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2014高考数学(理)一轮总复习(人教新课标)配套单元测试:第十一章算法框图及推理与证明 Word版含解析


第十一章
符合题目要求)

算法框图及推理证明 单元测试

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项

1.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是

(

)

A.2 010 1 C.2 答案 解析 D

B.-1 D.2

1 1 由题可知执行如图的程序框图可知 S=-1,2,2,-1,2,2,?

所以当 k=2 009 时 S=2,当 k=2 010 时输出 S=2,故选 D. 2.(2012· 安徽)如下图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 ( )

A.3 C.5 答案 解析 B

B.4 D.6

第一步:x=2,y=2,第二步:x=4,y=3,第三步:x=8,y=4,

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此时 x≤4 不成立,所以输出 y=4. 3. (2013·江西模拟)一个样本容量为 10 的样本数据,它们组成一个公差 不为 0 的等差数列{an},若 a3=8,且 a1,a3,a7 成等比数列,则此样本的平均 数和中位数分别是( A.13,12 C.12,13 答案 解析 B 因为 10 个样本数据组成一组公差不为 0 的等差数列{an}且 a3=8, a1, ) B.13,13 D.13,14

a3,a7 成等比数列,设公差为 d. ∴a1=a3-2d,a7=a3+4d, ∴a2 3=(a3-2d)(a3+4d)即 64=(8-2d)(8+4d), ∴d=2. ∴a1=4,a2=6,a3=8,a4=10,a5=12,a6=14,a7=16, a8=18,a9=20,a10=22. 1 故平均数- a =10(a1+a2+?+a10)=13. 中位数为 13. 4.(2012· 湖北文)容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表: 分组 频数 [10,20) 2 [20,30) 3 [30,40) 4 [40,50) 5 [50,60) 4 ( [60,70) 2 )

则样本数据落在区间[10,40)的频率为 A.0.35 C.0.55 答案 解析 B B.0.45 D.0.65

求出样本数据落在区间[10,40)中的频数,再除以样本容量得频率.求

9 得该频数为 2+3+4=9,样本容量是 20,所以频率为20=0.45 5.某学校在校学生 2 000 人,为了迎接“2013 年天津东亚运动”,学校举 行了“迎亚运”跑步和登山比赛活动,每人都参加而且只参与其中一项比赛,各 年级参与比赛的人数情况如下表:

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高一年级 跑步人数 登山人数 a x

高二年级 b y

高三年级 c z

1 其中 ab:c=2:5:3,全校参与登山的人数占总人数的4.为了了解学生对本 次活动的满意程度, 从中抽取一个 200 人的样本进行调查,则高三年级参与跑步 的学生中应抽取 A.15 人 C.40 人 答案 解析 D 3 由题意,全校参与跑步的人数占总人数的4,高三年级参与跑步的总 B.30 人 D.45 人 ( )

3 3 人数为4×2 000×10=450,由分层抽样的概念,得高三年级参与跑步的学生中 1 应抽取10×450=45 人,故选 D. 6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据:

x y

3 2.5

4 t

5 4

6 4.5

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为^ y=0.7x+0.35,那么 表中 t 的精确值为 A.3 C.3.5 答案 解析 A ∵x= 3+4+5+6 =4.5,代入^ y=0.7x+0.35 得 4 B.3.15 D.4.5 ( )

^ y=3.5,∴t=3.5×4-(2.5+4+4.5)=3.故选 A. 注:本题极易将 x=4,y=t 代入回归方程求解而选 B,但那只是近似值而不 是精确值. 7.已知流程图如下图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环
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体的判断框内①处应填

(

)

A.2 C.5 答案 解析 B

B.3 D.7

当 a=1 时,进入循环,此时 b=21=2;当 a=2 时,再进入循环,此

时 b=22=4;当 a=3 时,再进入循环,此时 b=24=16.所以,当 a=4 时,应跳 出循环,得循环满足的条件为 a≤3,故选 B. 8.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为 n 的 样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)的同学有 30 人,则 n 的 值为 ( )

