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数列经典题目集锦配答案


数列经典题目集锦答案
1.证明:(1) 设数列{an}的公差为 d,∵ bn=an-2an+1, ∴ bn+1-bn=(an+1-2an+2)-(an-2an+1)=(an+1-an)-2(an+2-an+1)=d-2d=-d, ∴ 数列{bn}是公差为-d 的等差数列. (4 分) (2) 当 n≥2 时,cn-1=an+2an+1-2, bn+cn-1 bn+1+cn ∵ bn=an-2an+1,∴ an= +1,∴ an+1= +1, 2 2 bn+1+cn bn+cn-1 bn+1-bn cn-cn-1 ∴ an+1-an= - = + . 2 2 2 2 ∵ 数列{bn},{cn}都是等差数列,∴ bn+1-bn cn-cn-1 + 为常数, 2 2

∴ 数列{an}从第二项起为等差数列. (10 分) (3) 结论:数列{an}成等差数列.证明如下: (证法 1)设数列{bn}的公差为 d′, ∵ bn=an-2an+1, + - - ∴ 2nbn=2nan-2n 1an+1,∴ 2n 1bn-1=2n 1an-1-2nan,…,2b1=2a1-22a2, - + ∴ 2nbn+2n 1bn-1+…+2b1=2a1-2n 1an+1, - 设 Tn=2b1+22b2+…+2n 1bn-1+2nbn, + ∴ 2Tn=22b1+…+2nbn-1+2n 1bn, - + 两式相减得:-Tn=2b1+(22+…+2n 1+2n)d′-2n 1bn, - + 即 Tn=-2b1-4(2n 1-1)d′+2n 1bn, - + + ∴ -2b1-4(2n 1-1)d′+2n 1bn=2a1-2n 1an+1, + - + + ∴ 2n 1an+1=2a1+2b1+4(2n 1-1)d′-2n 1bn=2a1+2b1-4d′-2n 1(bn-d′), 2a1+2b1-4d′ ∴ an+1= -(bn-d′). + 2n 1 2a1+2b1-4d′ 2a1+2b1-4d′ 令 n=2,得 a3= -(b2-d′)= -b1, 23 23 ∵ b1+a3=0,∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 2a1+2b1-4d′ =b1+a3=0,∴ 2a1+2b1-4d′=0, 23 (14 分) (16 分) (12 分)

an+1=-(bn-d′),∴ an+2-an+1=-(bn+1-d′)+(bn-d′)=-d′, 数列{an}(n≥2)是公差为-d′的等差数列. bn=an-2an+1,令 n=1,a1-2a2=-a3,即 a1-2a2+a3=0, 数列{an}是公差为-d′的等差数列.

(证法 2)∵ bn=an-2an+1,b1+a3=0, 令 n=1,a1-2a2=-a3,即 a1-2a2+a3=0,(12 分) ∴ bn+1=an+1-2an+2,bn+2=an+2-2an+3, ∴ 2bn+1-bn-bn+2=(2an+1-an-an+2)-2(2an+2-an+1-an+3). ∵ 数列{bn}是等差数列,∴ 2bn+1-bn-bn+2=0, ∴ 2an+1-an-an+2=2(2an+2-an+1-an+3).(14 分) ∵ a1-2a2+a3=0,∴ 2an+1-an-an+2=0, ∴ 数列{an}是等差数列.(16 分) 2.解析:(1) 若 λ=1,则(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1,a1=S1=1.
1

∵ an>0,Sn>0,∴ ∴

Sn+1+1 an+1 = ,(2 分) an Sn+1

S2+1 S3+1 Sn+1+1 a2 a3 an+1 · ·…· = · ·…· , a a an S1+1 S2+1 Sn+1 1 2

化简,得 Sn+1+1=2an+1. ①(4 分) ∴ 当 n≥2 时,Sn+1=2an. ② ①-②,得 an+1=2an,∴ an+1 =2(n≥2).(6 分) an


