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黑龙江省绥化市第九中学2011


黑龙江省绥化市第九中学 2011-2012 学年度高二文科数学《导数在研究函数中的应用》训练题(含答案) A组 一选择题: (每题 5 分,合计 60 分) 1 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间为 ( D ) A. (2,??)
2 设曲线 y ?

B. (??,2)

C. (??,0)

D. (0,2)
)

1 ? cos x ?? ? 在点 ? ,1? 处的切线与直线 x ? ay ? 1 ? 0 平行,则实数 a 等于( A sin x ?2 ?

A. ? 1

B.1

C. ? 2

D.2

3 函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是( D ) A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) 21 世纪教育网

4 函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数( B ) ?π 3π? ?3π 5π? A.?2, 2 ? B.(π,2π) C.? 2 , 2 ? D.(2π,3π) ? ? ? ? 5 设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能为(D

)

1 6 已知函数 f(x)=2 x2sinθ+ 3xcosθ,其中 θ∈R,那么 g(θ)=f '(1)的取值范围是( B ) A.[-1,1] B.[-2,2] C.[- 3, 3] D ). 13 13 D.[- 2 , 2 ]
y 0 3

7 函数 y ? x ln x 在 (0,5) 上是(

1 1 x -2 A.单调增函数 B.在 ( 0, ) 上单调递减,在 ( ,5) 上单调递增. e e 1 1 C.在 ( 0, ) 上单调递增,在 ( ,5) 上单调递减;D.单调减函数 e e 第8题 2 c 2 3 2 8 函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 图象如图,则函数 y ? x ? bx ? 的单调递增区间为( D ) 3 3 1 A. (??,?2] B. [3,??) C. [?2,3] D. [ ,?? ) 2 1 9 设函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 5 ,若对于任意 x ∈[-1,2]都有 f ( x) ? m 成立,则实数 m 的取值范围为 2

为( A.

A

) B.

? ?? ? 7,

? ?? ?8,

C. [7, ??)

D.

? ?? . ?9,
B )

x) ? ?fx () g (, x? ) gx ?() 10 已知对任意实数 x , 有 f (?

, 且 x ? 0 时,f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 , 则x ?0时 (

A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 )

? ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的(B 11.设 p : f ( x) ? ex ? ln x ? 2x2 ? mx ? 1 在 (0,

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12. 函数 f ( x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是(B ) (A) 0 ? f / (2) ? f / (3) ? f (3) ? f (2) (B) 0 ? f / (3) ? f (3) ? f (2) ? f / (2) (C) 0 ? f / (3) ? f / (2) ? f (3) ? f (2) (D) 0 ? f (3) ? f (2) ? f / (2) ? f / (3) 二填空题: (每题 4 分,合计 16 分)
?1 ? 13.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是____ ? , ?? ? ?e ?

y

O

1 2 3 4

x

14.已知函数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则 M ? m ? ____.32 15.已知函数 f ( x) ?
1 3 1 2 x ? ax ? 6 x( x ? R) ,若它的导函数 y ? f ?( x)在[2,?? )上是单调递增函数,则实数 a 3 2

的取值范围是_____ (??,4]

16.已知函数 y ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 3
a ?1 .

①若函数在 ?? ?,??? 总是单调函数,则 a 的取值范围是 ②若函数在 [1,??) 上总是单调函数,则 a 的取值范围 ③若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是

. a ? ?3 . a ? ?3.

解答题: 17. (满分 10 分) 1 设函数 f ( x ) ? x 3 ? x 2 ? 2x ? 5, 若对于任意 x ? [?1,2] 都有 f (x) ? m 成立, 求实数 m 的取值范围. 2
2 解: f ?(x) ? 3x 2 ? x ? 2, 令 f ?(x) ? 0, 得 x ? ? 或 x ? 1 . 3 2 2 ∵当 x ? ? 或 x ? 1 时, f ?(x) ? 0, ∴ y ? f ( x ) 在 ( ?? , ? ) 和 (1, ? ?) 上为增函数, 3 3 2 2 在 (? , 1) 上为减函数, ∴ f ( x ) 在 x ? ? 处有极大值, 在 x ? 1 处有极小值. 3 3 2 22 极大值为 f (? ) ? 5 , 而 f (2) ? 7 , ∴ f ( x ) 在 [?1, 2] 上的最大值为 7. 3 27

若对于任意 x ? [?1, 2] 都有 f (x) ? m 成立, 得 m 的范围 m ? 7 . 18.(满分 14 分) 已知 x ? 1 是函数 f (x) ? mx3 ? 3(m ? 1)x 2 ? nx ? 1 的一个极值点, 其中 m, n ? R , m ? 0, (1) 求 m 与 n 的关系式; (2) 求 f ( x ) 的单调区间; (3) 当 x ? [?1,1] 时, 函数 y ? f ( x ) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m, 求 m 的取值范围.

解:(1) f ?(x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1)x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点, 所以 f ?(1) ? 0 , 即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0, 所以 n ? 3m ? 6 2 (2) 由(1)知, f ?(x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1)x ? 3m ? 6 ? 3m( x ? 1)[ x ? (1 ? )] m 2 当 m ? 0 时, 有 1 ? 1 ? , 当 x 变化时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m

故有上表知, 当 m ? 0 时, f ( x ) 在 (?? ,1 ?

