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江苏省南京师范大学附属扬子中学2017年高三2月期初调研考试数学试题 Word版含答案


2016-2017 学年第二学期期初调研试题 高三数学
1. 本试卷共 4 页, 包括填空题 (第 1 题~第 14 题) 、 解答题 (第 15 题~第 20 题) 两部分. 本 试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡 上对应题 ... 目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高. 1 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3
n 1 n - 2 - 1 2 样本数据 x1,x2,…,xn 的方差 s = ∑(xi- x ) ,其中 x = ∑xi.

n

i=1

n

i=1

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. ....... 1.已知集合 M ? ?x|-4 ? x ? 7?,N ? {3, 5, 8} ,则 M ? N ? 2.若 zl=a+2i,z2=3﹣4i,且 z 2 为实数,则实数 a 的值为
z1

▲ ▲ .



3. 设 x ?{?1,1}, y ?{?2,0, 2} , 则 以 ( x , y )为 坐 标 的 点 满 足 不 等 式 x ? 2 y ? 1 的 概 率 为 ▲ . ▲ .

4.根据如图所示的流程图,则输出的结果为

5.某市 数学抽

高三 样考试中,对 90 分及其以上的成绩情况进行统计,其

频率分布直方图如图所示,若(130,140]分数段的人数为 90 人,则(90,100]分数段的人
-1-

数为 ▲



6.已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e 2 ____▲___.

?

?

?

?

?2 x ? y ? 0 ? 7.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z=x+y 的最大值为 ▲ ?x ? 0 ?
8.已知命题 p:? x∈R,x +2x+a≤0 是真命题,则实数 a 的取值范围是
2







9.已知 l、m 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,有下列 4 个命题: ①若 l? β , 且 α ⊥β , 则 l⊥α ; ②若 l⊥β , 且 α ∥β , 则 l⊥α ; ③若 l⊥β , 且 α ⊥β , 则 l∥α ; ④若 α ∩β =m,且 l∥m,则 l∥α . 其中真命题的序号是 ▲ . (填上你认为正确的所有命题的序号) 10.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

)的

部分图像如图所示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 单位后,得到的图像解析式为____▲____.

? 个 6

11.设 F 为抛物线 x2 ? ?4 y 的焦点,该抛物线在点 P (-4,-4)处的切线与 x 轴的交点为 Q , 则三角形 PFQ 的外接圆方程为 ____▲___ .

12. 设正项等比数列{an}首项 a1=2, 前 n 项和为 Sn, 且满足 2a3 ? S2 ? 4 , 则满足 的最大正整数 n 的值为 ▲ .

66 S2 n 16 ? ? 65 Sn 15

13. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A ? 60? ,△ABC 面积为 3 ,则

4b 2 ? 4c 2 ? 3a 2 的最小值为 ▲ . b?c
x 14 .对 ?x ? (0, ??)不等式 (2x ? 2a ? ln )( 恒成立,则实数 a 的取值集合为 ?2 x2 ? ax ? 5)? 0 a

▲ . 二、解答题 15. (本题满分 14 分)在三角形 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , a ? mbcosC , m 为

-2-

常数.(1)若 m ? 2 ,且 cosC ?

10 ,求 cos A 的值; 10

(2)若 m ? 4 ,求 tan( C-B )的最大值.

16. (本题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD 底面 ABCD, PD=DC,点 E 是 PC 的中点,作 EF PB 交 PB 于点 F. (1)求证:PA∥平面 EBD(2)求证:PB 平面 EFD

17. (本题满分 14 分)在国家批复成立江北新区后,南京市政府规划 P 在新区内的一条形地块上新建一个全民健身中心,规划区域为四边 形 ABCD,如图 OP∥AQ,OA⊥AQ,点 B 在线段 OA 上,点 C、 D 分别在射线 OP 与 AQ 上,且 A 和 C 关于 BD 对称。已知 OA=2, (1) 若 OC=1,求 BD 的长; (2) 问点 C 在何处时,规划区域的面积最小?最小值是多少?

