2017—2018 学年度第二学期期末检测试题 高 一 数 学 注意事项： 1.答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效． 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上） 1. 求值: 【答案】 . 【解析】分析：直接应用正弦函数的二倍角公式即可. 详解： 故答案为： . 点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一 般 一求三. 2. 不等式 【答案】 . 的解集是____． ， ，这三者我们成为三姐妹，结合 ，可以知 ______．
【解析】分析：将原二次不等式因式分解，结合二次函数的图像得到解集，即可. 详解：不等式 故答案为： .
点睛：这个题目考查的是分式不等式的解法，一般分式不等式的解法步骤为：先将不等号的 一边化为 0，再分式化整式，转化为二次，结合二次函数的图像得到解集. 3. 在 【答案】 中，角 A、B、C 所对的边分别为 . ，若 , ，则 =_____．
【解析】分析：直接根据三角形中的正弦定理即可得到结果. 详解：根据正弦定理得到
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故答案为：
.
点睛：本题主要考查正弦定理的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是 两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定 理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中
如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、 倍角的正余弦公式进行解答 4. 已知变量 【答案】2. 【解析】分析：由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数 z=y﹣x 的最大值的位置即可求 出其最值． 详解：由题意，可行域如图 目标函数 z=y﹣x 的最大值在点 A（0，2）出取到 故最大值是 2 故答案为 2 满足 ，则 的最大值为______．
点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ 型（ 型）和距离型（ 型） ． 型） 、斜率
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
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注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形. 5. 已知 是数列{ }的前 项和，且满足 【答案】 . 【解析】分析：根据题意写出 检验即可. 详解： 时， ， ，符合题意；故数列{ }通项公式 . ,两式做差得到 ，检验当 n=1 ,两式做差得到 ，再进行 则数列{ }通项公式 ___．
故答案为： . 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有 常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验
n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。 6. 函数 【答案】4. 【解析】分析：根据三角函数辅助角公式将函数表达式化为 详解：函数 = ，进而得到最值. 的最大值为_______．
，因为自变量 x 的取值范围是 R，
，故得到函数的最大值为 4. 故答案为：4. 点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式 将函数化为 的形式，利
用 7. 在△ 中，若
求最值，其中
的取值需结合数值以及符号确定. ，则 的值为_____．
【答案】 .
考点：正弦定理与余弦定理.
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8. 已知数列{an}的通项公式为 【答案】 . 【解析】分析： 详解： 它的前 20 项的和为 = = ，
，则它的前 20 项的和为_______．
，裂项求和即可.
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有 常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验
n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。 9. 已知正四棱柱的底面边长为 _____ 【答案】 ． . ，侧面的对角线长是 ，则这个正四棱柱的体积 是
【解析】分析：由正四棱柱的底面边长为 2cm，侧面的对角线长是 cm，求出高 h= cm，由 此能求出这个正四棱柱的体积． 详解：设正四棱柱的高为 h， ∵正四棱柱的底面边长为 3cm，侧面的对角线长是 ∴， 解得 h= （cm） ， ∴这个正四棱柱的体积 V=Sh=4× =4 （cm ） ． 故答案为：4 . 点睛：本题考查正四棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 10. 设 ， 为两个不重合的平面，l，m，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若 m ，n ，m∥ ，n∥ ，则 ∥ ； ，则 l∥ ；
3
，
②若 ∥ ，l
③若 l⊥m，l⊥n，则 m∥n； ④若 l⊥ ，l∥ ，则 ⊥ 其中真命题的序号是______． 【答案】②④.
-4-
.
【解析】分析：结合课本中的线面平行的性质，面面垂直的判定等判断题即可. 详解：①若 m ②若 ∥ ，l ，n ，m∥ ，n∥ ，则且 m∥n,时结论不成立，故错误；
，则 l∥
，根据课本上的面面平行的性质得到结论是正确的；
③若 l⊥m，l⊥n，则 m∥n，或者 m 和 n 异面也是有可能的，故不正确； ④若 l⊥ ，l∥ ，则 ⊥ 故答案为：②④. 点睛：本题主要考查了平面的基本性质及推论，是高考中常见的题型，往往学生忽视书本上 的基本概念，值得大家注意．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除， 判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观 判断. 11. 设 , 分别是等差数列 , 的前 项和,已知 , , ，根据课本中面面垂直的判定得到结论正确.