A.100 B.1 000 C.90 D.900 答案 解析 A 支出在[50,60)的同学的频率为 0.03×10=0.3,因此

30 n=0.3=100. 9.某班有 48 名学生,在一次考试中统计出平均分数为 70,方差为 75,后 来发现有 2 名同学的成绩有误,甲实得 80 分却记为 50 分,乙实得 70 分却记为
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100 分,更正后平均分和方差分别是 A.70,25 C.70,1.04 答案 解析 B 易得 x 没有改变, x =70, B.70,50 D.65,25

(

)

1 2 2 2 而 s2=48[(x1 +x2+?+502+1002+?+x48 )-48 x 2]=75, 1 2 2 2 s′2=48[(x1 +x2+?+802+702+?+x48 )-48 x 2] 1 =48[(75×48+48 x 2-12 500+11 300)-48 x 2] 1 200 =75- 48 =75-25=50. 10. 为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学生的 视力情况,得到频率分布直方图如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a、b 的值分别为 ( )

A.0.27,78 C.2.7,78 答案 解析 A

B.0.27,83 D.2.7,83

由频率分布直方图知组距为 0.1.

4.3~4.4 间的频数为 100×0.1×0.1=1. 4.4~4.5 间的频数为 100×0.1×0.3=3. 又前 4 组的频数成等比数列,∴公比为 3. 从而 4.6~4.7 间的频数最大,且为 1×33=27. ∴a=0.27. 根据后 6 组频数成等差数列,且共有 100-13=87 人.

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6×5 设公差 d,则 6×27+ 2 d=87. 4×3 ∴d=-5,从而 b=4×27+ 2 (-5)=78. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线 上) 11.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%.现采用随机模拟的方法估 计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率: 先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值 的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为 一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了 20 组随机数: 907 431 966 257 191 393 925 027 271 556 932 488 812 730 458 113 569 537 683 989

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________. 答案 解析 0.25 随机产生 20 组数代表 20 次试验,其中恰含 1,2,3,4 中的两个数有

191,271,932,812,393 共 5 个,根据随机模拟试验结果该运动员三次投篮恰有两次 命中的概率为 5 =0.25. 20

12.已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 1 1 3 2 5 3 7

^x+a ^必过点________. 则 y 与 x 的线性回归方程为^ y =b 答案 解析 y= (1.5,4) 回归直线方程必过点( x , y ),又 x = 0+1+2+3 =1.5, 4

1+3+5+7 =4,故 y 与 x 的线性回归方程必过点(1.5,4). 4

13.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数 字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________. 甲 9 2
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乙 8 0 8 9 3 ■ 3 9 7

1

答案 解析

4 5 1 记其中被污损的数字为 x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是5

1 (80×2+90×3+8+9+2+1+0)=90,乙的五次综合测评的平均成绩是5(80×3 1 1 +90×2+2+3+7+x+9)=5(442+x).令 90>5(442+x),由此解得 x<8,即 x 8 4 的可能取值是 0~7,因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为10=5. 14.在 2013 年 3 月 15 日, 某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天 销售量及其价格进行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如 下表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归 直线方程是:y=-3.2 x+a(参考公式:回归方程y=bx+a,a= y -b x ),则 a =________. 答案 解析 y= 40 价格的平均数是 x = 9+9.5+10+10.5+11 =10,销售量的平均数是 5
^ ^

^ 11+10+8+6+5 = 8 ,由 y =-3.2x+a 知 b=-3.2,所以 a= y -b x =8 5

+3.2×10=40. 15.定义一种新运算“?”:S=a?b,其运算原理为如图的程序框图所示, 则式子 5?4-3?6=________.

