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高中数学不等式归纳讲解


第三章 不等式
定义:用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。

3-1 不等式的最基本性质
①对称性:如果 x> y,那么 y< x;如果 y< x,那么 x> y; ②传递性:如果 x> y, y> z;那么 x> z; ③加法性质; + z; ④乘法性质: 如果 x> y, z> 0,那么 xz> yz;如果 x> y, 如果 x> y,而 z 为任意实数,那么 x+ z> y

z< 0,那么 xz< yz; (符号法则)

3-2

不等式的同解原理

①不等式 F( x)< G( x)与不等式 G( x)> F( x)同解。 ②如果不等式 F( x) < G( x)的定义域被解析式 H( x )的定义域所包含,那么不等式 F( x)< G( x)与不等式 F ( x)+ H( x)< G( x)+ H( x)同解。 ③如果不等式 F( x)< G( x) 的定义域被解析式 H( x) 的定义域所包含,并且 H( x)> 0,那么不等式 F(x) < G( x) 与不等式 H( x) F( x)< H( x ) G( x) 同解;如果 H( x) < 0,那么不等式 F( x)< G( x)与不等式 H (x)F( x)> H( x) G( x)同解。

④不等式 F( x) G( x)> 0 与不等式 不等式解集表示方式

F( x ) ? 0 F( x ) ? 0 或 同解 G(x) ? 0 G(x) ? 0

F(x)>0 的解集为 x 大于大的或 x 小于小的 F(x)<0 的解集为 x 大于小的或 x 小于大的

3-3

重要不等式

3-3-1 均值不等式

1、调和平均数:

Hn ? (

n 1 1 1 ? ? ... ? ) a1 a 2 an
1 n

2、几何平均数:

G n ? (a 1a 2 ...a n )
An ?

3、算术平均数:

(a 1 ? a 2 ? ? a n ) n
2 2 (a 1 ? a2 2 ? ... ? a n ) n

4、平方平均数: Q n ?

这四种平均数满足 Hn≤ Gn≤ An ≤ Qn a1、a2、… 、an∈ R +,当且仅当 a1=a2= … =an 时取“ =” 号

3-3-1-1 均值不等式的变形
(1)对正实数 a,b, 有a 取“ =”号 )
2

? b2 ? 2 a b

(当且仅当 a=b 时

(2)对非负实数 a,b ,有 a ? b ? 2
2 2 (6)对非负数 a,b ,有 a ? b ? (

ab

a?b 2 ) ? ab 2

(7) 若 a, b, c ? R? , 有 a ? b ? c ≥ 3 3 abc(等号仅当 a ? b ? c 时 成立) (8) 对非负数 a,b,c ,有 a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac

2 a?b a 2 ? b2 ? (9)对非负数 a,b, 1 1 ? ab ? 2 2 a ? b
3-3-1-1 最值定理
当两个正数的和一定时,其乘积有最大值;当两个正数的乘积一 定时,其和有最小值。 均值不等式求最值主要方法:
1. 常见构造条件的变换:加项变换,系数变换,平方变换,拆项变

换, 常量代换, 三角代换等. 2. 当使用均值定理时等号不能成立时, 应考虑函数的单调性(例如“对号”函数,导数法).

3-3-2 权方和不等式
m?1 ?1 ?1 a3 (a 1 ? a 2 ? a 3 ? ... ? a n ) m?1 a 1m?1 a m am 2 n ? ? m ? ....? m ? b1m b m b3 bn (b1 ? b 2 ? b 3 ? ... ? b n ) m 2

