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巢湖2015-2016高一上期末数学


2015-2016 巢湖高一(上)期末数学
一、选择题: 1.已知全集 R,集合 M={x|x>1},N={x||x|≤2},则(?RM)∩N 等于( A. C.[﹣2,1] D.[1,2] (﹣2,1] B.[﹣2,1) 2.函数 f(x)=x+lnx﹣2 的零点所在区间是( ) A. 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 ( , ) . ( , ) . ( , ) . ( , )



3.若函数 A.﹣1 B.0 C.1 D.2

,则 f(f(1) )的值为(



4.已知 A. B. C.

,那么 cosα=( D.



5.要得到函数 y=sin(4x﹣ A.向左平移 C.向左平移 单位 单位

)的图象,只需将函数 y=sin4x 的图象( 单位 单位



B.向右平移 D.向右平移

6.已知



, D.8

,则

=(



A.﹣8 B.﹣10 C.10

7.已知 =(1,2) , =(﹣3,2) ,k + 与 ﹣3 平行,则 k 的值为( A.3 B. C. D.﹣



8.函数 A.

的定义域是( B.[1,+∞) C.

) D. (﹣∞,1]

9.给出下列函数: (1)y=2x; (2)y=x2; (3) 数的序号为( )

; (4)y=x2+1; (5)

,其中是幂函

A. (2) (3) B. (1) (2) C. (2) (3) (5) D. ( 1) (2) (3) 10.若将函数 f(x)=2sinxcosx﹣2sin2x+1 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对 称,则 φ 的最小正值是( ) A. B. C. D.

11.设 a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,

,则 a,b,c 大小关系(



A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b

12.函数 f(x)=

的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

二、填空题 13.sin215°﹣cos215°=



14.已知函数

(x∈[2,6]) ,则 f(x)的值域是



15.已知

=2016,则

+tan2α=



16.在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③ 最小正周期为 π 的所有函数为 . (请填序号)

,④

中,

三、解答题 17. (1)计算: ;

(2)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且 f(x+2)=﹣f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2, 求 f 定义在(﹣1,1)上的奇函数 f(x)是减函数,且 f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0,求实数 a 的取值范围. 19.已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx) ,x∈R.

(1)求

的值;

(2)求函数 f(x)的单调递增区间; (3)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值.

20.如图,三个同样大小的正方形并排一行. (Ⅰ)求 与 夹角的余弦值. (Ⅱ)求∠BOD+∠COD.

21.某同学在用 120 分钟做 150 分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时,卷Ⅰ和卷Ⅱ所 得分数分别为 P 和 Q(单位:分) ,在每部分至少做了 20 分钟的条件下,发现它们与投入时 间 m(单位:分钟)的关系有经验公式 , .

(1)求数学总成绩 y(单位:分)与对卷Ⅱ投入时间 x(单位:分钟)的函数关系式及其定 义域; (2)如何计算使用时间,才能使所得分数最高? 22.若 y=cos2x+2psinx+q 有最大值 9 和最小值 6,求实数 p,q 的值.

2015-2016 巢湖高一(上)期末数学
参考答案与试题解析

一、选择题: 1.已知全集 R,集合 M={x|x>1},N={x||x|≤2},则(?RM)∩N 等于( ) A. C.[﹣2,1] D.[1,2] (﹣2,1] B.[﹣2,1) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:∵全集 R,集合 M={x|x>1},N={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2,2], ∴?UM={x|x≤1}=(﹣∞,1] 则(?UM)∩N=[﹣2,1]. 故选:C 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.函数 f(x)=x+lnx﹣2 的零点所在区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】由题意,函数 f(x)=x+lnx﹣2 在定义域上单调递增,再求端点函数值即可. 【解答】解:函数 f(x)=x+lnx﹣2 在定义域上单调递增, f(1)=1﹣2<0, f(2)=2+ln2﹣2>0, 故函数 f(x)=x+lnx﹣2 的零点所在区间是(1,2) ; 故选 B. 【点评】本题考查了函数的零点的判断,属于基础题.

3.若函数 A.﹣1 B.0 C.1 D.2

,则 f(f(1) )的值为(



【考点】函数的值. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】求出 f(1)的值,从而求出 f(f(1) )=f(0)的值即可. 【解答】解:f(1)= =0,

∴f(f(1) )=f(0)=﹣30+1=0, 故选:B. 【点评】本题考查了求函数值问题,考查分段函数问题,是一道基础题.