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答案 解析

1 ?b?a+1?,a≤b, 由框图可知 S=? 从而可得 ?a?b+1?,a>b,

5?4-3?6=5×(4+1)-(3+1)×6=1. 16. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的 人与另外 500 名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H0:“这种 血清不能起到预防感冒的作用”,利用 2×2 列联表计算得 K2≈3.918,经查对临 界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.对此,四名同学作出了以下的判断: p:有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”; q:若某人未使用该血清,则他在一年中有 95%的可能性得感冒; r:这种血清预防感冒的有效率为 95%; s:这种血清预防感冒的有效率为 5%. 则下列结论中,正确结论的序号是________.(把你认为正确的命题序号都 填上) ①p∧綈 q ②綈 p∧q ③(綈 p∧綈 q)∧(r∨s)

④(p∨綈 r)∧(綈 q∨s) 答案 解析 ①④ 本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语.由题意,得

K2≈3.918,P(K2≥3.841)≈0.05,所以,只要第一位同学的判断正确,即有 95% 的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.由真值表知①④为真命题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
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17. (本小题满分 10 分)(2012· 陕西文)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区 市场上销售量相等, 为了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机 抽取 100 个进行测试,结果统计如下:

(1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品 牌的概率. 解析 5+20 1 (1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 100 =4,用频率估计概

1 率,所以甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为4. (2)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个,其中甲品 75 牌产品是 75 个, 所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是145 15 15 =29,用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为29. 18.(本小题满分 12 分)高三年级有 500 名学生,为了了解数学学科的学习 情况, 现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成如下频率分布 表: 分组 [85,95) [95,105) 频数 ① 频率 ② 0.050

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[105,115) [115,125) [125,135) [135,145) [145,155) 合计 4 12

0.200 0.300 0.275 ③ 0.050 ④

(1)根据上面图表, ①②③④处的数值分别为________、 ________、 ________、 ________; (2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图; (3)根据题中信息估计总体平均数,并估计总体落在[129,155]中的频率. 答案 (2)略 (3)总体平均数约为 122.5,总体落在[129,155]上的频率约为 0.315. 解析 12 (1)随机抽出的人数为0.300=40,由统计知识知④处应填 1;③处应 (1)1 0.025 0.1 1

4 填40=0.1;②处应填 1-0.050-0.1-0.275-0.300-0.200-0.050=0.025; ①处应填 0.025×40=1. (2)频率分布直方图如图.

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(3)利用组中值算得平均数: 90×0.025 + 100×0.05 + 110×0.2 + 120×0.3 + 130×0.275 + 140×0.1 + 150×0.05=122.5;总体落在[129,155]上的频率为 6 ×0.275+0.1+0.05=0.315. 10

19.(本小题满分 12 分)甲,乙两射击运动员进行射击比赛,射击相同的次 数,已知两运动员射击的环数 ξ 稳定在 7,8,9,10 环.他们的这次成绩画成频率分 布直方图如下:

(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中 8 环的概率 P(ξ 乙=8), 以及求甲,乙同时击中 9 环以上(包括 9 环)的概率; (2)根据这次比赛的成绩估计甲,乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁 大). 解析 (1)由图可知 P(ξ 乙=7)=0.2,

P(ξ 乙=9)=0.2,P(ξ 乙=10)=0.35, 所以 P(ξ 乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25. 因为 P(ξ 甲=7)=0.2,P(ξ 甲=8)=0.15,P(ξ 甲=9)=0.3, 所以 P(ξ 甲=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35. 因为 P(ξ 甲≥9)=0.3+0.35=0.65,P(ξ 乙≥9)=0.2+0.35=0.55, 所以甲,乙同时击中 9 环以上(包括 9 环)的概率为 P=P(ξ 甲≥9)· P(ξ 乙≥9)=0.65×0.55=0.357 5. (2)因为 E(ξ 甲)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,
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E(ξ 乙)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7, E(ξ 甲)>E(ξ 乙),所以估计甲的水平更高. 20.(本小题满分 12 分)在综合素质评价的某个维度的测评中,依据评分细 则,学生之间相互打分,最终将所有的数据合成一个分数.满分 100 分,按照大 于等于 80 分为优秀,小于 80 分为合格.为了解学生的在该维度的测评结果,从 毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有 60 名学生,得到如下的列联表. 优秀 男生 女生 合计 6 18 60 合格 总计

1 已知在该班随机抽取 1 人测评结果为优秀的概率为3. (1)请完成上面的列联表; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与测评结果有关系? (3)现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况,采取简单随机抽样的方 式在全校学生中抽取少数一部分人来分析,请你选择一个合适的抽样方法,并解 释理由. 解析 (1) 优秀 男生 女生 合计 6 14 20 合格 22 18 40 总计 28 32 60

(2)提示统计假设:性别与测评结果没有关系,则 60×?6×18-22×14?2 K= ≈3.348>2.706. 40×20×32×28
2

由于 P(K2>2.706)=0.10, 因此在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为“性别与测评结果有关系”. (3)由(1)可知性别很有可能对是否优秀有影响,所以采用分层抽样按男女生 比例抽取一定的学生, 这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符 合实际情况.

