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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(1)


湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(1)
团风中学高三数学交流试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。试卷满分150分,考试时间120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ? {x || x |? 2} , N ? ? x | x ? 1 ? 0? ,则集合 M ? (C R N ) 等于( ? ?
? x ?3 ?



A. {x | ?2 ? x ? ?1} C. {x | ?1 ? x ? 2}

B. {x | x ? 3} D. {x | ?2 ? x ? ?1}

2.设 f (n) ? i n ? i ? n (n ? N ) ,则集合 {x | x ? f (n)} 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.无穷多个

3、“数列 {a n } 为等比数列”是“数列 {an ? an ?1} 为等比数列”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4. (1 ? 3 x ) 6 (1 ? A.1 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D.4246

4

1 10 ) 展开式中的常数项为 ( x
B.46

C.4245

5.下面四个命题:①“直线 a∥直线 b”的充要条件是 “a 平行于 b 所在平面内的无数条直 线”;②“l⊥平面 ? ”的充要条件是“直线 l⊥平面 ? 内的所有直线”;③“直线 a、b 为异 面直线”的必要不充分条件是“直线 a,b 不相交”;④“平面 ? ∥平面 ? ”的充分不必要 条件是“平面 ? 内存在不共线三点到平面 ? 的距离相等”其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 6.北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡 度 15? 的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆 顶部的仰角分别为 60? 和 30? ,看台上第一排和最后一排 的距离 10 6 米(如图所示) ,旗杆底部与第一排在一个水 平面上,已知国歌长度约为 50 秒,升旗手匀速升旗的速 度为( A. ) B.

3 (米/秒) 5

3 6 (米/秒)C. (米/秒) 5 5

D. (米/秒)

1 5

7.设直线系 M : x cos? ? ( y ? 2) sin? ? 1(0 ? ? ? 2? ) ,则下列命题中是真命题的个数是
-1-

( ) ①存在一个圆与所有直线相交 ②存在一个圆与所有直线不相交 ③存在一个圆与所有直线相切 ④M中所有直线均经过一个定点 ⑤存在定点P不在M中的任一条直线上 ⑥对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在M中的直线上 ⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 A.3 B.4 C.5 D.6 8. 已知球 O 的半径为 2cm, B、 为球面上三点, A 与 B、 与 C 的球面距离都是 ? cm, A、 C B A 与 C 的球面距离为

4? cm,那么三棱锥 O—ABC 的体积为( ) 3
C.

A.

2 3 3 cm 3

B. 2 3 cm3

4 3 3 cm 3

D. 4 3 cm3

9.已知点P为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右 a2 b2

焦点,I为 ?PF1 F2 的内心,若 S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? ?S ?IF1F2 成立,则 ? 的值为( ) A.

a2 ? b2 2a

B.

a a ?b
2 2

C.

b a

D.

a b

10、平面上有四点,连结其中的两点的一切直线中的任何两条直线不重合、不平行、不垂 直,从每一点出发,向其他三点作成的一切直线作垂线,则这些垂线的交点个数最多 为( ) A.66 B.60 C.52 D.44

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,共 25 分,将答案填写在题中的横线上)

?x ? 2 ? 11.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ,且目标函数 z ? 3x ? y 的最小值是 5,则 z 的最大值 ?? 2 x ? y ? c ? 0 ?
为_________. 12、已知 x, y 的取值如下表所示: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 .

? 从散点图分析,y与x线性相关,且 y ? 0.95 x ? a ,则 a ?

-2-

13. 已知函数 f ( x) ? ?

?ax 2 ? bx ? c ? f ( ? x ? 2)

x ? ?1 x ? ?1

,其图象在点 (1, f (1)) (1,)处的切线方程为

y ? 2 x ? 1 ,则它在点 (?3, f (?3)) 处的切线方程为_________
14.已知数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , b2 ? x ( x ? N * ) , bn?1 ?| bn ? bn?1 | (n ? 2, n ? N * ) . ①若 x ? 2 ,则该数列前 10 项和为_________; ②若前 100 项中恰好含有 30 项为 0,则 x 的值为_________. 15.在正方体上任意选择 4 个顶点,作为如下五种几何形体的 4 个顶点:①矩形;②不是 矩形的平行四边形; ③有三个面为等腰直角三角形, 有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体. 能使这些几 何形体正确的所有序号是______________.

答 题 卡 一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. 14. 12. 15. 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 cosA= ,tan

3 5

B B +cot = 2 2

26 ,c=9. 5
(1)求 tanB 的值; (2)求△ ABC 的面积.

17. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, AB//CD, ∠DAB=60°, AB=AD=2CD, 侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△ PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,M 为 AP 的中点.

