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3.1.1--回归分析的基本思想及其初步应用_图文

n n ? i ?1 ( x x )( y y ) r? ? xi yi -nx y ? ? i n n i 2 ?b i ? 1 ?? i ?1 ( x ? x ) ( yi ? y )2 ? ? i ? , n n ? 1 i ?1 n n 2 2 其中x ? 1 ? x , y ? 1 ? i ?y . 2 ? ? ( xi - x) ? xi -nx n i ?1 i n i ?1 i ? i ?1 i ?1 ? ? ?a ? ? ? y -bx.

? ( xi ? x)( yi ? y)

n

?

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

(? xi2 ? nx )(? yi2 ? n y )
2 2 i ?1 i ?1

n

n

( x , y ) 称为样本点 的中心
例2相关性分析: ?x ?

(1)求? yi ? ? yi
i ?1

n

?

? 的最小值,即用这n个偏差

的和来刻画“个点与此直线的整体偏差”.
由于? yi ? ? yi ?可正可负, 为避免相互抵消,取绝对值.

? 2?3? 4?5? 6 2.2 ? 3.8 ? 5.5 ? 6.5 ? 7.0 ?????????? ? 4, y ? ? 5, n 5 5 (2) 求 yi ? ? yi 的最小值. n ? i ? 1 ( xi ? x)( yi ? y ) ? (?2)(?2.8) ? (?1)(?1.2) ? 0(0.5) ? (1)(1.5) ? (2)(2) ? 12.3, ? i ?1 由于含绝对值,运算不方便,改用平方和. ??????????????? n n 2 ( xi ? x) 2 ? (?2) 2 ? (?1) 2 ? 02 ? 12 ? 22 ? 10, ? (3)求? yi ? ? yi 的最小值. i ?1

? ( y ? y)
i ?1 i

n

2

? (?2.8) 2 ? (?1.2) 2 ? (0.5) 2 ? (1.5) 2 ? (2) 2 ? 15.78,

i ?1

?

?

i i ? ?????? ?
2 (4)求Q(? , ? ) ? ? yi ? ? yi ? ? ? yi ? ? xi ? ? ? i ?1 i ?1 n

由于 ? y ? ? x ?? .

?r ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

12.3 12.3 ? ? 0.9792. 10 ?15.78 157.8

?

?

n

取得最小值时?,?的值.

高二数学 选修2-3

3.1回归分析的基 本思想及其初步 应用(一)
求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看各点与此直线的距离和最小” .

建立回归模型的基本步骤
通过散点图,可直 观地分析和了解 两个变量是否存 在相关关系,以确 定回归模型. 通过分析相关指 数、随机误差 (残差图),评 价模型的好坏, 进行预报.

这 也 选变量 就 是 画散点图 回 想归 选 模 型(线性) . 分 析 的 估计参数(a,b) 基 本 分析和预测 思

最小二乘法估计公式:
对于一组具有线性相关 关系的数据:
(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn),

我们知道其回归直线 y=bx+a的斜率和截距的 最小二乘估计分别为:

回归直线一定过样本点的中心!

探究1:你能推导出着两个计算公式吗? (推导思路见下一片;推导过程见课本)

(xi,yi )

? ? ? x ? ?, 设回归方程为y 目的:使各样本点与这条 直线的距离越接近越好! ? yi ? ? xi ? ?

? ? ? x ? ?, 设回归方程为y 目的:使各样本点与这条 直线的距离越近越好!

(xi,yi )
? yi ? ? xi ? ?

