ? y ln y ? (x ? y) ln x ? y ? 0 成立。…………………….13 分 2


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