-3-

(1)求证:AD⊥PB; (2)求二面角 A—BC—P 的正切值.

18. (本小题满分 12 分) 某校调查了高三年级 1000 位同学的家庭月平均收入情况,得到家庭月平均收入频率 分布直方图如图, (1)某企业准备给该校高三同学发放助学金,发放规定如下:家庭收入在 4000 元以 下的每位同学得助学金 2000 元,家庭收入在 ?4000 ,6000 ?(元)间的每位同学得 助学金 1500 元,家庭收入在 ?6000 ,8000 ?(元)间的每位同学得助学金 1000 元, 家庭收入在 ?8000 ,10000 ? (元) ,间的同学不发助学金,记该年级某位同学所得 助学金为 ? 元,写出 ? 的分布列,并计算该企业发放这个年级的助学金约需要的 资金; (2)记该年级某班同桌两位同学所得助学金之差的绝对值为 ? 元,求 P(? ? 500 ).

19. (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn=- an - ( ) n-1 +2(n 为正整数) . (I)令 bn = 2 n an ,求证数列{ bn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)令 cn =

1 2

n+1 an ,求 Tn=c1+c2+…+cn. n

20. (本小题满分 13 分)

x2 y2 已知点 A(1,1)是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1,F2 是椭圆的两焦点,且 a b
满足 | AF1 | ? | AF2 |? 4 .

-4-

(1)求椭圆的两焦点坐标; (2)设点 B 是椭圆上任意一点,如果|AB|最大时,求证 A、B 两点关于原点 O 不对称; (3)设点 C、D 是椭圆上两点,直线 AC、AD 的倾斜角互补,试判断直线 CD 的斜率是 否为定值?若是定值,求出定值;若不是定值,说明理由。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1? x ,其中 a 为大于零的常数. ax

(1)若函数 f (x) 在 [1,??) 上单调递增,求 a 的取值范围; (2)求函数 f (x) 在区间 [1,2] 上的最小值; (3)求证:对于任意的 n? N * 且 n ? 1时,都有 ln n ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ? 成立. 2 3 n

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 D 5 C 6 A 7 C 8 A 9 B 10 D

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、10 14. 9; 12. 2.6 6或7或8 13. y ? 2 x ? 3 ? 0 15.①③④⑤

三、解答题(共 75 分) 16.解: (1)由 tan

B B ? cot ? 2 2

sin 2

B B ? cos2 1 26 2 2 ? , ? B B B B 5 sin cos sin cos 2 2 2 2

5 . 13 4 12 3 ? cos A ? ,?sin A ? ? sin B ,? B 为锐角,? cos B ? , 5 5 13 5 ? tan B ? . ……………………………………6 分 12 4 12 3 5 63 (2)由 sin C ? sin(A ? B) ? sin A ? cos A sin B ? ? ? ? ? , 5 13 5 13 65 a c 52 又?c ? 9 ,? ,得 a ? , ? sin A sin C 7 1 1 52 5 90 ? S ?ABC ? ac sin B ? ? ? 9 ? ? . ……………………12 分 2 2 7 13 7
得 sin B ?
-5-

17.解法一: (1)取 AD 的中点 G ,连结 PG、GB、BD P ? PA ? PD , ? PG ? AD .………2 分 ? AB ? AD ,且 ?DAB ? 60? , ??ABD 是正三角形, BG ? AD .………4 分 ? AD ? 平面 PGB .? AD ? PB .………6 分 D (2)取 BC 的中点 E ,联结 PE、GE . G ∵四边形 ABCD 是直角梯形且 AB // CD , A ? GE // AB , GE ? BC . ? BC ? 平面 PEG , ? BC ? PE , ??PEG 是二面角 A ? BC ? P 的平面角.……………………………9 分 设 DC ? a ,则 AB ? AD ? 2a . z ? G 、E 分别为 AD . BC 中点, P

C

F
B

AB ? CD a ? 2a 3 ? ? a .………10 分 2 2 2 ? G 是等腰直角三角形 PAD 斜边的中点, M 1 ? PG ? AD ? a . D 2 G PG 2 ? tan ?PEG ? ? , A EG 3 2 x ∴二面角 A ? BC ? P 的正切值为 . ………………………12 分 3 ? GE ?