a,b,n 为正整数。 m 为正数。

3-4 绝对值不等式
| a + b |≤| a |+| b |
| a ? b |?| a | ? | b |

3-5 不等式例题解析
3-5-1 绝对值不等式
1、求 | x2 ? 5x ? 5 |? 1 的解 2、右边的常数变为代数式 (1)| x +1|>2- x ;(2)| x2 -2 x -6|<3 x 形如| f ( x) |< g ( x) ,| f ( x) |> g ( x) 型不等式 这类不等式的简捷解法是等价命题法,即: ①| f ( x) |< g ( x) ? - g ( x) < f ( x) < g ( x) ②| f ( x) |> g ( x) ? f ( x) > g ( x) 或 f ( x) <- g ( x) 3、两个绝对值不等式 解不等式(1)| x -1|<| x + a |; (2)|x-2|+|x+3|>5. 形如| f ( x) |<| g ( x) |型不等式 1)此类不等式的简捷解法是利用平方法,即: | f ( x) |<| g ( x) | ? f 2 ( x) ? g 2 ( x) ? [ f ( x) ? g ( x)][ f ( x) ? g ( x)] <0 2)所谓零点分段法,是指:若数 x1 , x2 ,……, xn 分别使含 有| x - x1 |, | x - x2 |, ……, | x - xn |的代数式中相应绝对值为零, 称 x1 ,x2 ,……,xn 为相应绝对值的零点,零点 x1 ,x2 ,……,xn 将 数轴分为 m +1 段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数 式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来 解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间

讨论绝对值不等式, 最后应求出解集的并集。 零点分段法是解含绝 对值符号的不等式的常用解法, 这种方法主要体现了化归、 分类讨 论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化。 例题.不等式|x+3|-|2x-1|< x +1 的解集为
2



解:
1 ? ?4 ? x ( x ? 2 ) ? 1 |x+3|-|2x-1|= ? ?4 x ? 2(?3 ? x ? ) 2 ? ? x ? 4( x ? ?3) ? ?

4、含参数绝对值不等式
解关于 x 的不等式
x 2 ? 4mx ? 4m2 ? m ? 3

[解题]原不等式等价于 | x ? 2m |? m ? 3 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时, ∴ x ? 3m ? 3或x ? m ? 3 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时, 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时, 方法归纳: 形如| f ( x) |< a ,| f ( x) |> a ( a ? R )型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法,即: ①当 a >0 时, | f ( x) |< a ? - a < f ( x) < a ; | f ( x) |> a ? f ( x) > a 或
f ( x) <- a ; | x ? 6 |? 0

x ? 2m ? m ? 3或x ? 2m ? ?(m ? 3)

∴x??6

x?R

②当 a =0 时,| f ( x) |< a 无解,| f ( x) |> a ? f ( x) ≠0

③当 a <0 时,| f ( x) |< a 无解,| f ( x) |> a ? f ( x) 有意义。

4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题
若不等式| x -4|+|3- x |< a 的解集为空集,求 a 的取值范围。 [思路]此不等式左边含有两个绝对值符号,可考虑采用零点 分段法,即令每一项都等于 0,得到的值作为讨论的分区点,然后 再分区间讨论绝对值不等式, 最后应求出解集的并集, 这是按常规 去掉绝对值符号的方法求解, 运算量较大。 若仔细观察不等式左边 的结构, 利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不 等式| a + b |≤| a |+| b |,便把问题简化。 [解题]解法一 (1)当 a ≤0 时,不等式的解集是空集。 (2)当 a >0 时,先求不等式| x -4|+|3- x |< a 有解时 a 的取值 范围。 令 x -4=0 得 x =4,令 3- x =0 得 x =3 ① 当 x ≥4 时,原不等式化为 x -4+ x -3< a ,即 2 x -7< a 解不等式组 ?
?x ? 4 7?a ,∴ a >1 ?4? x? 2 ?2 x ? 7 ? a

② 当 3< x <4 时,原不等式化为 4- x + x -3< a 得 a >1 ③ 当 x ≤3 时,原不等式化为 4- x +3- x < a 即 7-2 x < a 解不等式 ?
?x ? 3 7?a 7?a ? ? x ? 3? ? 3 ,∴ a >1 2 2 ?7 ? 2 x ? a

综合①②③可知,当 a >1 时,原不等式有解,从而当 0< a ≤1 时,原不等式解集为空集。 由(1)(2)知所求 a 取值范围是 a ≤1 解法二由| x -4|+|3- x |的最小值为 1 得当 a >1 时, | x -4|+|3 - x |< a 有解

从而当 a ≤1 时,原不等式解集为空集。 解法三: ∵ a >| x -4|+|3- x |≥| x -4+3- x |=1 ∴当 a >1 时,| x -4|+|3- x |< a 有解 从而当 a ≤1 时,原不等式解集为空集。 方法总结: 1)一题有多法,解题时需学会寻找最优解法。 2 ) f ? x? ? a 有 解 ? a ? f ? x ?m i n ; f ? x? ? a 解 集 为 空 集
?a ? f? x ?m i n;这两者互补。 f ? x? ? a 恒成立 ? a ? f ? x?max 。