Q

D

C

O

B

A

18.(本题满分 16 分)已知椭圆 E :
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F(-c,0),离心率为 e, a 2 b2
y N P B A
-3-

椭圆过点 P(-2,3) 与 Q( e ,0). (1) 求此椭圆的方程; (2) 设经过点 P 的直线与圆 O: x +y =28 的交点为 M、 N,若 PF=PM,求 PN 的长;
2 2

M

F

O

x

(3) 设不经过点 P 的直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 交于两点 A、B,记直线 PA 与 PB 的斜率分别为

k1、k2,且 4k1k2 +3=0,求 m 的值。

19. (本题满分 16 分)数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2=

an+an+1
2

(n∈N*).设 bn=an+1-an,

5 2 (1) 求数列{bn}的通项公式;(2) 求最小正整数 N 的值,使 n>N 时,|an- |< 恒成立; 3 9n (3) 数 列 {cn} 满 足 c n ?

3 5 a n ? , cn 的 前 n 项 和 为 Tn , 是 否 存 在 正 整 数 m 、 n , 使 得 2 3

Tn ?1 - m ? 1 ? cm? 2 成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,说明理 Tn - m
由。

? x3 x ? a ? 20. (本题满分 16 分)设 a 为实数, f ( x) ? ? 1 3 , g ( x) ? ax x ? a . ? x x?a ?3
(1) 若 x≤a 时,方程 f(x)=g(x)无解,求 a 的范围; (2)设函数 F(x)= f(x)-g(x). ①若 h( x) ? F '( x) ,写出函数 h( x) 的最小值; ②当 x > a 时,求函数 H(x)=F(x)- x 的单调递增区间. 2016 ? 2017 学年度第二学期高三年级期初学情调研 答案 一、填空题 1. {3,5} . 2. -

3 . 2

-4-

3.

1 . 2

4. 7 5. 810 . 6.

3

7. 3 . 8. (﹣∞,1] . 9. ② 10. y ? sin( 2 x ?

?
6

).

2 2 11. ( x ? 2) ? ( y ? ) ?

5 2

25 . 4

12. 6 . 13. ____5_______ 14.

{ 5}

二、解答题 15. (本题满分 14 分) 解: (1)∵ a ? 2bcosC , cosC ?

a 2 ? b2 ? c2 2ab
………2 分 ………4 分

∴ a ? 2b ? ∴b ? c

a 2 ? b2 ? c 2 2ab
∴B ?C

∴ cos A ? cos(? ? B ? C ) ? ? cos 2C , cos 2C ? 2cos 2 C ? 1 ? 2 ? ( ∴ cos A ?

10 2 4 ) ?1 ? ? 10 5

4 5

………6 分

(2)∵ a ? 4bcosC ,

a b ? sin A sin B

∴ sin A ? 4sin BcosC , 而 sin A ? sin(? ? B ? C ) ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ∴ 3sin B cos C ? cos B sin C
-5-

………8 分

∵在 ? ABC 中 cos C ? 0, cos B ? 0 ,不满足上式 ∴ B, C ? (0, ) ∴ cos C cos B ? 0 ∴ tan C ? 3tan B ∴ tan(C-B) ? ………10 分

? 2

tan C-tanB 2tanB ? 1 ? tan C tan B 1 ? 3 tan 2 B

2 ∵ B, C ? (0, ) , ∴ 1 ? 3tan B ? 2 3 tan B , tan(C-B) ?

? 2

3 , 3

∴tan( C-B )的最大值为 16(本题满分 14 分)

3 3

………14 分

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD 底面 ABCD,PD=DC,点 E 是 PC 的中点,作 EF PB 交 PB 于点 F. (1)求证:PA∥平面 EBD(2)求证:PB 平面 EFD 解:连接 BE,BD,AC,设 AC 交 BD 于 G, 则 G 为 AC 的中点 在 ?PAC 中,E 为 PC 的中点, 则 PA∥EG, EG ? 面 BED, PA ? 面 BED 所以 PA ∥平面 EBD ..................................... 7 分 (2)? PD⊥面 ABCD

? PD⊥BC
? BC⊥CD
PD ? CD ? D
PD,CD ? 面 PCD

? ? ?