4.已知

,那么 cosα=(



A.

B.

C.

D.

【考点】诱导公式的作用. 【专题】三角函数的求值. 【分析】已知等式中的角变形后,利用诱导公式化简,即可求出 cosα 的值. 【解答】解:sin( +α)=sin(2π+ +α)=sin( +α)=cosα= .

故选 C. 【点评】此题考查了诱导公式的作用,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

5.要得到函数 y=sin(4x﹣ A.向左平移 C.向左平移 单位 单位

)的图象,只需将函数 y=sin4x 的图象( 单位 单位



B.向右平移 D.向右平移

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可. 【解答】解:因为函数 y=sin(4x﹣ 要得到函数 y=sin(4x﹣ )=sin[4(x﹣ )], 单位.

)的图象,只需将函数 y=sin4x 的图象向右平移

故选:B. 【点评】本题考查三角函数的图象的平移,值域平移变换中 x 的系数是易错点.

6.已知



, D.8

,则

=(



A.﹣8 B.﹣10 C.10

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;定义法;平面向量及应用. 【分析】向量的数量积的运算和向量的模即可求出. 【解答】解: ∴ ∴ = , +| +2 , =16+25+2 , =21,

=﹣10, 故选:B. 【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算,属于基础题. 7.已知 =(1,2) , =(﹣3,2) ,k + 与 ﹣3 平行,则 k 的值为( A.3 B. C. D.﹣ )

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.

【专题】计算题;对应思想;定义法;平面向量及应用. 【分析】根据向量的平行的条件和向量的坐标运算即可求出. 【解答】解: =(1,2) , =(﹣3,2) , ∴k + =(k﹣3,2k+2) , ﹣3 =(10,﹣4) , ∵k + 与 ﹣3 平行, ∴﹣4(k﹣3)=10(2k+2) , ∴k=﹣ , 故选:D. 【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件,属于基础题.

8.函数 A.

的定义域是( B.[1,+∞) C.

) D. (﹣∞,1]

【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 【专题】计算题. 【分析】欲使函数有意义,须 【解答】解:欲使函数 须 , ,解之得函数的定义域即可. 的有意义,



解之得: 故选 C. 【点评】对数的真数必须大于 0 是研究对数函数的定义域的基本方法,其中,若底数含有参 数,必须分类讨论,结论也必须分情况进行书写. 9.给出下列函数: (1)y=2x; (2)y=x2; (3) ; (4)y=x2+1; (5)

,其中是幂函

数的序号为( ) A. (2) (3) B. (1) (2) C. (2) (3) (5) D. ( 1) (2) (3) 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】形如 y=xα 的函数的幂函数,根据幂函数的定义判断即可. 【解答】解: (1)y=2x 是指数函数; (2)y=x2 是幂函数; (3) 是幂函数;

(4)y=x2+1 是二次函数;

(5)

不是幂函数,

故是幂函数的为: (2) 、 (3) , 故选:A. 【点评】本题考查了幂函数的定义,是一道基础题. 10.若将函数 f(x)=2sinxcosx﹣2sin2x+1 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对 称,则 φ 的最小正值是( ) A. B. C. D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用二倍角公式化简函数的解析式,根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律, 以及正弦函数的图象的对称性求得 ﹣2φ=kπ+ ,k∈Z,从而得到 φ 的最小正值. sin(2x+ )的图象向右

【解答】解:将函数 f(x)=2sinxcosx﹣2sin2x+1=sin2x+cos2x= 平移 φ 个单位, 可得 y= sin[2(x﹣φ)+ ]= sin(2x+

﹣2φ)的图象的图象. ,k∈Z,

再根据所得图象关于 y 轴对称,可得 故 φ 的最小正值是 ,

﹣2φ=kπ+

故选:C. 【点评】本题主要考查二倍角公式,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的 对称性,属于基础题.

11.设 a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,

,则 a,b,c 大小关系(



A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b 【考点】不等式比较大小;两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题. 【分析】利用两角和的正弦公式对 a 和 b 进行化简,转化为正弦值的形式,再由正弦函数的 单调性进行比较大小. a=sin14°+cos14°= 【解答】 解: 由题意知, 同理可得,b=sin16°+cos16°= , = , = ,

∵y=sinx 在(0,90°)是增函数,∴sin59°<sin60°<sin61°, ∴a<c<b, 故选 D. 【点评】本题考查了比较式子大小的方法,一般需要把各项转化统一的形式,再由对应的性 质进行比较,考查了转化思想.