; f ? x? ? a 解 集 为 空 集 f ? x ? ? a 有 解 ? a ? f? ?x m i n
? a ? f ? x ?min ;这两者互补。 f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?max 。

; f ? x? ? a 解 集 为 空 集 f ? x ? ? a 有 解 ? a ? f? ?x m a x
? a ? f ? x ?max ;这两者互补。 f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?min 。

; f ? x? ? a 解 集 为 空 集 f ? x ? ? a 有 解 ? a ? f? ?x m a x
? a ? f ? x ?max ;这两者互补。 f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?min 。

6、绝对值三参数不等式问题
2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R) ,当 x ? [?1,1] 时 | f ( x) |? 1 ,求证:

(1) | b |? 1 ;

(2)若 g ( x) ? bx2 ? ax ? c (a, b, c ? R) , 则 当 x ? [?1,1] 时 , 求 证 : | g ( x) |? 2 。

[思路]本题中所给条件并不足以确定参数 a,b,c 的值,但应该 注意到:所要求的结论不是 b或g ( x) 的确定值,而是与条件相对应 的 “取值范围” , 因此, 我们可以用 f ?? 1? 、f (0) 、f ?1? 来表示 a , b , c 。 因为由已知条件得 | f (?1) |? 1, | f (0) |? 1 , | f (1) |? 1。 [解题]证明:(1)由 f ?1? ? a ? b ? c, f ? ?1? ? a ? b ? c ? b ? 1 [ f ?1? ? f ? ?1?] ,
2

从而有

1 1 | b |? [ f (1) ? f (?1)] ? (| f (1) | ? | f (?1) |),?| f (1) |? 1,| f (?1) |? 1, 2 2 1 ?| b |? (| f (1) | ? | f (?1) |) ? 1. 2

(2)由 f ?1? ? a ? b ? c, f ? ?1? ? a ? b ? c ? b ? 1 [ f ?1? ? f ? ?1?], a ? c ? 1 [ f ?1? ? f ? ?1?], c ? f (0),
2 2

从而

1 a ? [ f ?1? ? f ? ?1?] ? f (0) 2

将 以 上 三 式 代 入 g ( x) ? bx2 ? ax ? c (a, b, c ? R) , 并 整 理 得
| g ( x) |?| f (0)( x 2 ? 1) ? 1 1 f (1)( x ? 1) ? f (?1)(1 ? x) | 2 2 1 1 ?| f (0)( x 2 ? 1) | ? | f (1)( x ? 1) | ? | f (?1)(1 ? x) | 2 2 1 1 ?| f (0) | x 2 ? 1 | ? | f (1) || x ? 1 | ? | f ( ?1) || 1 ? x | 2 2 1 1 1 1 ?| x 2 ? 1 | ? | x ? 1 | ? | 1 ? x |? 1 ? x 2 ? ( x ? 1) ? (1 ? x) ? 2 ? x 2 2 2 2 2 ?2

收获 1) 二次函数的一般式 y ? ax2 ? bx ? c (c ? 0) 中有三个参数 a, b, c . 解 题的关键在于:通过三个独立条件“确定”这三个参数. 2) 本题变形技巧性强, 同时运用公式 | a ? b |?| a | ? | b | ,| a ? b |?| a | ? | b | 及已知条件进行适当的放大。 要求同学们做题时要有敏锐的数学观 察能力。 例 题 2 . 已 知 函 数 f(x)= |f(a)-f(b)|<|a-b|。 分析: 要证 | 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 |?| a ? b | , 考察左边, 是否能产生|a-b|。 证明: |f(a)-f(b)|= |
?

1 ? x2

, a,b ? R , 且 a ? b , 求 证

1 ? a 2 ? 1 ? b 2 |?

| a2 ? b2 | 1 ? a2 ? 1 ? b2

?

| a ? b |?| a ? b | |a|?|b|

|a|?|b| ? | a ? b |?| a ? b | |a|?|b|







1 ? a 2 ? a 2 ?| a |







1 ? b 2 ?| b |,



1 1 ? a2 ? 1 ? b2

?