?分别是使 ?和斜率b 从已经学过的知识知道, 截距a Q ?? , ? ? ? ? ? yi ? ? xi ? ? ? 取最小值时? , ?的值.
2 n i ?1

由于Q ?? , ? ? ? ? ? ? yi ? ? xi ? ? y ? ? x ? ? ? y ? ? x ? ? ? ? ?

n

2

?? ? ? yi ? ? xi ? ? y ? ? x ? ? ? ? 2? ? yi ? ? xi ? ? y ? ? x ? ? ??
2 i ?1

n

?

i ?1

? ?? y ? ? x ? ? ? ? ??? ?? y ? ? x ? ? ? ? ?
? ?? ? yi ? ? xi ? ? y ? ? x ? ? ?
i ?1 n n 2

2

?
2

?2? ? ? ?? y ? ? x ?? ? ? n? y ? ? x ?? ? , ? yi ? ? xi ? ? y ? ? x ? ?
i ?1

注意到 ? ? ? ?? y ? ? x ?? ? ? yi ? ? xi ? ? y ? ? x ??
i ?1

n

? ? y ? ? x ?? ? ? ? ? ? yi ? ? xi ? ? y ? ? x ??
i ?1

n

n ? n ? ? ? y ? ? x ? ? ? ?? yi ? ? ? xi ? n ? y ? ? x ?? i ?1 ? i ?1 ?

? ? y ? ? x ?? ? ? ? ny ? n? x ? n ? y ? ? x ? ? ? ? 0,

所以Q ?? , ? ? ? ? ? ? yi ? ? xi ? ? y ? ? x ? ? ? ? n? y ? ? x ?? ?
2 i ?1

n

2

??

2

? ? xi ? x ? ? 2? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ? ? yi ? y ? ? n ? y ? ? x ? ? ?
2 2 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

2

? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ? n ? 2 2 ? ? n ? y ? ? x ? ? ? ? ? ? xi ? x ? ? ? ? i ?1 n 2 ? ? i ?1 x ? x ? i ? ? ? ? 前两项均为正且与α,β有关 ? i ?1 ?
n

2

此项为0,Q有最小值. ? ? ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? n 2 i ?1 ? ? ? ? ? ? yi ? y ? . n 2 i ?1 x ? x ? i ? ? 后两项与α,β无关 i ?1
n

2

在上式中, 后两项和? , ? 无关, 而前两项为非负 数,因此要使Q取最小值,当且仅当前两项的值 均为0,即有

??

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

?? x ? x ?
i ?1 i

n

,? ? y ? ? x .

2

这正是我们所要推导的公式.

下面我们通过案例 , 进一步学习回归分析的 基本思想及其应用 .

1.创设情境:
2008年5月,中共中央国务院关 于加强青少年体育、增强青少年体质 的意见指出城市超重和肥胖青少年的 比例明显增加. “身高标准体重”该指标对于学 生形成正确的身体形态观具有非常直 观的教育作用. “身高标准体重”从何 而来?我们怎样去研究?

问题呈现:女大学生的身高与体重 例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和 体重数据如表1-1所示:
编号 体重/kg 1 48 2 57 3 50 4 54 5 64 6 61 7 43 8 59

身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170

求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程, 并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.

分析:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图:

2、由散点图可以看出,样本点呈现条状分布,身高和体重 有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它 们之间的关系. 3、从散点图还看到,样本点散布在某一条直线的附近,而 不是在一条直线上,所以不能用一次函数y=bx+a描述它们 关系.

解:1.由于问题中要 求根据身高预报体重, 因此选取身高为自变 量x,体重为因变量 y. 2. 画散点图; 3.用公式求出回归方程:

? xi yi ?72315

2 x ? i ? 218774 165.25 x ? i ?1 i ?1 ? ? 0.849 x ? 85.712 所以回归方程为: y

8

8

y ? 54.5

身高172cm女大学生可以预报其体重为:

? ? 0.849 ?172 -85.712 ? 60.316(kg ) y
本例中, 可求得r=0.798>0.75.这表明体重与身高有很强的 线性相关关系,从而也表明我们建立的回归模型是有意义的.

对回归模型进行统计检验

探究2:身高为172cm的女大学生的体重一定是 60.316kg吗?如果不是,你能解析一下原因吗?
答:身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg, 但一般可以认为她的体重接近于60.316kg. 下图中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点.