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21.(本小题满分 12 分)为了分析某个高三学生的学习态度,对其下一阶段 的学习提供指导性建议, 现对他前 7 次考试的数学成绩 x、 物理成绩 y 进行分析. 下 面是该生 7 次考试的成绩. 数学 物理 88 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的, 若该生的物理成绩达 到 115 分,请你估计他的数学成绩大约是多少? 解析 -12-17+17-8+8+12 (1)∵- x =100+ =100, 7

-6-9+8-4+4+1+6 - y =100+ =100, 7 994 250 2 ∴s2 = 142 ,∴ s 数学= 物理= 7 7 .
2 从而 s2 数学>s物理,∴物理成绩更稳定.

497 (2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系, 根据回归系数公式得到 b=994=0.5, a=100-0.5×100=50. ∴线性回归方程为^ y=0.5x+50. 当 y=115 时,x=130. 22.(本小题满分 12 分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率 分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题.

(1)求全班人数及分数在[80,90)之间的频数;
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(2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取 的试卷中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率. 解析 (1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为 2,频率为 0.008×10=

2 0.08,全班人数为0.08=25. 所以分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4. (2)分数在[50,60)之间的总分为 56+58=114;分数在[60,70)之间的总分数为 60×7+2+3+3+5+6+8+9=456;分数在[70,80)之间的总分数为 70×10+1 +2+2+3+4+5+6 +7+8+9=747;分数在[80,90)之间的总分约为 85×4= 340 ; 分 数 在 [90,100] 之 间 的 总 分 数 为 95 + 98 = 193 ; 该 班 的 平 均 分 数 为 114+456+747+340+193 =74. 25 估计平均分时,以下解法也给分: 2 分数在[50,60)之间的频率为25=0.08; 7 分数在[60,70)之间的频率为25=0.28; 10 分数在[70,80)之间的频率为25=0.40; 4 分数在[80,90)之间的频率为25=0.16; 2 分数在[90,100]之间的频率为25=0.08; 所 以 , 该 班 的 平 均 分 约 为 55×0.08 + 65×0.28 + 75×0.40 + 85×0.16 + 95×0.09=73.8. 4 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为25÷ 10=0.016. (3)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4,[90,100]之间的 2 个分数编号为 5,6,在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6),
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(4,5),(4,6), (5,6)共 15 个, 其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有 9 个,故至少有一份分数在 9 [90,100]之间的概率是15=0.6.

1.假设佛罗里达州某镇有居民 2 400 人,其中白人有 1 200 人,黑人 800 人,华人 200 人,其他有色人种 200 人,为了调查奥巴马政府在该镇的支持率, 现从中选取一个容量为 120 人的样本,按分层抽样,白人、黑人、华人、其他有 色人种分别抽取的人数 A.60,40,10,10 C.60,30,15,15 答案 A ( ) B.65,35,10,10 D.55,35,15,15 ( )

2.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 B 等于

A.7 C.31 答案 解析 D

B.15 D.63

根据程序框图可得,本算法运行 5 次,每次将 2B+1 的值再赋给 B,

故 B 的值分别 3,7,15,31,63,故选 D. 3.给出 30 个数:1,2,4,7,?,其规律是:第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数大 1,第 3 个数比第 2 个数大 2,第 4 个数比第 3 个数大 3,以此类推.要 计算这 30 个数的和,现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示),则在图中 判断框中①处和执行框中的②处应填的语句分别为
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(

)