则
________．
【答案】 .
【解析】分析：利用等差数列的性质可得
即可得出
详解：∵Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，
，n∈N ，
*
则
故答案为： ． 点睛：本题考查了等差数列的性质及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题．对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差， 其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 12. 如图，勘探队员朝一座山行进，在前后 A、B 两处观察山顶 C 的仰角分别是 个观察点 A、B 之间的距离是 100 米，则此山 CD 的高度为_______米. 和 ，两
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【答案】
.
【解析】分析：设 CD=x，利用三角形中的边角关系，建立方程 AB=AD﹣BD，解方程即可得到 结论．
详解：
设山高 CD 为 x， 在 Rt△BCD 中有：BD=CD= x， 在 Rt△ACD 中有：AC=2x，AD=x． 而 AB=AD﹣BD=（ ﹣1）x=100． 解得：x= 故答案为： 点睛：本题主要考查解三角形的实际应用，根据条件建立边角关系是解决本题的关键．解三 角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理 及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换， 只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即 “统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口． 13. 已知正实数 【答案】 . ，变形为 ，两边同乘以 ，再利用基 满足 ，则 的最小值为______． 米．
【解析】分析：将和式 本不等式得到最终结果.
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详解：正实数
满足
，
故得到
等号成立的条件为
.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等 式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号 取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 14. 对于数列 数列”.设 值范围是______． 【答案】 . ，转化为 t 与 n 的不等式，利用函数的最值 ，若对任意 ，若数列 ，都有 （ 成立，则称数列 为“增差
）是“增差数列”，则实数 的取
【解析】分析：利用新定义列出 求解实数 t 的取值范围. 详解： 数列 即 （
） 是“增差数列”， 故得到 （
， （ ）,化简得到
） ，
恒成立，即 围是 故答案为： . .
有最小值 15，故实数 的取值范
点睛：本题考查数列的应用，数列与函数的关系，考查转化思想以及计算能力；数列作为特 殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点， 这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过 差值的正负确定数列 的单调性．
二、解答题： （本大题共 6 道题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） 15. 如图,在正方体 中, 棱 、
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、
上的中点分别为 、 、 .
（1）求证：
平面
;（2）求证：平面
平面
.
【答案】(1) 证明见解析. (2)证明见解析. 【解析】分析： （1）根据条件得到四边形 ， 详解： （1）在正方体 ∴四边形 ∵ ， 中, 为平行四边形，∴ 平面 ， 平面 中, ，∴ 平面 ， . ，∵ 、 分别为棱 、 的中点，∴ ， ，进而得到 平面 为平行四边形，∴ ； （2）根据条件得到
，根据面面垂直的判定得到面面垂直.
（2）在正方体 ∴ 同理可得 ∵ ∴ ∵ ， 平面 平面 ， 平面 . . ，
，由(1)知
，
平面
，
平面
，
，∴平面
平面
.
点睛：本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一 个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者在高二学到建系的方法，可 以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可. 16. 已知 （1）求 （2）若 的值； ， ，求 的值. ， ．
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【答案】(1) . (2) . ,根据条件得到 ，利用二倍角公式得
【解析】分析:(1) ,代入求值即可； （2） 到 详解： （1） 又 ，代入求值即可.
,
（2） ， ， ， ，
点睛：这个题目考查了三角函数诱导公式的应用，配凑角的应用，用已知角表示要求的角， 注意角的范围是否需要通过三角函数值来缩小. 17. 已知等比数列 求数列 记 的公比 ， ，且 成等差数列.
的通项公式; ，求数列 的前 项和 . . .