? ?a ? ? bx ? y

由于样本点不在同一条直线上,只是散布在某一条直线附近, 所以身高与体重的关系可用线性回归模型:y=bx+a+e, …… (3) 来表示,其中a和b为模型的未知参数,e是y与bx+a之间的误差. 通常e为随机变量,称为随机误差(random error),即e称为随机 误差.它的均值E(e)=0,方差D(e)=σ2.这样线性回归模型的完整表 达式为: 一般假定均值为0,即期望 各点都在直线y=bx+a上.

真实值a,b,y

思考:产生随机误差e的原因(主要来源)是什么?
一个人的体重除了受身高的影响外,还受其他许多因素的影 响.其主要来源是(误差越小,回归模型的拟合效果越好!) (1)用线性回归模型近似真实模型(真实模型是客观存在的,只 是通常我们不知道真实模型到底是什么)所引起的误差.另外 可能存在非线性的函数能够更好地描述y与x之间的关系,但 是现在却用线性函数来表达这种关系,结果就会产生误差.这 种由于模型近似所引起的误差都包含在e中. (2)忽略了某些因素的影响.因为影响变量y的因素不只是变量x 一个.例如:遗传因素、饮食习惯、是否喜欢运动等,所引起 的误差都包含在e中. (3)观测误差.由于测量工具等原因造成度量误差也包含在e中.

事实上,我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么, 这里只是利用线性回归方程来近似这种关系.这种近似以及上 面提到的影响因素都是产生随机误差e的原因.

探究3:在线性回归模型中,e是用bx+a预报真实值y的随机 误差,它是一个不可观测的量,那么怎样研究随机误差呢?

是真实值 与估计值 的差!

思考:如何发现数据中的错误?如何衡量模型的拟合效果?

?i ? 0.849xi ? 85.712, ?y

?i ? y ? ? ?e yi , i

?3 ? y ? ? 如e y3 ? 50 ? 47.581 ? 2.419 3

编号 身高/ cm

1 165

2 165

3 157

4 170

5 175

6 165

7 155

8 170

体重 / kg 48 57 50 54 64 61 43 59 ? ? 6.373 2.627 2.419 ? 4.618 1.137 6.627 ? 2.883 0.382 残差e

残差图

8 6 4 2 0

残差

编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2 0 -4 -6 -8

图3.1? 3

R2 ? 1 ?

2 ? ( y ? y ) ? i i 2 ( y ? y ) ? i i ?1 i ?1 n

n

即在实际应用中应该尽量选择 R2 大的回归模型.

例2、在一段时间内,某中商品的价格x元和需求量Y件之间 的一组数据为:

价格x

14

16

18

20

22

需求量Y

12
5

10

7
5

5
5

3

求出Y对的回归直线方程,并说明拟合效果的好坏。

解: x ? 18, y ? 7.4,
5 i i

2 2 x ? 1660, y ?i ? i ? 327, ? xi yi ? 620, i ?1 i ?1 i ?1

?? ?b

? x y ? 5x y
i ?1 5

?x
i ?1

2 i

? 5x

2

620 ? 5 ?18 ? 7.4 ? ? ?1.15. 2 1660 ? 5 ?18

? ? 7.4 ? 1.15 ?18 ? 28.1. ?a

? ? ?1.15x ? 28.1. ?回归直线方程为:y

例2、在一段时间内,某中商品的价格x元和需求量Y件之间 的一组数据为:

价格x

14

16

18

20

22

需求量Y

12

10

7

5

3

求出Y对的回归直线方程,并说明拟合效果的好坏. 列出残差表为

?i yi ? y
yi ? y
5 i ?1

0 4.6
5

0.3 2.6
5 i ?1

-0.4 -0.4

-0.1 -2.4

0.2 -4.4

?i ) 2 ? 0.3, ? ? ( yi ? y

2 ( y ? y ) ? 53.2, ? i

R2 ? 1 ?

2 ? ( y ? y ) ? i i 2 ( y ? y ) ? i i ?1 i ?1 5

?

0.994

因而,拟合效果较好.