∵ 当 n=1 时,a2=2,∴ n=1 时上式也成立, ∴ 数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,an=2n 1(n∈N*).(8 分) (2) 令 n=1,得 a2=λ+1.令 n=2,得 a3=(λ+1)2.(10 分) 要使数列{an}是等差数列,必须有 2a2=a1+a3,解得 λ=0.(11 分) 当 λ=0 时,Sn+1an=(Sn+1)an+1,且 a2=a1=1. 当 n≥2 时,Sn+1(Sn-Sn-1)=(Sn+1)(Sn+1-Sn), Sn+1 Sn+1 整理,得 S2 = ,(13 分) n+Sn=Sn+1Sn-1+Sn+1, Sn-1+1 Sn S2+1 S3+1 Sn+1 S3 S4 Sn+1 从而 · ·…· = · ·…· , Sn S1+1 S2+1 Sn-1+1 S2 S3 化简,得 Sn+1=Sn+1,∴ an+1=1.(15 分) 综上所述,an=1(n∈N*), ∴ λ=0 时,数列{an}是等差数列.(16 分)

3.解析:(1)由 a1 ? 1, a2 ? 6, a3 ? 11,得 S1 ? 1, S 2 ? 7, S3 ? 18 .

? A ? B ? ?28 , 解得, A ? ?20, B ? ?8 . 2 A ? B ? ? 48 ? (2)由(1)知, 5n(S n?1 ? S n ) ? 8S n?1 ? 2S n ? ?20n ? 8 ,
得? 即 5nan?1 ? 8S n?1 ? 2S n ? ?20n ? 8 , 又 5(n ? 1)an?2 ? 8S n?2 ? 2S n?1 ? ?20(n ? 1) ? 8 . 即 (5n ? 3)an?2 ? (5n ? 2)an?1 ? ?20 . 又 (5n ? 2)an?3 ? (5n ? 7)an?2 ? ?20. ④-③得, (5n ? 2)(an?3 ? 2an?2 ? an?1 ) ? 0 , ③ ④

把 n ? 1,2 分别代入 (5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? An ? B, n ? N * ,

① ②

②-①得, 5(n ? 1)an?2 ? 5nan?1 ? 8an?2 ? 2an?1 ? ?20 ,

? 5n ? 2 ? 0 ,∴ an?3 ? 2an?2 ? an?1 ? 0 ,
又 a3 ? a2 ? a2 ? a1 ? 5 ,所以 a3 ? 2a2 ? a1 ? 0 , 故 an ? 1 ? 5(n ? 1) ? 5n ? 4 . a 4.解析:(1) ? ? 0 时, S n ?1 ? n ?1 S n ? an ?1 an
2

因此,数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 5 的等差数列.

∴ Sn ?

an ?1 Sn an

∵ an ? 0 ,∴ Sn ? 0

∴ an?1 ? an ,∵ a1 ? 1 ,∴ an ? 1
an ?1 Sn ? ? ? 3n ? 1 an ?1 an

(2) ∵ Sn ?1 ?

?

?

an ? 0 ,∴

Sn?1 Sn ? ? ? ? 3n ? 1 an?1 an



S S S S S2 S1 ? ? ? ? 3 ? 1 , 3 ? 2 ? ? ? 32 ? 1 ,? , n ? n ?1 ? ? ? 3n ?1 ? 1 ? n ? 2 ? a2 a1 a3 a2 an an ?1 Sn ? 1 ? ? ? 3 ? 32 ?? 3n?1 ? ? n ? 1 an

相加,得

则 Sn ? ? ?

? 3n ? 3 ? ? n ? ? an ? n ? 2 ? ,该式对 n ? 1 也成立, 2 ? ? ? 3n ? 3 ? ? n ? ? an ? n ? N * ? . ③ 2 ? ? ? 3n?1 ? 3 ? ? n ? 1? ? an?1 ? n ? N * ? . ④ 2 ? ? ? 3n?1 ? 3 ? ? 3n ? 3 ? ? n ? 1? ? an?1 ? ? ? ? n ? ? an 2 2 ? ? ? ?

∴ Sn ? ? ? ∴ Sn ? ? ?

④-③,得 an ?1 ? ? ? 即??

? 3n?1 ? 3 ? ? 3n ? 3 ? ? n ? ? an?1 ? ? ? ? n ? ? an 2 2 ? ? ? ?
3n?1 ? 3 3n ? 3 ? n ? 0, ? ?n?0 . 2 2
n n ?1

∵ ? ? 0 ,∴ ?

3 ?3 1 3 ?3 1 ? n ? (? ? n) 对一切 n ? N * 恒成立. ∵ an?1 ? an 对一切 n ? N * 恒成立, ∴ ? 2 2 2 2
即? ?

2n 对一切 n ? N * 恒成立. 3 ?3
n

记 bn ?