A.①i>30,②p=p+i C.①i≤30,②p=p+i 答案 解析 A

B.①i<30,②p=p+i D.①i≥30,②p=p+i

因为是求 30 个数的和,故循环体应执行 30 次,其中 i 是计数变量,

因为判断框内的条件就是限制计数变量 i 的,这个流程图中判断框的向下的出口 是不满足条件继续执行循环,故应为 i>30.算法中的变量 p 实质是表示参与求和 的各个数,由于它也是变化的,且满足第 i 个数比其前一个数大 i-1,第 i+1 个数比其前一个数大 i,故应有 p=p+i.故①处应填 i>30;②处应填 p=p+i. 4.为了了解高三学生的数学成绩,抽取了某班 60 名学生,将所得数据整理 后,画出其频率分布直方图(如图),已知从左到右各长方形高的比为 2∶3∶5∶ 6∶3∶1,则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是 ( )

A.32 C.24 答案 解析 D

B.27 D.33

80~100 间两个长方形高占总体的比例:

5+6 11 =20即为频数之比. 2+3+5+6+3+1 x 11 ∴60=20.∴x=33,故选 D. 5.运行下图所示框图的相应程序,若输入 a,b 的值分别为 log23 和 log32, 则输出 M 的值是
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(

)

A.0 C.2 答案 解析 C

B.1 D.-1

∵log23>log32,由程序框图可知

M=log23×log32+1=2. 6.某多媒体电子白板的采购指导价为每台 12 000 元,若一次采购数量达到 一定量,则可以享受折扣.某位采购商根据折扣情况设计的程序框图如图所示, 若输出的 S=864 000,则这位采购商一次采购了该电子白板 ( )

A.60 台 C.80 台 答案 C

B.70 台 D.90 台

解析

0.85· x, ?x>100? ?Q· 0.9· x, ?60<x≤100? 依题意可得 S=?Q· ?Q· x, ?0≤x≤60?,

其中 Q=12 000,x 表示

1 440 一次采购的台数. 令 Q· 0.85· x=864 000, 得 x= 17 (舍去), 令 Q· 0.9· x=864 000, 得 x=80,令 Q· x=864 000,得 x=72(舍去).所以这位采购商一次采购了 80 台 电子白板.
第 17 页 共 27 页

7.已知如图所示的程序框图(未完成).设当箭头 a 指向①时,输出的结果 为 s=m,当箭头 a 指向②时,输出的结果为 s=n,则 m+n= ( )

A.30 C.15 答案 解析 s i B

B.20 D.5

(1)当箭头 a 指向①时,输出 s 和 i 的结果如下: 0+1 2 0+2 3 0+3 4 0+4 5 0+5 6

∴s=m=5. (2)当箭头 a 指向②时,输出 s 和 i 的结果如下: s i 0+1 0+1+2 0+1+2+3 0+1+2+3+4 0+1+2+3+4+5 2 3 4 5 6

∴s=n=1+2+3+4+5=15.于是 m+n=20.

8.执行如图所示的程序框图,输出的 S 是

(

)

第 18 页 共 27 页

A.0 C.- 3 答案 解析 B

B. 3 3 D. 2

nπ ∵sin 3 周期为 6,∴2 012÷ 6 为 335 余 2.

在一个周期内和为 3. π 2π ∴S=sin3+sin 3 = 3. 9.下面程序框图,输出的结果是________.

答案 解析

1 2 010 a1 如果把第 n 个 a 值记作 an,第 1 次运行后得到 a2= ,第 2 次运 a1+1

a2 an 行后得到 a3= ,?,第 n 次运行后得到 an+1= ,则这个程序框图的功 a2+1 an+1 an 1 1 1 能是计算数列{an}的第 2 010 项.将 an+1= 变形为 =a +1,故数列{a } an+1 an+1 n n 1 1 1 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故a =n,即 an=n,故输出结果是2 010.
n

10.(2012· 湖南文)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名 员工随机收集了在该超市购物的 100 名顾客的相关数据,如下表所示. 一次 购物量 顾客 数(人) 1至4件 5至8件 9至 12 件 25 13 至 16 件 y 17 件 及以上 10

x

30

第 19 页 共 27 页

结算时间 (分钟/人)