小结:

用身高预报体重时,需要注意下列问题:

1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体;

2、我们所建立的回归方程一般都有时间性; 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围; 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上,它是预报变量的可能取值的平均值。 ——这些问题也使用于其他问题。

涉及到统计的一些思想:
模型适用的总体;
模型的时间性; 样本的取值范围对模型的影响; 模型预报结果的正确理解。

用身高预报体重时 ,需要注意下列问题 :

1.回归方程只适用于我们 所研究的样本的总体 .例如, 不能用女大学生的身高 和体重之间的回归方程 , 描述 女运动员的身高和体重 之间的关系 .同样,不能用生长 在南方多雨地区的树木 的高与直径之间的回归 方程, 描述北方干旱地区的树 木的高与直径之间的关 系.
2.我们所建立的回归方程 一般都有时间性 .例如,不 能用20世纪 80年代的身高体重数据所 建立的回归 方程, 描述现在的身高和体重 之间的关系 .

3.样本取值范围会影响回 归方程的适用范围 .例如, 我们的回归方程是由女 大学生身高和体重数据 建 立的,那么用它来描述一个人 幼儿时期的身高和体 重之间的关系就不恰当 (即在回归方程中 , 解释变量 x的样本的取值范围为 ?155cm,170cm?, 而用这个方 程计算 x ? 70cm时的 y值,显然不合适 .)
4.不能期望回归方程得到 的预报值就是预报变量 的 精确值.事实上,它是预报变量的可能取 值的平均值 .

例2 一只红铃虫的产卵数 y和温度x有关.现收集了7组 观察数据列于表 3 ? 3中, 试建立y与x之间的回归方程 .

表3 ? 3 温度 / 0 C 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y / 个 7 11 21 24 66 115 325
解 根据收集的数 据作散点图 ?3.1 ? 4?. 在散点图中 , 样本点 并没 有分 布在 某个 带状区域内 ,因此两 个变量不呈线 性 线 相关关系 , 所以不能
产卵数
350 300 250 200 150 100 50 0 20 22 24 26 28 30 32 34

温度
36

图3.1 ? 4

直接利用线性回归方程 来 建 立两个变量之间的关 系. 根据已有的函数知识 ,可以发现样本点分布在 某一条 指数函数曲线 y ? c1ec 2 x的周围, 其中 c1和c 2是待定参数 . 现在,问题变为如何估计待定 参数 c1和c 2 .我们可以通 过对数变换把指数关系 变为线性关 系.令z ? ln y, 则变 换后样本点应该分布在 直线 z ? bx ? a(a ? ln c1, b ? c 2 ) 的周围.这样, 就可以利用线性回归模 型来建立 y和x之 间的非线性回归方程 ?? ?了. ???当回归方程不是形如 y ? bx ? a时,我们称之为非

线性回归方程 .
由表3 ? 3的数据可以得到变换后 的样本数据表 3 ? 4,图

3.1 ? 5给出了表 3 ? 4中数据的散点图 .从图3.1 ? 5中可以 看出,变换后的样本点分布在 一条直线的附近 ,因此可以 用线性回归方程来拟合 .
表3 ? 4

x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
由表 3 ? 4中的数据得 到线性回归方程 ? ? 0.272x ? 3.843. z
产卵数的对数
7 6 5 4 3 2 1 0 20 22 24 26 28 30 32 34 36

因此红铃虫的产卵 数对温度的非线性 回归方程为

温度

图3.1? 5

? ?1? ? e0.272 x?3.843 y

?6?