BC⊥面 PCD

DE ? 面 PCD
BC⊥DE

? PD=CD,E 为 PC 中点, ? DE ⊥PC
DE⊥面 PBC

? DE⊥PB,又因为 PB⊥EF
......................................1 4 分

? PB ? 平面 EFD

-6-

17. (本题满分 14 分)在国家批复成立江北新区后,南京市政府规划在新区内的一条形地块上 新建一个全民健身中心,规划区域为四边形 ABCD,如图 OP∥AQ,OA⊥AQ,点 B 在线段 OA 上,点 C,D 分别在射线 OP 与 AQ 上, 且 A 和 C 关于 BD 对称. 已知 OA=2, (3) 若 OC=1,求 BD 的长; (4) 问点 C 在何处时,规划区域的面积最小?最小值是多少?

解答(1) 法一:以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,则 A(2,0),C(0,1),其中点坐 标为(1,1/2),直线 BD:y-1/2=2(x-1),------3 分 从而知 D(2,5/2),B(3/4,0),所以 BD= --------6 分 法二: 设 BC=a,在直角三角形 OBC 中,有 a =1+(2-a) ,解得 a=5/4 在三角形 OAC 中,AC=记 AC 交 BD 于 H,则 AH=,BH=, 由⊿ABH∽⊿DBA,可解得 BD=. (2):记 OC=2b,则 AC 的中点为(1,b),AC 的斜率为-b 由 A 与 C 关于 BD 对称知直线 BD 的方程为 y-b=1/b(x-1), 可得 B(1-b ,0),D(2,b+1/b), 由条件知:2b>0,0<1-b <2,b+1/b>0,故有 0<b<1 所以四边形 ABCD 的面积 S=AB﹒AD=(1+b )(b+1/b)= 即:S=, 0<b<1--------------------10 分 令 S'==0,得 b=,(负舍) 当 b)时 S'<0,S 单调减; 当 b,1)时,S'>0,单调增; 所以当 b=时 S 有最小值为 答:当 OC=时,四边形 ABCD 的面积有最小值,且最小值为------14 分 或:设直线 AC:y=k(x-2);定义域为(-,当 k= - 时,四边形 ABCD 的面积有最小值 或:设∠BDA=;定义域为,当=时,有最小值. (4) 18.(本题满分 16 分) 解答(1)由条件可得,c=2,a=4;椭圆方程为 ---------------4 分 (2)过 O 作 OH⊥MN 于 H,连 OP,OM,在⊿OPM 中,OM =28, MP=PF=3 , OP =13, 故 cos∠OPM= (9+13-28)/6- , 在直角三角形 OHP 中,OP=,cos∠OPH= - cos∠OPM=,故 PH=1, 所以 PN=MN-PM=2HM-PM=5 -----------------------------------------10 分
-72 2 2 2 2 2 2

P

Q

D

C

O

B

A

(3)法一:直线 PA 的方程为:y-3= (x+2),代入椭圆得 3x +4(x+2+3) =48, 此方程的一根为-2,故 A(,), 同理 B (,), 因为直线 OA 的斜率为,由 4k1k2 +3=0,知 直线 OB 的斜率为 即斜率相等:O,B,A 三点共线 故 m=0;--------------------------------------16 分 法二:联立方程组:消去 y 得(3+4)x +8kmx+4m -48=0 设 A(x1,y1), 故 4k1k2 =4 B(x2,y2),则 x1+x2 = == x1x2 =
2 2

2

2

所以 m(m-2k-3)=0,因直线 L 不过点 P(-2,3),故 3, 故 m=0-----------16 分.

y N M P B A F O x

19. (本题满分 16 分)

………4 分

-8-

………7 分

………10 分 (3)因为 cn=, 由>1+cm+2, 即>1+.则 1+>1+, 所以 Tn==2. 得>1+, 所以>, ………12 分

因为 2 >0,所以(2-m)2 -2>0,且(2-m)2 -2<2 ,即(2-m)2 <2+2 且(2-m)2 >2,

m+1

n

n

m+1

n

m+1

n

………14 分

即 m<2 且 m∈N ,故 m=1,此时 2 <2+2 =6,(2-1)2 >2,故 n=2,

*

n

2

n

综上可知,存在符合条件的所有有序实数对(m,n)为(1,2). ………16 分 20. (本题满分 16 分) 解: (1)∵ f ( x) ? g ( x) 且 x ? a