12.函数 f(x)=

的图象大致为(



A.

B.

C.

D. 【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的 符号,从而即可得出正确选项. 【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除 C,D 两个选项; 又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在 X 轴下方, 当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在 x 轴上方,故可排除 B,A 选项符 合, 故选 A. 【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象,其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性, 再研究某些特殊值. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.sin215°﹣cos215°= ﹣ .

【考点】二倍角的余弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由条件利用二倍角的余弦公式化简所给的式子可得结果. 【解答】解: , 故答案为:﹣ .

【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.

14.已知函数

(x∈[2,6]) ,则 f(x)的值域是



【考点】函数的值域. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由 y=x,y= 在[2,6]上的单调性,可得函数 (x∈[2,6])为

增函数,从而求出函数的最值得答案. 【解答】解:∵函数 y=x 在[2,6]上为增函数,y= 在[2,6]上为减函数,

∴函数 则 故答案为: .

(x∈[2,6])为增函数, .

【点评】本题考查函数值域的求法,训练了利用函数单调性求函数的值域,是中档题.

15.已知

=2016,则

+tan2α=

2016 .

【考点】三角函数的化简求值. 【专题】转化思想;转化法;三角函数的求值. 【分析】根据同角的三角函数关系式进行化简,利用弦化切进行计算即可. 【解答】解: +tan2α= + = =

= ∵ ∴

= =2016, +tan2α=2016,



故答案为:2016 【点评】 本题主要考查三角函数的化简和求值, 利用同角的三角函数关系式进行化简是解决 本题的关键.

16.在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③ 最小正周期为 π 的所有函数为 ①②③ . (请填序号) 【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用三角函数的周期性,得出结论. 【解答】解:函数①y=cos|2x|=cos2x 的最小正周期为 ②y=|cosx|的最小正周期为 ?2π=π, ③ ④ 的最小正周期为 的最小正周期为 =π, ,

,④

中,

=π,

故答案为:①②③. 【点评】本题主要考查三角函数的周期性,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. (1)计算:



(2)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且 f(x+2)=﹣f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2, 求 f 根据对数的运算法则进行化简求解. (2)根据函数奇偶性进行转化求出函数的周期性,即可得到结论. 【解答】 解: (1) 计算: =lg4+lg25+4 ﹣4=lg100+2﹣4=2=2

﹣4=0; (2)∵f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) , 即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数, 则 f=f(﹣1) , ∵函数 f(x)是奇函数,且当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2, ∴f=﹣f(1)=﹣2. 【点评】 本题主要考查函数值的化简和计算, 根据对数的运算法则以及函数奇偶性的性质进 行转化求解是解决本题的关键. 18.定义在(﹣1,1)上的奇函数 f(x)是减函数,且 f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0,求实数 a 的取值范围. 【考点】抽象函数及其应用;函数单调性的性质;奇函数. 【专题】计算题. 【分析】先根据奇函数将 f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0 化简一下,再根据 f(x)是定义在(﹣ 1,1)上的减函数,建立不等式组进行求解即可. 【解答】解:∵f(x)是奇函数 ∴f(1﹣a)<﹣f(1﹣a2)=f(a2﹣1) ∵f(x)是定义在(﹣1,1)上的减函数



解得:0<a<1

∴0<a<1. 【点评】本题主要考查了函数单调性的应用,以及函数的奇偶性的应用,属于中档题. 19.已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx) ,x∈R. (1)求 的值;

(2)求函数 f(x)的单调递增区间; (3)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象;三角函数的最值. 【专题】数形结合;转化思想;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.

【分析】 (1)由函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx) ,x∈R, =﹣ =﹣ .代入计算即可得出.

=﹣

=﹣



(2)利用倍角公式、和差公式即可化为:f(x)= (3)当 时,可得



,利用正弦函数的单调性最值即可得出. =﹣ =﹣ ,

f x) =2cosx x∈R, ∵函数 ( 【解答】 解: (1) (sinx+cosx) , =﹣ ∴ =﹣ = . =

=2. , ,

(2)f(x)=2cosx(sinx+cosx)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1= 由 ≤ ≤2kπ+ , (k∈Z) ,解得 ≤x≤kπ+

∴函数 f(x)的单调递增区间为 (3)当 得最大值 当 , ,即 时, ,∴当

(k∈Z) . ,即 时,函数 f(x)取

时,函数 f(x)取得最小值 0.