1 ) |a|?|b|

回顾:1、证题时,应注意式子两边代数式的联系,找出它们的 共同点是证题成功的第一步。 此外, 综合运用不等式的性质是证题 成功的关键。如在本例中,用到了不等式的传递性,倒数性质,以 及“三角形不等式”等等。 2、本题的背景知识与解析几何有关。函数 y ? 1 ? x 2 是双曲线,
y2 ? x2 ?1

的上支,而 |

y1 ? y 2 f (a) ? f (b) | (即 | ,则表示该图象上任 |) x1 ? x 2 a ?b

意两点连线的斜率的绝对值。 (学过有关知识后) , 很显然这一斜率 的范围是在(-1,1)之间。 2. (1)已知不等式|x-3|+|x+1|<a,的解集为空集,求 a 的取 值范围; (2)已知不等式|x-3|+|x+1|<a 有解,求 a 的取值范围。 分析: “有解”即“解集非空” ,可见(1) (2)两小题的答案(集 合)互为补集(全集为 R)
?2 x ? 2( x ? 3) 当然可以用|x-3|+|x+1|= ? ?4(?1 ? x ? 3) 这种“去绝对值”的方法 ?2 ? 2 x( x ? ?1) ?

来解,但我们考虑到“三角形不等式” : ||a|-|b|| ≤ |a ? b| ≤ |a|+|b| 知|x-3|+|x+1|≥|x-3-x-1|=4 这样|x-3|+|x+1|<a 等价于 ?
?| x ? 3 | ? | x ? 1 |? a (*) ?| x ? 3 | ? | x ? 1 |? 4

若(*)解集为 ? ,则 a≤4,若(*)有解,则 a>4。

解(略) 回顾:本题是“绝对值不等式性质定理” (即“三角形不等式” ) 的一个应用。 发展题: (1)已知不等式|x-3|+|x+1|>a 的解集非空,求 a 的 取值范围。 (2)已知不等式|x-3|+|x+1|≤a 的解集非空,求 a 的取值范 围。 3.已知 f(x)的定义域为[0,1],且 f(0)=f(1),如果对于任意 不 同 的 x1,x2 ∈ [0,1] , 都 有 |f(x1)-f(x2)|<|x1-x2| , 求 证 : |f(x1)-f(x2)|< 1

2

分析: 题设中没有给出 f(x)的解析式, 这给我们分析 f(x)的结 构 带 来 困 难 , 事 实 上 , 可 用 的 条 件 只 有 f(0)=f(1) ① , 与 |f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|②两个。 首先,若 |x1-x2| ≤ 1 ,那么必有 |f(x1)-f(x2)|<|x1-x2| ≤ 1 即
2 2

|f(x1)-f(x2)|< 1 成立。
2

但若|x1-x2|> 1 呢?考虑到 0≤|x1-x2|≤1,则 1-|x1-x2|< 1 ,看
2 2

来要证明的是|f(x1)-f(x2)|≤1-|x1-x2|< 1 成立!
2

证明:不妨设 x1≤x2,则 0≤x1≤x2≤1 ( 1 ) 当 |x1-x2| ≤
1 2

时 , 则 有 |f(x1)-f(x2)|<|x1-x2| ≤

1 2



|f(x1)-f(x2)|< 1 成立。
2

(2)当|x1-x2|> 1 时,即 x2-x1> 1 时,∵0≤x2-x1≤1
2 2

必有 1-|x1-x2|< 1 即 1- x2+x1< 1
2

2

也可写成|1- x2|+|x1|< 1

2

(*)

另一方面|f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|≤ |f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|<|1- x2|+|x1-0| 则由(*)式知|f(x1)-f(x2)|< 1 成立
2

综上所述,当 x1,x2∈[0,1]时都有|f(x1)-f(x2)|< 1 成立。
2

已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,当 ? 1 ? x ? 1时,有 ? 1 ? f ( x) ? 1, 求证:当 ? 2 ? x ? 2 时,有 ? 7 ? f ( x) ? 7 . 分析: 研究 f ( x) 的性质, 最好能够得出其解析式, 从这个意义上说, 应该尽量用已知条件来表达参数 a, b, c . 确定三个参数,只需三个 独立条件, 本题可以考虑 f (1) , f (?1) , f (0) , 这样做的好处有两个: 一是 a, b, c 的表达较为简洁,二是由于 ? 1和0 正好是所给条件的区间