-9-

1 3 x = ax x ? a 3 1 2 ∴ x ? 0 或 x = a x?a 3
∴ 由于方程 f ( x) ? g ( x) 在 x ? a 上无解 ∴a ? 0 ………2 分

? x 3 ? ax2 ? a 2 x ? (2)①∵函数 F ( x) ? ? 1 3 2 2 ? x ? ax ? a x ?3
∴可求得 h( x) ? ?

( x ? a) ( x ? a)
( x ? a)

?3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 2 2 ? ? x ? 2ax ? a

( x ? a)

………4 分

? 2 a 2 2a 2 2 ?3x ? 2ax ? a ? 3( x ? ) ? 由于 h( x) ? ? 3 3 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? ( x ? a)2 ? 2a 2 ?

( x ? a) ( x ? a)
2a 2 3
………8 分

当 a ? 0 时, h( x)min ? ?2a2 ;当 a ? 0 时, h( x) min ? ② 当 x ? a 时, H ( x) ? F ( x) ? x ? x3 ? ax2 ? (a 2 ?1) x 所以 H / ( x) ? 3x2 ? 2ax ? (a2 ?1)
2 2

( x ? a)
2

先求 ? ? (?2a) ? 12(a ? 1) ? 4(3 ? 2a ) 分类讨论如下: (1) 当 ? ? 0 , 即a ? ?

6 6 或a ? 时,H / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (a 2 ?1) ? 0 在 x ? a 时恒 2 2

成立,所以函数 H ( x ) 的单调增区间为 ( a,??) ………10 分 (2) 当 ? ? 0 ,即 ?

6 6 时,方程 3x 2 ? 2ax ? (a 2 ? 1) ? 0 在 R 上有两个不相等 ?a? 2 2

的实数根 x1 ?

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ,x2 ? , 显然 x1 ? x 2 ; 我们注意到 x ? a , 3 3

因此我们有必要对 x1 , a, x2 的大小进行比较.此时可作如下的分类讨论: 第 一 种 情 况 : 当 a ? x1 即 a ?

a ? 3 ? 2a 2 时,在(2)的大前提下,可解得: 3

?

6 2 ?a?? 2 2
- 10 -

此时 H / ( x) ? 3x2 ? 2ax ? (a2 ?1) ? 0 在 x ? a 时的解集为 (a, x1 ] ? [ x2 ,??) , 所以函数 H ( x )

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 的增区间为 (a, ] 与[ ,??) . 3 3
第二种情况:当 x1 ? a ? x2 即

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 时,在(2)的大前提下, ?a? 3 3

可解得: ?

2 2 2 , 此 时 H / ( x) ? 3x2 ? 2a x? ( a ?a? ? 1)? 在 0 x ? a 时的解集为 2 2

a ? 3 ? 2a 2 [ x2 ,??) ,所以函数 H ( x ) 的增区间为 [ ,??) . 3
第三种情况 : 当

a ? x2

即a?

a ? 3 ? 2a 2 时,在( 2 )的大前提下,可解得: 3

2 6 ,此时 H / ( x) ? 3x2 ? 2ax ? (a2 ?1) ? 0 在 x ? a 时的解集为 ( a,??) ,所以函 ?a? 2 2
数 H ( x ) 的增区间为 ( a,??) ………14 分 综上所述: (1) 当 a ? ?

6 2 或a ? 时,函数 H ( x ) 的增区间为 ( a,??) 2 2

(2) 当 ?

6 2 时,函数 H ( x ) 的增区间为 ?a?? 2 2

( a,

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ] 与[ ,??) 3 3 a ? 3 ? 2a 2 2 2 时,函数 的增区间为 [ ,??) ………16 分 H ( x) ?a? 2 2 3

(3) 当 ?

- 11 -


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