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、和差公式,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 20.如图,三个同样大小的正方形并排一行. (Ⅰ)求 与 夹角的余弦值. (Ⅱ)求∠BOD+∠COD.

【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【专题】计算题.

【分析】 设正方形的边长为 1, 可得

cos< , , , 的坐标, (1)

, >=

代入数据计算可得; (2)同理可得 cos∠BOD,cos∠COD 的值,由平方关系可得 sin∠BOD 和 sin∠COD 的值,可得 cos(∠BOD+∠COD)的值,结合角的范围可得答案. 【解答】解:设正方形的边长为 1,则 A(1,1) ,B(2,1) ,C(3,1) ,D(3,0) , 故 =(1,1) , =(2,1) , =(3,1) , =(3,0) (1)可得 cos< , >= = = ,

(2)同理可得 cos∠BOD=

=

=



故可得 sin∠BOD=

=



cos∠COD=

=

=

,sin∠COD=



故 cos(∠BOD+∠COD)= 由角的范围可知∠BOD+∠COD=

=



【点评】本题考查数量积表示向量的夹角,涉及和差角三角函数,属中档题. 21.某同学在用 120 分钟做 150 分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时,卷Ⅰ和卷Ⅱ所 得分数分别为 P 和 Q(单位:分) ,在每部分至少做了 20 分钟的条件下,发现它们与投入时 间 m(单位:分钟)的关系有经验公式 , .

(1)求数学总成绩 y(单位:分)与对卷Ⅱ投入时间 x(单位:分钟)的函数关系式及其定 义域; (2)如何计算使用时间,才能使所得分数最高? 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1) 先求出函数的表达式, 从而求出函数的定义域即可; (2) 令 t= , 得到关于 t 的二次函数,从而求出函数的最值问题. 【解答】解: (1)对卷Ⅱ用 x 分钟,则对卷Ⅰ用分钟, 所以 y=P+Q=65+2 + +36=﹣ x+2 +125,

其定义域为[20,100]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)令 t= ,则函数为关于 t 的二次函数 y=﹣ =﹣ (t

﹣ )2+140. 所以当 t= ,即 x=75 时,ymax=140 答:当卷Ⅰ用 45 分钟,卷Ⅱ用 75 分钟时,所得分数最高﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】本题考查了分段函数问题,考查二次函数的性质,是一道中档题. 22.若 y=cos2x+2psinx+q 有最大值 9 和最小值 6,求实数 p,q 的值. 【考点】三角函数的最值. 【专题】综合题. 【分析】先令 sinx=t 将 y=cos2x+2psinx+q 转化为关于 t 且 t∈[﹣1,1]的一元二次函数,然后 求出其对称轴,再对 p 的值进行讨论从而可确定函数在[﹣1,1]上的单调性,进而根据其最 值可求出 p,q 的值. 【解答】解:令 sinx=t,t∈[﹣1,1], y=1﹣sin2x+2psinx+q y=﹣(sinx﹣p)2+p2+q+1=﹣(t﹣p)2+p2+q+1 ∴y=﹣(t﹣p)2+p2+q+1,对称轴为 t=p 当 p<﹣1 时,[﹣1,1]是函数 y 的递减区间, ymax=y|t=﹣1=(﹣1﹣p)2+p2+q+1=9,ymin=y|t=1=(1﹣p)2+p2+q+1=6, 得 ,与 p<﹣1 矛盾;

当 p>1 时,[﹣1,1]是函数 y 的递增区间, ymax=y|t=1=2p+q=9,ymin=y|t=﹣1=﹣2p+q=6, 得 ,与 p>1 矛盾;

当﹣1≤p≤1 时,ymax=y|t=p=p2+q+1=9, 再当 p≥0,ymin=y|t=﹣1=﹣2p+q=6,得 当 p<0,ymin=y|t=1=2p+q=6,得 ∴ .



【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和一元二次函数的单调性以及最值的问 题.考查考生的基础知识的综合运用能力.

2016 年 3 月 14 日


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