另一方面 ,可以认为图 3.1 ? 4中样本点集中在某二 次曲线 y ? c 3 x 2 ? c 4的附近 , 其中 c 3 和 c 4 为待定参 数.因此可以对温度变量做 变换, 即令 t ? x 2 ,然后建 立y与t之间的线性回归方程 , 从而得到 y与x 之间的 非线性回归方程 .
表3 ? 5是红铃虫的产卵数和对 应的温度的平方 ,图 3.1 ? 6是相应的散点图 .
表3 ? 5

t 441 529 y 7 11

625 21

729 24

841 1024 1225 66 115 325

从图3.1 ? 6中 350 可以看出 , y与 300 250 t 的散点图并 产 200 不分布在一条 卵 150 数 100 直线的周围 ,因 50 此不宜用线性 0 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 回归方程来拟 温度的平方 合它,即不宜用 图3.1 ? 6 2 二次曲线y ? c 3 x ? c 4来拟合y与x之间的关系 .这个结论 还可以通过残差分析得到.下面介绍具体方法 . 为比较两个不同模型的 残差,需要建立两个相应的回 归 方程.前面已经建立了 y关于 x的指数回归方程 ,下面建立 y关于 x的二次回归方程 .用线性回归模型拟合表 2 ? 5中

的数据, 得到 y 关于 t 的线性回归方程 ? ?2 ? ? 0.367t ? 202.54,即 y 关于 x 的二次回归方程为 y ? ?2 ? ? 0.367x 2 ? 202.54. ?7? y

可以通过残差来比较两 个回归方程 ?6?和?7?的拟合效果 . 用xi表示表 3 ? 5第1行第?i ? 1?列的数据 ,则回归方程 ?6?和 ?7?的残差计算公式分别为 ? i?1? ? yi ? y ? i?1? ? yi ? e0.272 x?3.843 ,i ? 1 e ,2,? ? ?,7;

? i?2? ? yi ? y ? i?2? ? yi ? 0.367xi2 ? 202.54,i ? 1 e ,2,? ? ?,7.

表3 ? 6给出了原始数据及相应 的两个回归方程的 残差. 从表中的数据可以看出 模型?6 ?的残差的绝对值显然比 ?6?的拟合效果比模 模型?7 ?的残差的绝对值小 ,因此模型 型?7 ?的拟合效果好 .

表3 ? 6
x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 ? ?1? 0.518 ? 0.617 1.760 ? 9.149 8.889 ? 14.153 32.928 e ? ?2 ? 47.693 19.397 ? 5.835 ? 41003 ? 40.107 ? 58.268 77.965 e

?6?的拟合效果远远优于模 因此模型 型?7 ?.

在一般情况下 ,比较两个模型的残差比 较困难.原因是在 某些样本点上一个模型 的残 差的绝对值比另一个模 型 的小,而另一些样本点的情况 则相反.这时可以通过比较 两个模型的残差平方和 的大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型 , 拟合的效果越好 .由表3 ? 6容易 ?6?和?7?的残差平方和分别为 算出模型 ? ?1? ? 1450.673, Q ? ?2 ? ? 15448.432. Q

对于给定的样本点?x1, y1 ?, ?x 2 , y 2 ?,? ? ?, ?xn , yn ? , 两个 含有未知数的模型 ~ y ?1? ? f ?x, a?和~ y ?2 ? ? g?x,b?, 其中a 和b 都是未知参数.可以按如下的步骤来比 较它们的拟合效果: ?? ? ?1? ? f ?x, a ?1?分别建立对应于两个模型的回归方程 y ? , 其中a ? 分别是参数a和b的估计值; ? 和b ? ?2 ? ? g x,b 与y ? ?1? ? ?2?分别计算两个回归方程的残差平方和Q

? ?
?1? 2 i

? ? ? ?y ? y
n i i?1

? 的好. ? ?的效果不如y ? ?1? ? f ?x, a ? ?2 ? ? g x,b 的好;反之, y

? ?1? ? Q ? ?2 ?,则y ?? ? ?的效果比y ? ?1? ? f ?x, a ? ?2 ? ? g?x,b ?3?若Q

? 2? 2 ? 2? ? ?i ? ; 与Q ? ? ?yi ? y
n i?1

? ?