【答案】(1) (2)
【解析】分析： （1）根据等差数列的性质得到
，
，进而得到通项； （2）由第一
问得到 详解：
，错位想减求和即可.
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， 又 成等差数列， ， ，
， ，
① ②
-②：
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有 常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验
n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等. 18. 设 的内角 的对边分别为 ，且角 为钝角. （1）求 （2）求 【答案】(1) (2) . ，根据题干条件得到 = ，进 的值； 的取值范围． . ，其外接圆的直径为 1,
【解析】分析： （1）根据余弦定理得到
，进而得到结论； （2）根据正弦定理将表达式化为 而得到范围. 详解： （1） 由 三角形 外接圆的直径为 1， 得
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，
又因 为钝角，所以
，
所以
，所以
.
（2）由（1）知，
,
所以
于是
=
，
因为
，所以
，
，
因此
的取值范围是
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角 形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理， 有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 、 及
时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦
定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 19. 共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润。 现某公司瞄准这一市场， 准备投放共享汽车。 该公司取得了在 个省份投放共享汽车的经营权， 计划前期一次性投入 元. 设在每个省投放共享汽车的市的数量相同（假设每个省的市 辆共享汽车.由于各个市的多种因素的差异，在第 个市的 )元(其中 为常数)．经测算，若每个省在 个市投放共享 元.（本题中不考虑共享汽车本身的
的数量足够多） ，每个市都投放 每辆共享汽车的管理成本为(
汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为
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费用） 注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用＋所有共享汽车的管理费用,平均综合管理费用＝ 综合管理费用÷共享汽车总数. （1）求 的值； （2）问要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽 车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？ 【答案】(1) .
(2) 每个省有 个市投放共享汽车时，每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，此时每辆共享 汽车的平均综合管理费用为 元． ， 解得 ， ；
【解析】 分析： （1） 根据平均数据的概念得到 （2）设在每个省有
个市投放共享汽车，每辆共享汽车的平均综合管理费用为 ，由均值不等式求得最值即可.
详解： （1） 每个省在 个市投放共享汽车，则所有共享汽车为 用总和为 ， 所以 （2）设在每个省有 题设可知 ，解得 . ，由 辆，所有共享汽车管理费
个市投放共享汽车，每辆共享汽车的平均综合管理费用为
所以 当且仅当 ，即 时，等号成立．
，
答：每个省有 个市投放共享汽车时，每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，此时每辆共享 汽车的平均综合管理费用为 元．
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20. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4=2 且 (1)证明：数列{an}为等差数列； (2)是否存在正整数 ， (1< 存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析. (2) 存在 符合. )，使得
,数列
满足
,
成等比数列，若存在，求出
的值；若不
【解析】分析： （1）2Sn＋1=( n＋1)an＋1－(n＋1)，2Sn= nan－n，两式做查得到 an＋2＋an=2an＋1， 所以数列{an}是等差数列； （2） ， 成等比数列，即 ，代入表达式可得
，分析得到结果. 详解： (1) 由已知得 2Sn= nan－n① , 故当 n=1 时，2S1=a1－1，即 a1＝－1， 又 2Sn＋1=( n＋1)an＋1－(n＋1)②， ②－①得 2Sn＋1－2Sn=(n＋1)an＋1－nan－1， 即(n－1)an＋1－nan－1=0 ③， 又 nan＋2－(n＋1)an＋1－1=0④ ④－③得，nan＋2－2nan＋1＋nan=0， 即 an＋2＋an=2an＋1，所以数列{an}是等差数列. (2)因为 a1＝－1，a4=2，所以公差为 1
an＝－1＋(n－1)×1=n－2，所以
假设正整数 ， (1< 可得 ，
)，使得
成等比数列，即
，
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又
当
时,
关于 递减,(同理当
时,
关于 递减)
当 当 当
时,符合 时, 符合 时,
,此时 ,此时 ,不符合 符合.
,易得 ,此时
,不满足
综上: 存在
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及等比数列性质的应用；数列通项的求法中有 常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验
n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
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