端点和中点, 这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围 的目的. 要考虑 f ?x ? 在区间 ?? 7,7?上函数值的取值范围, 只需考虑其最大值, 也即考虑 f ?x ? 在区间端点和顶点处的函数值. 证明:由题意知: f (?1) ? a ? b ? c, f (0) ? c, f (1) ? a ? b ? c ,
1 2 2 ? x ? x? ? x2 ? x ? 2 2 ∴ f ( x) ? ax ? bx ? c ? f (1)? ? 2 ? ? ? f (?1)? ? 2 ? ? ? f (0) 1 ? x . ? ? ? ? 由 ? 1 ? x ? 1时, 有 ? 1 ? f ( x ) ? 1, 可得 f (1) ? 1, f ?? 1? ? 1 , f ?0? ? 1.

∴ a ? ( f (1) ? f (?1) ? 2 f (0)), b ? ( f (1) ? f (?1)), c ? f (0) ,

1 2

?

?



f (2) ? 3 f ?1? ? f ?? 1? ? 3 f ?0? ? 3 f ?1? ? f (?1) ? 3 f (0) ? 7 ,

f (?2) ? f ?1? ? 3 f ?? 1? ? 3 f ?0? ? f ?1? ? 3 f (?1) ? 3 f (0) ? 7 . b (1)若 ? ? ?? 2,2?,则 f ?x ? 在 ?? 2,2?上单调,故当 x ? ?? 2,2? 时, 2a f ( x) max ? max( f (?2) , f (2) ) ∴ 此时问题获证. b ( 2 ) 若 ? ? ?? 2,2? , 则 当 x ? ?? 2,2? 时 , 2a ? b ? f ( x) m ?a m x a f (?2 x) , f ((2) , f ? ? ? ) ? 2a ?


b2 b b b f (1) ? f (?1) 1?1 ? b ? f ?? ? ? c ? ?c? ? ? f ?0? ? ? ? 1? 2? ?2?7 4a 2a 2 2a 4 4 ? 2a ?

, ∴ 此时问题获证. 综上可知:当 ? 2 ? x ? 2 时,有 ? 7 ? f ( x) ? 7 . 评析: 因为二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ?a ? 0? 在区间 (?? ,?
[? b ] 和区间 2a b ,?? ) 上分别单调,所以函数 f ?x ? 在闭区间上的最大值、最小值 2a 必在区间端点或顶点处取得;函数 f ( x) 在闭区间上的最大值必在

区间端点或顶点处取得.

7、 绝对值不等式与其它知识的横向联系

已知 c ? 0 .设 P : 函数 y ? c x 在 R 上单调递减. Q : 不等式 x? | x ? 2c |? 1 的解集为 R.如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 c 的取值范围. [思路] 此题虽是一道在老教材之下的高考试题,但揭示了 “解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中,绝对值不等 式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联 系, 属于对于学生提出的基本要求内容的范畴, 本题将这几部分知 识内容有机地结合在一起, 在考查学生基础知识、 基本方法掌握的 同时,考查了学生命题转换,分类讨论等能力,在不同的方法下有 不同的运算量,较好地体现出了“多考一点想,少考一点算”的命 题原则. [解题]:函数 y ? c x 在 R 上单调递减 ? 0 ? c ? 1 , 不等式 x? | x ? 2c |? 1的解集为 R ? 函数 y ? x? | x ? 2c | 在 R 上恒大 于 1, ∵ x? | x ? 2c |? ?
x ? 2c, ?2 x ? 2c, ?2c, x ? 2c,

∴函数 y ? x? | x ? 2c | 在 R 上的最小值为 2c , ∴不等式 x? | x ? 2c |? 1的解集为 R ? 2c ? 1 ,即 c ? , 若 P 正确,且 Q 不正确,则 0 ? c ? ; 若 Q 正确,且 P 不正确,则 c ? 1 ;
? ?) . 所以 c 的取值范围为 (0, ] ? [1, 1 2
1 2

1 2

[收获] “解不等式” 一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.

结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题, 借助集合的运算性质和 四个命题的关系来作答, 是这个命题的基本特征, 在求解时则主要 以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重 视.

3-5-2 均值不等式
a b ? ? 1 ,求 x ? y 的最 x y

1、 y ? x 1 ? x 2 ? 7 ?
小值

已知 a, b, x, y ? R? ( a , b 为常数) ,

2.已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 1,求

2x ?1 ? 2 y ?1 的最大值.

