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柱体锥体台体的表面积和体积


1.3.1 柱体、锥体、 台体的表面积和体积

提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体,它 们的表面积就是各个面的面积的和. 因此,我们可以把它们展成平面图形,利用平面 图形求面积的方法,求立体图形的表面积.

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?

棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

S 直 棱 柱 侧 ? ch ( c 为 底 面 周 长 , h为 高 )

h
正棱柱的侧面展开图

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

正棱锥的侧面展开图

h

/

h

/

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?
S正棱锥侧 ? 1 2 ch ? ( c 为 底 面 周 长 , h ?为 斜 高 )

侧面展开

h'

正棱锥的侧面展开图

h'

棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?
S正棱台侧 ? 1 2 ( c ? c ? ) h ? ( c , c ? 分 别 为 上 , 下 底 面 周 长 , h ?为 斜 高 )

侧面展开
h'

正棱台的侧面展开图

h'

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. 解:先求 ? ABC 的面积,过点S作 SD ? BC , S a 交BC于点D.BC=a, BD ? ,
2

A B D C

SD ?
S ? SBC ?

| SB | ? | BD | ?
2 2

3 2

a
a ? 3 4
2
2

1 2

BC ? SD ?

1 2

a?

3 2

a

四面体S-ABC 的表面积为 4 S ? S B C ? 4 ?

3 4

a ?

3a

2



圆柱的表面积
r O?

l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S 圆柱表面积

? 2? r ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )
2

r为底面半径,l为母线长

圆锥的表面积

圆锥的侧面展开图是扇形

2?r

l

r

O

S 圆锥表面积

? ? r ? ? rl ? ? r ( r ? l )
2

r为底面半径,l为母线长

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .
2?r '

圆台的侧面展开图是扇环

r 'O’
l

2?r

r O

S 圆台表面积

? ? ( r ? ? r ? r ?l ? rl )
2 2

r, r’为上,下底面半径,l为母线长

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?

r O?
r’=r

r 'O’
l

r’=0
上底缩小

l

l
O

上底扩大

r O
2 2

r

O

S 柱 ? 2? r ( r ? l )

S 台 ? ? ( r ? ? r ? r ?l ? rl ) S 锥 ? ? r ( r ? l )

典型例题
例2如图,一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底直径为 15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长15cm.那么 花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取3.14,结果精确 到1 cm 2 )? 20 cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 ? ? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1 .5 ? S ? ? ?? ? 15 ? ? 15 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?

15 cm
15 cm

? 999 ( cm )
2

答:花盆的表面积约是999

cm

2



3

课堂练习
?

?

? ?

?

1、一个三棱柱的底面是正三角形,边长为4, 侧棱与底面垂直,侧棱长10,求其表面积. 2、一个圆台,上、下底面半径分别为10、20, 母线与底面的夹角为60°,求圆台的表面积. 变式:求切割之前的圆锥的表面积 3、若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面 积为 ,求这个圆锥的表面积 3 4、直角三角形,两直角边的长为3 , 4,绕 其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少?

知识小结
圆柱 S ? 2 ? r ( r ? l )
r ? r?

柱体、锥体、台体的表面积

圆台S

? ? ( r ? ? r ? r ?l ? rl )
2 2

r? ? 0

展开图

圆锥 S ? ? r ( r ? l )

各面面积之和

柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为: (S为底面面积,h为高). V ? Sh

一般棱柱体积也是:

V ? Sh 其中S为底面面积,h为棱柱的高.

圆锥体积

圆锥的体积公式:

V ?

1 3

Sh (其中S为底面面积,h为高)
1 3

圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的



棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系.

三棱锥与同底等高的三棱柱的关系

锥体体积
经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积 的
1 3

.即棱锥的体积:

V ?

1 3

Sh(其中S为底面面积,h为高)

由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底 面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是等于 底面面积乘高的
1 3



台体体积
根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的,因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略).
A
A?

P

S?

D?

C?

B?

h

D

V ? V P ? ABCD ? V P ? A ? B ?C ?D ?
? 1 3 (S ? ? S ?S ? S ) h
B

S

C

台体体积

棱台(圆台)的体积公式
V ? 1 3 (S ? ? S ?S ? S ) h

其中 S , S ? 分别为上、下底面面积,h为圆台 (棱台)的高.

台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? 0

V ?

1 3

(S ? ?

S ?S ? S ) h

S? ? S

V ?

1 3

Sh

S为底面面积, h为锥体高

S分别为上、下底面 面积,h 为台体高

S为底面面积, h为柱体高

典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 3 7 . 8 g / cm )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm, 问这堆螺帽大约有多少个( ? 取3.14)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,即:
V ? 3 4
3 3

? 12 ? 6 ? 10 ? 3 . 14 ? (
2

10 2

) ? 10
2

? 2956 ( mm ) ? 2 . 956 ( cm )

所以螺帽的个数为 5 . 8 ? 1000

? ( 7 . 8 ? 2 . 956 ) ? 252 (个)

答:这堆螺帽大约有252个.

1.圆柱的侧面展开图如下左图所示,求此圆柱 的体积。
侧面展开图

8

直 观 图 1

V柱 ? ? (

12 2?

) ?8
2

?
8 2?

36

12
直观图2

?

?8 ?

288

?

V柱 ? ? (
? 16

) ? 12
2

?

? 12 ?

192

?

根据题目要求, 和相关条件 ,求值.
h ? 10
S 底面 ? 16
V ??

V正 方 体 ? 27

x ??

x ? 27
3

V ? 16 ? 4 ? 64
V ??

? x ? 3

V ?
h ? 10

1 3

?

3 4

6 ? 6 ? 10 ? 180
2

3

a ? 6

已知正四棱台两底面的边长, 和棱台体积,求棱台 的高. a ? 6 0 V ? 190
h? ?
b ? 40
R ?1

V ?

1 3

? h ? ( 60 ? 60 ? 40 ? 40 ) ? 190
2 2

? h ? 75
R? ? 1 ?
3

1 10
3

V V?

??
3

R

R?

? R ? ? R ? 1000 ? 10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? V ? ? R? ? ? R? ? 1331 ? 11 ? V

知识小结
圆柱 S ? 2 ? r ( r ? l )
r ? r?

柱体、锥体、台体的表面积

圆台S

? ? ( r ? ? r ? r ?l ? rl )
2 2

r? ? 0

展开图

圆锥 S ? ? r ( r ? l )

各面面积之和

知识小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体

V ? Sh
S ? S'

台体

V ?

1 3

(S ? ?

S ?S ? S ) h

S '? 0
锥体

V ?

1 3

Sh

1.3.2 球的表面积 和体积

球的体积
R R

1 2

V球 ? ?R R ?
2

1 3

?R R ?
2

2 3

?R

3

V球 ?

4 3

?R

3

4 3

?R ?
3

1 3

S 球面 R

S 球面 ? 4 ? R

2

1.球的体积是

32 3

? ,则此球的表面积是____.

2.两个球的表面积之比为1:9,则此两球的体积 之比为______. 3.棱长为1的正方体其外接球的表面积为___ , 体积为____ .



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