1

1.5

2

2.5

3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率) 解析 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所收集的 100 位顾客一 次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本, 顾客一次购物 的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 =1.9(分钟). 100 (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2, A3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”,“该顾客一次购物 的结算时间为 1.5 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视 为概率得 15 3 30 3 25 1 P(A1)=100=20,P(A2)=100=10,P(A3)=100=4. 因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事,所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 3 3 1 7 =20+10+4=10. 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为10. 11.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分 别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 日的昼夜温差情况与因患感冒而 就诊的人数,得到如下资料: 日期 昼夜温 差 x(℃) 就诊人 数 y(人) 22 25 29 26 16 12 1 月 10 日 10 2 月 10 日 11 3 月 10 日 13 4 月 10 日 12 5 月 10 日 8 6 月 10 日 6

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该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否 理想?
^

i=1

? ?xi- x ??yi- y ? ? ?xi- x ?2
n

n

(参考公式:b=

,a= y -b x .)

i=1

解析

(1)设抽到相邻两个月的数据为事件 A,

因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 C2 6=15 种情况,每种情况都是等可能 出现的,其中,抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种, 5 1 所以 P(A)=15=3. (2)由表中数据求得 x =11, y =24. 18 由参考公式可得 b= 7 . 30 再由 a= y -b x ,求得 a=- 7 .
^ 18 30 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y= 7 x- 7 . ^ 150 150 4 (3)当 x=10 时,y= 7 ,| 7 -22|=7<2; ^ 78 78 6 同样,当 x=6 时,y= 7 ,| 7 -12|=7<2.

所以,该小组所得线性回归方程是理想的. 12.为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷 调查得到了如下的列联表:

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喜欢打篮球 不喜欢打篮球 男生 女生 合计 10 5

合计

50

3 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢打篮球的学生的概率为5. (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜欢打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3,A4,A5 还喜欢打羽毛球, B1,B2,B3 还喜欢打乒乓球,C1,C2 还喜欢踢足球,现再从喜欢打羽毛球、喜 欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考: P(K2≥k) k
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n?ad-bc?2 [参考公式 K = ,其中 ?a+b??c+d??a+c??b+d? n=a+b+c+d] 解析 如下: 喜欢打篮球 不喜欢打篮球 男生 女生 合计
2

x 3 (1)设喜欢打篮球的学生共有 x 人,则50=5,所以 x=30.列联表补充

合计 25 25 50

20 10 30

5 15 20

50×?20×15-10×5?2 (2)∵K = ≈8.333>7.879, 30×20×25×25 ∴有 99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关. (3)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、 喜欢打乒乓球、 喜欢踢足球的各 1 名, 其一切可能的结果组成的基本事件如下: (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),
第 22 页 共 27 页

(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2, B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2, C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2),(A4,B1,C1),(A4,B1,C2),(A4,B2,C1), (A4,B2,C2),(A4,B3,C1),(A4,B3,C2),(A5,B1,C1),(A5,B1,C2),(A5, B2,C1),(A5,B2,C2),(A5,B3,C1),(A5,B3,C2),基本事件的总数为 30. 用 M 表示“B1,C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件- M 表示“B1,C1 全被选中”这一事件,由于- M 由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1),(A4, 5 1 B1,C1),(A5,B1,C1)共 5 个基本事件组成,所以 P(- M )= = . 30 6 由对立事件的概率公式,得 1 5 P(M)=1-P(- M )=1-6=6. 13. 随着人们低碳出行意识的提高, 低碳节能小排量(小于或等于 1.3 L)汽车 越来越受私家购买者青睐.工信部为了比较 A、B 两种小排量汽车的 100 km 综 合工况油耗, 各随机选 100 辆汽车进行综合工况油耗检测,表 1 和表 2 分别是汽 车 A 和 B 的综合工况检测的结果. 表 1:A 种汽车综合工况油耗的频数分布表 100 km 综合 工况油耗(L) 频数 [5.2,5.4) 10 [5.4,5.6) 20 [5.6,5.8) 40 [5.8,6.0) 30