? 4n ? 2 ? ? 3n ? 6 2n 2n 2n ? 2 b ? b ? ? ? , 则 n n ?1 3n ? 3 3n ? 3 3n ?1 ? 3 ? 3n ? 3?? 3n ?1 ? 3?
当 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 0

当 n ? 1 时, bn ? bn?1 ? 0 ; ∴ b1 ? b2 ?

1 是 {bn } 中的最大项. 3

3

综上所述, ? 的取值范围是 ? ? 5. 解析: (1)? 数列

?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a32 ? 64 ,?a3 ? 8 ,

1 . 3

2 n?3 n 又? S5 ? S3 ? 48 ,?a4 ? a5 ? 8q ? 8q ? 48 ,? q ? 2 ,? an ? 8 ? 2 ? 2 ; ……4 分

(2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ①若 2 ? 5ak ? am ? al ,则 10 ? 2k ? 2m ? 2l ,?10 ? 2m?k ? 2l ?k ,?5 ? 2m?k ?1 ? 2l ?k ?1 ,

?2m ? k ?1 ? 1 ?m ? k ? 1 ? ? ? l ? k ?1 , ?? . ………… 6 分 ?4 ? ?l ? k ? 3 ?2 ②若 2am ? 5ak ? al ,则 2 ? 2m ? 5 ? 2k ? 2l ,? 2m?1?k ? 2l ?k ? 5 ,左边为偶数,等式不成立, ③若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立, …………8 分 综合①②③,得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 ,所以必要性成立. (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1 , l ? k ? 3 , 则 5ak , am , al 这三项为 5ak , ak ?1 , ak ?3 ,即 5ak , 2ak ,8ak ,
调整顺序后易知 2ak ,5ak ,8ak 成等差数列,所以充分性也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ) ,原命题成立. (3)因为 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ?? anb1 ? 3 ? 2 即 2 bn ? 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? ?? 2 b1 ? 3 ? 2
1 2 3 n
n?1

…………10 分

? 4n ? 6 ,

n?1

? 4n ? 6 , (*)

? 当 n ? 2 时, 21bn?1 ? 22 bn?2 ? 23 bn?3 ? ?? 2n?1b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 , (**)
2 3 4 n n?1 则(**)式两边同乘以 2,得 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 bn?3 ? ?? 2 b1 ? 3 ? 2 ? 8n ? 4 , (***)

? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,
2 又当 n ? 1 时, 2b1 ? 3 ? 2 ?10 ? 2 ,即 b1 ? 1 ,适合 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,

?bn ? 2n ? 1 .………14 分 b b b 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 3 5 ? 2 n ? n ? n ,? n ? n?1 ? n ? n?1 ? , an 2 an an?1 2 2 2n
? n ? 2 时,


bn bn?1 b b b b ?b ? ? ? 0 ,即 2 ? 1 ;? n ? 3 时, n ? n?1 ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an?1 a2 a1 an an?1 ? an ?

b1 1 b2 3 b3 5 b4 7 ? , ? , ? , ? , a1 2 a2 4 a3 8 a4 16 7 1 ? ?? ? . ……………16 分 16 2
6. 解析:(1) 设 bn=a2n-λ, 1 1 1 a2n+1+(2n+1)-λ (a2n-6n)+(2n+1)-λ a2n+1-λ 3 3 3 bn+1 a2n+2-λ 因为 = = = = .(2 分) bn a2n-λ a2n-λ a2n-λ a2n-λ 1 a +1-λ 3 2n 若数列{a2n-λ}是等比数列,则必须有 =q(常数), a2n-λ

4

1 1 q= , ? 3 ? - q = 0 1 ? 3 即? ? (5 分) ?3-q?a2n+(q-1)λ+1=0,即? 3 ? ?(q-1)λ+1=0 λ = , 2

? ? ?

3 1 3 1 3 此时 b1=a2- = a1+1- =- ≠0,所以存在实数 λ= ,使数列{a2n-λ}是等比数列.(6 分) 2 3 2 6 2 (注:利用前几项,求出 λ 的值,并证明不扣分) 1 1 (2) 由(1)得{bn}是以- 为首项, 为公比的等比数列, 6 3 3 1 1?n-1 1 ?1?n 1 ?1?n 3 故 bn=a2n- =- ·? =- · ,即 a =- · + .(8 分) 2n 2 6 ?3? 2 ?3? 2 ?3? 2 1 1 1?n-1 15 由 a2n= a2n-1+(2n-1),得 a2n-1=3a2n-3(2n-1)=- ·? - 6 n + ,(10 分) 3 3 2 ? ? 2
n 1 1 n-1 1 n ?1? -6n+9, 所以 a2n-1+a2n=- ·?? ? +? ? ?-6n+9=-2· ?3? 2 ??3? ?3? ? n 1 1?2 ?1? ]-6(1+2+…+n)+9n S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=-2[ +? +…+ ?3? 3 ?3?