3.求最小值 ?1?

f ( x) ?

3 x 2 ? 3x ? 1 ? x ? ?1? ; ? 2 ? y ? sin 2 x ? sin 2 x x ?1

4. ?1? 设 x ? 0 , y ? 0 ,且

xy ? ( x ? y) ? 1 ,则

A. x ? y ? 2 2 ? 2 B. x ? y ? 2 2 ? 2 C. x ? y ?

?

2 ? 1 D. x ? y ?

?

2

?

2 ?1

?

2

? 2 ? 已知 x ≥ 0 , y ≥ 0 ,且 x 2 ? ? 3? 若 a ? b ? 0 ,
求a ?
2

y2 3 2 ? 1,求证: x 1 ? y 2 ≤ 2 4
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16 的最小值 b( a ? b )

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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3-5-3
f ? x? ? 0 ? f ? x? ? g ? x? ? 0 g ? x?

分式不等式

解分式不等式的基本思路:等价转化为整式不等式(组) : (1)

(2)

? f ? x? ? f ? x? ? g ? x? ? 0 ?0?? g ? x? ? ?g ? x? ? 0

解题方法

穿针引线法 ,又称“数轴穿根法”或“数轴标根法” 第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得 右侧为 0。(注意:一定要保证 x 前的系数为正数) 例如:将 x^3-2x^2-x+2>0 化为 (x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步:将不等号换成等号解出所有根。 例如: (x-2)(x-1)(x+1)=0 的根为: x1=2 , x2=1 , x3=-1 第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。 例如: -1 1 2 第三步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上 方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右跟”上去,一上一 下依次穿过各根。 第四步:观察不等号,如果不等号为“ >”,则取数轴上 方,穿跟线以内的范围;如果不等号为“ <”则取数轴下方, 穿跟线以内的范围。 例如: 若求 (x-2)(x-1)(x+1)>0 的根。 在数轴上标根得: -1 1 2 画穿根线:由右上方开始穿根。 因为不等号威“ >”则取数轴上方,穿跟线以内的范围。 即: -1<x<1 或 x>2。

奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字 这个数字 要按照两个数字穿 ~~~如( x-1)^=0 两个解都是 1 那么穿的时 候不要透过 1。 解题步骤: (1)首项系数化为“正” (2)移项通分,不等号右侧化为“0” (3)因式分解,化为几个一次因式积的形式 (4)数轴标根。 例 2、解不等式: 解略 点评: “≤或≥”标根时,分子实心,分母空心。 例 3、解不等式:
x 2 ? 9 x ? 11 ?7 x2 ? 2 x ? 1
右侧非 0 系数非正,小于等于

x ? 3x ? 2 ?0 ? x 2 ? 7 x ? 12
2

点评:1、不能随便去分母 2、移项通分,必须保证右侧为“0” 3、注意重根问题 例 4、解不等式:
x ? 5x ? 6 ? 0(? 0) x 2 ? 3x ? 2
2

分子,分母有公因式

点评:1、不能随便约去因式 2、重根空实心,以分母为准 例 5、解不等式:
2x ?1 2x ?1 ? x ? 3 3x ? 2
不等号左右有公因式

点评:不等式左右不能随便乘除因式。
不能十字相乘分解

2 ? 3x ?3 例 6、解不等式: 2 x ? x ?1

因式; 无法分解因式

二次三项式, a>0, △

点评:

十字相乘法分解因式受阻

<0,恒正也可利用配 方法判定二次三项式

△≥0

△<0

的正负

求根公式法分解因式

恒正或恒负

练习:解不等式: 1、
x?3 ? 0 (首相系数化为正,空实心) 2? x

2、

2x ?1 ? 1 (移项通分,右侧化为 0) x?3

3、

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 (因式分解) x2 ? 2 x ? 3

4、

x2 ? 2 x ?1 ? 0 (求根公式法因式分解) x?2

? x ? 1? ? x 2 ? x ? 6 ? 5、 ? 0 (恒正式,重根问题) 2 ? x ? 3?
3

6、

x ? x ? 3? ? 0 (不能随便约分) 9 ? x2

7、 0 ? x ? ? 1 (取交集)
含参分类讨论

1 x

例 7、解不等式:

a ? x ? 1? ?1 x?2


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