表 2:B 种汽车综合工况油耗的频数分布表 100 km 综合 工况油耗(L) 频数 [5.2,5.4) 15 [5.4,5.6) 30 [5.6,5.8) 20 [5.8,6.0) 25 [6.0,6.2] 10

(1)完成下面频率分布直方图,并比较两种汽车的 100 km 综合工况油耗的中 位数的大小;

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(2)完成下面 2×2 列联表, 并回答是否有 95%的把握认为“A 种汽车与 B 种 汽车的 100 km 综合工况油耗有差异”; 100 km 综合工况 油耗不小于 5.6 L A 种汽车 B 种汽车 合计 a= a= 100 km 综合工况 油耗小于 5.6 L b= b= n= 合计

(3)据此样本分析,估计 1 000 辆 A 种汽车都行驶 100 km 的综合工况油耗总 量约为多少(单位:L)(同一组中的数据用该区间的中点值作代表). 解析 (1)如图,频率分布直方图是:

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可以看出: A 种汽车的 100 km 综合工况油耗中位数在 5.7 L 的地方, B 种汽 车的 100 km 综合工况油耗中位数在 5.6 L 至 5.7 L 之间, 所以 A 种汽车的 100 km 综合工况油耗中位数稍大一些. (2) 100 km 综合工况 油耗不小于 5.6 L A 种汽车 B 种汽车 合计 a=70 c=55 125 100 km 综合工况 油耗小于 5.6 L b=30 d=45 75 合计 100 100 n=200

利用表中数据计算 K2 的观测值为 200?70×45-30×55?2 K= =4.8>3.841, 125×75×100×100
2

因此,有 95%的把握认为“A 种汽车比 B 种汽车的 100 km 综合工况油耗有 差异”. (3)每辆 A 种汽车的 100 km 平均综合工况油耗是 - x =5.3×0.1+5.5×0.2+5.7×0.4+5.9×0.3=5.68. 因此,1 000 辆 A 种汽车都行驶 100 km 的综合工况油耗总量约为 5 680 L. 14.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗 粒物,我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,PM2.5 日均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量 为二级;在 75 微克/立方米及其以上空气质量为超标.

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某试点城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机抽 取 6 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶),若从这 6 天的数据中随机抽出 2 天. (1)求恰有一天空气质量超标的概率; (2)求至多有一天空气质量超标的概率. 解析 (1)由茎叶图知,6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标.

记未超标的 4 天为 a,b,c,d,超标的两天为 e,f. 则从 6 天中抽取 2 天的所有情况为 ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf, cd,ce,cf,de,df,ef,基本事件数为 15. (1)记“6 天中抽取 2 天,恰有 1 天空气质量超标”为事件 A,可能结果为: ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,基本事件数为 8. 8 ∴P(A)=15. (2)记“至多有一天空气质量超标”为事件 B, “2 天都超标”为事件 C, P(C) 1 =15, 1 14 ∴P(B)=1-P(C)=1-15=15. 15.某公司有职员 45 名,女职员 15 名,按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的科研攻关小组. (1)求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个科研攻关小组决定选出两名职员做某项 实验,方法是先从小组里选出 1 名职员做实验,该职员做完后,再从小组内剩下 的职员中选一名做实验,求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率; (3)试验结束后,第一次做试验的职员得到的试验数据为 68,70,71,72,74,第 二次做试验的职员得到的试验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位职员的实验更稳 定?并说明理由.

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解析

n 4 1 (1)P=m=60=15,

1 ∴某职员被抽到的概率为5. 45 x 设有 x 名男职员,则60=4, ∴x=3,∴男、女职员的人数分别为 3,1. (2)把 3 名男职员和 1 名女职员记为 a1,a2,a3,b,则选取两名职员的基本 事件有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3, a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)共 12 种,其中有一名女职员的有 6 种. ∴选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为 6 1 P=12=2. 68+70+71+72+74 (3)- x 1= =71, 5 69+70+70+72+74 - x 2= =71, 5 s2 1= ?68-71?2+?+?74-71?2 =4, 5 5

2 2 2 ?69-71? +?+?74-71? s2= =3.2.

第二次做试验的职员做的实验更稳定.

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