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2018年高中数学人教A版选修4-4课后训练:1.4柱坐标系与球坐标系简介 Word版含解析

课后训练 1.设点 M 的直角坐标为(-1, ? 3 ,3),则它的柱坐标是( ). ? π ? ? 3 ? ? 4π ? C. ? 2, , 3? ? 3 ? A. ? 2, , 3? B. ? 2, , 3? ? 2π ? ? 3 ? ? 5π ? D. ? 2, , 3? ? 3 ? ). 2.设点 M 的直角坐标为(-1,-1, 2 ),则它的球坐标为( ? π π? ? 4 4? ? 5π π ? C. ? 2, , ? ? 4 4? A. ? 2, , ? π 5π ? 4 4 ? ? 3π π ? D. ? 2, , ? ? 4 4? ? π ? 3.点 P 的柱坐标为 ?16, , 5 ? ,则其直角坐标为( ? 3 ? B. ? 2, , ? A.(5,8, 8 3 ) B.(8, 8 3 ,5) ? ? ). C.( 8 3 ,8,5) D.(4, 8 3 ,5) 4. 点 M 的球坐标为(r, φ, θ)(φ, θ∈(0, π)), 则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( A.(-r,-φ,-θ) B.(r,π-φ,π-θ) C.(r,π+φ,θ) D.(r,π-φ,π+θ) 5.已知点 P 的柱坐标为 ? 2, 间直角坐标系中的点的坐标为( A.P(5,1,1), B ? ). ? ? π ? π π? ? ,5 ? ,点 B 的球坐标为 ? 6, , ? ,则这两个点在空 4 ? 3 6? ? ). ?3 6 3 2 6 ? ? 4 , 4 , 2 ? ? ? ? ?3 6 3 2 6 ? B.P(1,1,5), B ? ? 4 , 4 , 2 ? ? ? ? ?3 6 3 2 6 ? C. P ? ? 4 , 4 , 2 ? ? ,B(1,1,5) ? ? ? 6 3 6 3 2? D.P(1,1,5), B ? ? 2 , 4 , 4 ? ? ? ? ? π 3π ? 6. 已知点 M 的球坐标为 ? 4, , 则它的直角坐标是______, 它的柱坐标是______. ?, ? 4 4 ? ? π 5π ? 7.设点 M 的球坐标为 ? 2, , ? ,O 为原点,则 M 到原点的距离为________,OM 与 ? 4 4 ? xOy 平面所成的角为________. 8.在柱坐标系中,方程 ρ=1 表示空间中什么曲面?方程 z=-1 表示什么曲面? 9.在球坐标系中,求两点 P ? 3, ? ? π π? ? π 3π ? , ? , Q ? 3, , ? 的距离. 6 4? ? 6 4 ? 10.已知长方体 ABCDA1B1C1D1 的边长为|AB|=3,|AD|=3,|AA1|= 6 ,以这个长方 体的顶点 A 为坐标原点,以射线 AB,AD,AA1 分别为 x,y,z 轴的正半轴,建立空间直角 坐标系,求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱坐标、球坐标. 11.在赤道平面上,我们选取地球的球心 O 为极点,以 O 为端点且与零子午线相交的 射线 Ox 为极轴,建立坐标系.有 A,B 两个城市,它们的球坐标分别为 A ? R, ? ? π π? , ?, 4 6? ? π 2π ? B ? R, , ? ,其中 R 为球半径.从 A 到 B,飞机应该走怎样的航线最短,其最短航程为 ? 4 3 ? 多少? 参考答案 1. 答案:C ?? 3 ? = 2 , ?= 解析:∵ ?= ??1? + 2 2 4π ,z=3, 3 ∴点 M 的柱坐标为 ? 2, , 3? . 2. 答案:B 2 2 2 2, 解析:由坐标变换公式,得 r= x +y +z = ? ? 4π ? 3 ? π z 2 cos ?= = ,∴ ?= . 4 r 2 5π y ?1 1 ,∴ ?= . ∵ tan ?= = = 4 x ?1 ? π 5π ? ∴点 M 的球坐标为 ? 2, , ? . ? 4 4 ? 3. 答案:B 解析:∵ρ=16, ? = ,z=5, ∴x=ρcos θ=8,y=ρsin θ= 8 3 ,z=5, ∴点 P 的直角坐标为(8, 8 3 ,5). 4. 答案:D 解析:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),则点 M 关于(0,0,0)的对称点 M′的直角坐标为(- π 3 ? x=rsin? cos? , ? x,-y,-z),设 M′的球坐标为(r′,φ′,θ′),因为 ? y=rsin? sin? , ? z=rcos?, ? r′sin φ′cos θ′=-rsin φcos θ, ? ? 所以?r′sin φ′sin θ′=-rsin φsin θ, ? ?r′cos φ′=-rcos φ, ? r'=r, ? 可得 ??'=π-?, ??'=π+? , ? 即 M′的球坐标为(r,π-φ,π+θ). 5. 答案:B 解析:此题考查空间直角坐标与空间柱坐标、球坐标的互化.只要我们记住互化公式, ? x=rsin? cos? , ? 问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为 ? y=rsin? sin? , ? z=rcos? ; ? ? x=? cos? , ? 柱坐标与直角坐标的互化公式为 ? y=? sin? , ? z=z. ? 设 P 点的直角坐标为(x,y,z), 则 x= 2cos π π 2 ? 2? =1 , y ? 2sin =1 ,z=5. 4 4 2 设 B 点的直角坐标为(x′,y′,z′), 则 x' ? 6sin π π 3 3 3 6 , cos 6? ? ? 3 6 2 2 4 π π 3 1 3 2 , y' 6sin sin ? 6 ? ? ? 3 6 2 2 4 π 1 6 . z' ? 6cos ? 6 ? ? 3 2 2 ?3 6 3 2 6 ? ? 4 , 4 , 2 ? ?. ? ? 所以点 P 的直角坐标为(1,1,5),点 B

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