探究3:在线性回归模型中,e是用bx+a预报真实值y的随机 误差,它是一个不可观测的量,那么怎样研究随机误差呢? 假设 1:身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响,
编号 身高/cm 体重/kg 1 165 54.5 2 165 54.5 3 157 54.5 4 170 54.5 5 175 54.5 6 165 54.5 7 155 54.5 8 170 54.5

54.5kg

编号
身高/cm 体重/kg

1 165 48

2 165 57

3 157 50

4 170 54

5 175 64

6 165 61

7 155 43

8 170 59

例如,编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上,她的 体重为61kg。解释变量(身高)和随机误差共同把这名学生的体 重从54.5kg“推”到了61kg,相差6.5kg,所以6.5kg是解释变量 和随机误差的组合效应。
用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。 数学上,把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方加起来,即用
2 ( y ? y ) 表示总的效应,称为总偏差平方和。 ? i i ?1 n

怎样研究随机误差?
假设2:随机误差对体重没有影响,也就是说,体重仅受身高的影响,那么散点图 中所有的点将完全落在回归直线上。
编号 身高/cm 体重/kg

1 165
48

2 165
57

3 157
50

4 170
54

5 175
64

6 165
61

7 155
43

8 170
59

因此,数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi ? i =y ? ? 称e y 为残差。
i i

?? y i ) 是随机误差的效应,

例如,编号为6的女大学生,计算随机误差的效应(残差)为:

61 ? (0.849 ?165 ? 85.712) ? 6.627
对每名女大学生计算这个差异,然后分别将所得的值平方后加起来,用数学符号 表示为:
2 ? ( y ? y ) ? i i 称为残差平方和,它代表了随机误差的效应。 i ?1 n

如何衡量预报的精度?
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是
n

R ? 1?
2

2 ? ( y ? y ) ? i i 2 ( y ? y ) ? i i ?1 i ?1 n

残差平方和 ? 1? 。 总偏差平方和

显然,R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合效果越好。

如果某组数据可能采取几种不同回 归方程进行回归分析,则可以通过比 较R2的值来做出选择,即选取R2较大 的模型作为这组数据的模型。

3.分析方程回归效果的常用方法

(1)相关指数:该法主要从量上清楚地反映解释 变量与预报变量间的效应. (2)残差图:该法主要从图上直观地分析点的分布 情况,看一下样本数据与回归直线的拟合效果.
只通过图形判断,无法精确地给出所得结论的可靠程度!

学以致用:
1、 在对两个变量X,Y进行线性回归分析时有 下列步骤:
①对所求出的回归方程作出解释,②收集数据(xi ,y i ) ③求线性回归方程,④求相关系数,⑤根据所搜集的数据绘 制散点图.如果根据可靠性要求能够作出变量X,Y具有线 性相关结论,则在下列操作顺序中正确的是 ( ) A.①②⑤③④ C.②④③①⑤ B.③②④⑤① D.②⑤④③①

学以致用:
2、对于相关指数 ( )

R

2

,下列说法正确的是

2的取植越小,模型拟合效果越好 A、 R

B、 R

2 的取值可以是任意大,且

R

2

取值越大拟合效果越好

2 的取值越接近1,模型拟合效果越好 C、 R

D、以上答案都不对 R
2

学以致用:
3、甲、乙、丙,丁四位同学各自对A,B两变量 的线性相关性做实验,并用回归分析方法分别求得 相关系数r与残差平方和m如下表:
r m
甲 0.82 106 乙 0.78 115 丙 0.69 124 丁 0.85 103

则哪位同学的实验结果体现A,B两变量有更强的线性相关性 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

学以致用:
4、 已知两个变量x和y之间有线性相关性,4次实 验得到样本如下: x y 0 0 1 2 2 3.9 3 6.1

(1)则y对x的线性回归方程是___________ (2)相应于各样本点的残差 __,___,___. (i=1,2,3,4)分别是__,_ ? ei

残差平方和是___________

课堂总结:
知识小节:

1、线性回归分析的步骤 2、回归模型的建立 3、随机误差的研究
数学思想小结:

1、最小二乘法思想 2、函数与方程的思想 3、数形结合


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