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《高考数学题型全归纳》之 数列

第六章 本章知识结构图 数 列 解析法:an=f (n) 概念 通项公式 递推公式 数列 等差数列 等比数列 an≠0,q≠0 1 ?na1,q= n Sn=?a1(1-q ) ? 1-q ,q≠1 常见递推类型及方法 表示 图象法 列表法 数列是特殊的函数 等差数列与等比数列的类比 an=a1+(n-1)d an+am=ap+ar 前 n 项和 n(a1+an) Sn = 2 an=a1q n-1 通项公式 求和公式 性质 判断 anam=apar 前 n 项积(an>0) n Tn= (a1an) 逐差累加法 逐商累积法 ①an+1-an=f (n) an + 1 ② a =f ( n ) n ③an+1=pan+q ④pan+1an=an-an+1 ⑤an + 1=pan+q n 构造等比数列{an+ q } p-1 构造等差数列 an+1 p an 化为 qn =q·n-1+1 转为③ q 公式法:应用等差、等比数列的前 n 项和公式 倒序相加法 常见求和方法 分组求和法 裂项求和法 错位相加法 第一节 考纲解读 等差数列与等比数列 1. 理解等差数列、等比数列的概念. 2. 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3. 能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的 问题. 4. 了解等差数列与一次函数、等比数列的性质以及函数的关系一直是高考中的热点. 命题趋势探究 1. 从内容上看,等差、等比数列的性质以及与函数的关系一直是高考中的热点. 2. 在能力方面,要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力. 3. 从命题形式上看,以选择、填空题为主,难度不大. 知识点精讲 一、基本概念 1.数列 (1)定义. 按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系. 从函数的角度来看,数列是特殊的函数 .在 y ? f ( x) 中,当自变量 x ? N 时,所对应的函数 值 f (1), f (2), f (3),? 就构成一数列,通常记为 {an } ,所以数列有些问题可用函数方法来解 决. 2.等差数列 (1)定义. 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差 数列,这个常数叫做公差,常用字母 d 表示,即 an?1 ? an ? d (n ? N ? ) . (2)等差数列的通项公式. 若等差数列 {an } 的首项是 a1 ,公差是 d ,则其通项公式为 an ? a1 ? (n ?1)d ? nd ? (a1 ? d ) , 是关于 ? n 的 一 次 型 函 数 . 或 an ? am ? (n ? m)d , 公 差 d ? ? an ? am (直线的斜 n?m 率)( m ? n, m, n ? N ). (3)等差中项. 若 x, A, y 成等差数列,那么 A 叫做 x 与 y 的等差中项,即 A ? x? y 或 2 A ? x ? y ,.在一个 2 等差数列中,从第 2 项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等 差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项. (4) 等 差 数 列 的 前 (a1 ? an )n n(n ? 1)d d 2 2a1 ? d ? na1 ? ? n ? n (类似于 2 2 2 2 d 2 ),是关于 n 的二次型函数(二次项系数为 且常数项为 0). Sn 的图像在过原 Sn ? An ? Bn 2 n 项 和 Sn ? 点的直线 (d ? 0) 上或在过原点的抛物线 (d ? 0) 上. 3.等比数列 (1)定义. 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫 做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母 q 表示,即 (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项 an ? a1q n ?1 an ?1 ? q(q ? 0, n ? N ? ) . an ? c ? q n (c ? a1 )(a1 , q ? 0) ,是不含常数项的指数型函数. q (3) am ? q m?n . an (4)等比中项 如果 x, G, y 成等比数列,那么 G 叫做 x 与 y 的等比中项,即 G2 ? xy 或 G ? ? xy (两个同 号实数的等比中项有两个). (5)等比数列的前 n 项和 ?na1 (q ? 1) ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ? 注①等比数列的前 n 项和公式有两种形式 ,在求等比数列的前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要分 q ? 1 与 q ? 1 两种情况讨论求解. a1 (1? q n ) ② 已 知 a1 , q( q ? 1),n( 项 数 ), 则 利 用 Sn ? 求 解 ; 已 知 a1 , an , q( q? 1), 则 利 用 1? q Sn ? a1 ? an q 求解. 1? q ③ Sn ? a1 (1 ? q n ) ?a1 n a ? ? q ? 1 ? kq n ? k (k ? 0, q ? 1) , Sn 为关于 qn 的指数型函数 , 1? q 1? q 1? q .解: 且系数与常数互为相反数 .例如等比数列 {an } ,前 n 项和为 Sn ? 22n?1 ? t ,则 t ? 等比数列前 n 项和 Sn ? 22n?1 ? t ? 2 ? 4n ? t ,则 t ? ?2 . 二、基本性质 1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广. 当 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ) 时 , 则有 am ? an ? ap ? aq , 特

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