2 2 ) 单调递减, 在 (1 ? ,1) 单调递增, 在 (1,??) m m

上单调递减. (3) 由已知得 f ?(x) ? 3m , 即 mx2 ? 2(m ? 1)x ? 2 ? 0 2 2 2 2 又 m ? 0 所以 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0 , 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? [?1,1] ……① m m m m 1 2 设 g( x ) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? , 其函数开口向上, 由题意知①式恒成立, m m
2 2 ? ?g(?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 所以 ? ?? ? ? ? m ? 0 , 即 m 的取值范围为 (? ,0) m m 3 3 ?g(1) ? 0 ? ?? 1 ? 0

B 组题 一选择题: (每题 5 分,合计 60 分) 1 已知函数 y ? xf ?( x) 的图像如右图所示(其中 f ?( x) 是函数 f ( x)的导函数) ,下面四个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是
(C
y
2 1 -2 -1 -2
o



y
2 1
1 23 x
o

y
4

y
4 2

y y=xf'(x)
1 -1
o

-1 -2

1 2 x
-2

2
o

1

x

1

x

-2

o

2

x

-1

A

B

C

D ( B)

1 2.若函数 f ( x) ? loga ( x 3 ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (? ,0) 内单调递增,则 a 的取值范围是 2 1 3 9 9 A. [ ,1) B。 [ ,1) C. ( ,?? ) D. (1, ) 4 4 4 4
3.函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数( B ) A.(

3? ? 3? 5? , ) B.( ? ,2 ? ) C.( , ) D.(2 ? ,3 ? ) 2 2 2 2 4.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g?? 3? ? 0 ,.则不等式
f(x)g(x)<0 的解集是(D ) A (?3,0) ? (3,??) B. (?3,0) ? (0,3)
3 2

C. (??,?3) ? (3,??)

D. (??,?3) ? (0,3)

5.已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象如右图,则 (A ) A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞) 6.若函数 f ( x) ? ax ? ln x 在 ?1,??? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( D



A. ?? ?,1?

B. ?? ?,1?

C. ?1,???

D. ?1,??? (C) )

7.若函数 f ( x) ? e x sin x, 则此函数图象在点 (4, f (4)) 处的切线的倾斜角为 A.

? 2

B.0

C.钝角

D.锐角 第6题 D.f(e)<f(3)<f(2)

8.已知函数 f(x)= x+ln x,则有( A ) A.f(2)<f(e)<f(3) B.f(e)<f(2)<f(3)C.f(3)<f(e)<f(2) 9.若函数 f (x) = x ?

p p ? 在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是( A ) x 2 A. [?1, ? ?) B. [1, ? ?) C. (??, ? 1] D. (??, 1]
10..已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是( D )

11.设 p: f ?x? ? e x ? ln x ? 2x 2 ? mx ? 1 在 ?0,??? 内单调递增,q:m≥-5,则 p 是 q 的( A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要

B )条件

12.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,都有 f ( x) ? 0 ,则

5 3 值为( C )A.3 B. C.2 D. 2 2 ? 1 O x2 x1 2 x 二填空题: (每题 4 分,合计 16 分) 1 13.若 f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是______(-∞,-1] (第 15 题) 2 图 1 14.若函数 f(x)=ln x- ax2-2x 存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围____.(-1,+∞). 2
2 2 15.如图所示的曲线是函数 f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 的大致图象,则 x1 等于_____ ? x2

y

f (1) 的最小 f '(0)

16 9
.?

3 2 2 16.函数 y= f (x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 时, 有极值 10, 那么 a , b 的值为

?a ? 4 ?b ? ?11

三解答题: 17.(满分 12 分)设函数 f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 2 分别在 x 1 、 x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、B 的坐标分别为

( x1 , f ( x1 )) 、( x2 , f ( x2 )) ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求(Ⅰ)点 A、
B 的坐标 ; (Ⅱ)动点 Q 的轨迹方程 解: (Ⅰ)令 f ?( x) ? (? x 3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 所以,函数在 x ? ?1 处取得极小值,在 x ? 1 取得极大值,故 x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4 所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) . (Ⅱ) 设 p(m, n) , Q( x, y) , PA ? PB ? ?? 1 ? m,?n? ? ?1 ? m,4 ? n? ? m ? 1 ? n ? 4n ? 4
2 2

1 y?n 1 y?m ?x?n ? k PQ ? ? ,所以 ? ? ,又 PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上,所以 ? 2? ? 4? 2 x?m 2 2 ? 2 ?

消去 m, n 得 ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9
2 2

a2 18.满分12分)已知函数 f ? x ? ? x ? , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;

(2)若对任意的 x1, x2 ??1 ,e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取值范围 (1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点, ∴a ? 3.

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, 解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ? ?? , x a2 1 ∴ h? ? x ? ? 2 ? 2 ? . x x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) , x2 ? , 4 4

x
h? ? x ? h ? x?

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ???


?

?

?1 ? 1 ? 8a 2 依题意, ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4 ∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . ( 2 )解:对任意的 x1, x2 ??1 ,e? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1, x2 ??1 ,e? 都有 ? ? f ? x ?? ? mi n ≥ ? ? g ? x ?? ? max .
当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? ∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 ,e? 上是增函数. ∴? ? g ? x ?? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . ∵ f ?? x? ? 1?

1 ?0. x

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ??1, e? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x

2 ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .

由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意.
2

②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 . 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a .
由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,

e ?1 , 2

e ?1 ≤a≤e. 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴? ? f ? x ?? ? min

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1 ,e? 上是减函数. x a2 ? f ?e? ? e ? . e

a2 由e? ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴ a ? e .
综上所述, a 的取值范围为 ?

? e ?1 ? , ?? ? . ? 2 ?


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