1?n 1 [1-? n ?3? ] 3 n(n+1) 1?n 2 ?1? -3(n-1)2+2,(12 分) =-2· -6· +9n=? - 1 - 3 n + 6 n = ?3? ?3? 1 2 1- 3 显然当 n∈N*时,{S2n}单调递减. 7 8 又当 n=1 时,S2= >0,当 n=2 时,S4=- <0,所以当 n≥2 时,S2n<0; 3 9 3 1?n 5 S2n-1=S2n-a2n= ·? - -3n2+6n, 同理,当且仅当 n=1 时,S2n-1>0. 2 ?3? 2 综上,满足 Sn>0 的所有正整数 n 为 1 和 2.(16 分) 7.解析:(Ⅰ)易得数列 c n ? ? 前 15 项之和 ?

?4n ? 1,当n为奇数时; . ?4n ? 9,当n为偶数时
……………………………4 分

(3 ? 59) ? 8 (17 ? 65) ? 7 ? ? 535 2 2
?

(Ⅱ)①? an ? an?1 ? 2n ( n ? N )(1) , (1) ? (2)得 an?2 ? an ? 2 ( n ? N ). 所以, ?an ? 为公差为 2 的“隔项等差”数列. 当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ?
?

an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1) (2)

……………………………6 分

?n ? ? 1? ? 2 ? n ? a , ?2 ? 当 n 为奇数时, an ? 2(n ? 1) ? an?1 ? 2(n ? 1) ? ??n ? 1? ? a? ? n ? a ? 1 ; …8 分
n?n ? n?n ? ? ? 1? ? ? 1? n n 1 ②当 n 为偶数时, S n ? a ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? n 2 ; 2 2 2 2 2

5

n ?1? n ?1 ? n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 1? ? ? n ?1 n ?1 2 ? 2 2 ? 2 ? ??2 当 n 为奇数时, S n ? a ? ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? 2 2 2 2

?

1 2 1 n ?a? . 2 2

……………………………12 分

故当 n ? 2k 时, S2k ? 2k 2 , S2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? a , S2k ?2 ? 2(k ? 1) 2 , 由 ?S2k ?1 ? ? S2k ? S2k ?2 ,则 (2k 2 ? 2k ? a)2 ? 2k 2 ? 2(k ? 1)2 ,解得 a ? 0 .
2
* 所以存在实数 a ? 0 ,使得 S2k、S2k ?1、S2k ?2 成等比数列( k ? N )

……………………………16 分 8. 解析:(1) 设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q, a1+(a1+d)=a1+2d,
1 1 1 2

? ?b (b q)=b q , 依题意,得? 解得 a =d=1,b =q=2. (a +2d)+(a +b q)=2[(a +d)+b ], ? ?(a +d) =a (b q),
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 n

故 an=n,bn=2 .(6 分) (2) 将 a1,b1,b2 记为第 1 组,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6 记为第 2 组,a5,a6,a7,a8,a9,b7,b8, b9,b10,b11,b12 记为第 3 组,……以此类推,则第 n 组中,有 2n-1 项选取于数列{an},有 2n 项选取于 数列{bn},前 n 组共有 n2 项选取于数列{an},有 n2+n 项选取于数列{bn},记它们的总和为 Pn,并且有
Pn ? n 2 ? n 2 ? 1? 2 ? 2n
2

? n ?1

? 2 .(11 分)

452(452+1) 2 071 P45-22 014= +2 -22 014-2>0, 2 442(442+1) 1 981 33 2 014 P44-2 = -2 (2 -1)-2<0. 2 452(452+1) 当 Sn= +(2+22+…+22 012)时, 2 452(452+1) Sn-22 014=-22 013-2+ <0.(13 分) 2 452(452+1) 当 Sn= +(2+22+…+22 013)时, 2 452(452+1) Sn-22 014=-2+ >0. 2 可得到符合 Sn<22 014 的最大的 n=452+2 012=4 037.(16 分)

6


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