C

B

y

解法二: (1)同解法 1 (2) ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,又? PG ? AD , ? PG ? 底面 ABCD .? PG ? BG .? PG ? AD . ∴直线 AD、GB、GP 两两互相垂直,……………………8 分 故可以分别以直线 AD、GB、GP 为 x 轴. y 轴和 z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系 G ? xyz . 设 PG ? a , C ( x, y, z ) ,则可求得

P(0, 0, a), A(a, 0, 0), B(0, 3a, 0), D( ?a, 0, 0) ,…………10 分
则 GP ? (0, 0, a), AB ? (?a, 3a, 0), PB ? (0, 3a, ?a) .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ???? ? AB ? 2DC 且 AB // CD ,? AB ? 2DC ,
即 (?a, 3a,0) ? 2[( x, y, z ) ? (?a,0,0)] .? ( x, y, z ) ? (? a,

3 2

3 a,0) , 2

即 C ( ? a,

3 2

3 a,0) .……………………………………………………11 分 2

??? ? ? PG ? 平面 ABCD ,? GP 是平面 ABCD 的法向量,
-6-

? ??? ? ? ??? ? n ? GP 3 ? ? cos ? n, GP ?? ? ??? ? . | n | ? | GP | 13
∴二面角 A ? BC ? P 的正切值为

? ? ? ?? 2 ? t a n?n G P ? ? , 3

.

2 . ………………………………………12 分 3

18.解: (1) ? 的分布列是

?
P

2000 0.3

1500 0.3

1000 0.2

0 0.2

…………………4 分

E? ? 2000 ? 0.3 ? 1500 ? 0.3 ? 1000 ? 0.2 ? 0 ? 0.2 ? 1250 (元)
所以需要资金约为: 1250 ?1000 ? 1250000 (元)…………………………6 分 (2) P ?? ? 1000 ? ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.2 ,…………………8 分

P ?? ? 1500 ? ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.12 ,…………………………9 分 P ?? ? 2000 ? ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.12 ,……………………10 分
所以 P ?? ? 500 ? ? 0.2 ? 0.12 ? 0.12 ? 0.44 。………………………………12 分

19.解: (1)在 S n ? ?an ? ( ) n?1 ? 2 中,令 n ? 1,可得 S1 ? ?a1 ? 1 ? 2 ? a1 ,

1 2

1 1 ,当 n ? 2 时, S n?1 ? ?an?1 ? ( ) n?2 ? 2 , 2 2 1 ? an ? S n ? S n?1 ? ?an ? an?1 ? ( ) n?1 , 2 1 ? 2an ? an?1 ? ( ) n?1 ,即 2 n an ? 2 n?1 an?1 ? 1. 2
即 a1 ?

? bn ? 2 n an ,?bn ? bn?1 ? 1 ,即当 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 1.
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 {bn } 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2 n an ,? a n ? (2)由(1)得 cn ?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 1 1 ① Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? ? ? ? ? (n ? 1)( ) n , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? 4 ? ( ) 4 ? ? ? ? ? (n ? 1)( ) n?1 , 2 2 2 2 2

n . …………………………6 分 2n



-7-

由①--②得 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ? ? ( ) n ? (n ? 1)( ) n?1

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n?1 ? ? n?1 , 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n . ………………………………12 分 2

1 2

20.解: (I)由椭圆定义知: 2a ? 4 ,? a ? 2,? 把(1,1)代入得

x2 y2 ? ?1 4 b2

1 1 ? ?1 4 b2

?b 2 ?

x2 y2 4 ,则椭圆方程为 ? ? 1, 4 4 3 3
2 6 4 8 ? ,?c ? 3 3 3
………………4 分

? c2 ? a2 ? b2 ? 4 ?

故两焦点坐标 为 (

2 6 2 6 ,0), (? ,0) 3 3

(II)用反证法:假设 A、B 两点关于原点 O 对称,则 B 点坐标为( ? 1 , ? 1 ) , 此时 | AB |? 2 2 取椭圆上一点 M (?2,0) ,则 | AM |? 10 .

? AM |?| AB | . |
从而此时|AB|不是最大,这与|AB|最大矛盾,所以命题成立。 …………8 分 (III)设 AC 方程为: y ? k ( x ? 1) ? 1

? y ? k ( x ? 1) ? 1 ? 联立 ? x 2 3 2 ? ? y ?1 ?4 4
消去 y 得

(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k (k ? 1) x ? 3k 2 ? 6k ? 1 ? 0

∵点 A(1,1)在椭圆上

3k 2 ? 6k ? 1 ? xC ? 3k 2 ? 1

………………10 分

-8-

∵直线 AC、AD 倾斜角互补 ∴AD 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) ? 1 同理 x D ?

3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 1

………………11 分

又 yc ? k ( xC ? 1) ? 1, y D ? ?k ( xD ? 1) ? 1 , yC ? y D ? k ( xC ? xD ) ? 2k 所以 k CD ?

yC ? y D 1 ? xC ? x D 3

即直线 CD 的斜率为定值

1 ………………13 分 3

21.解: f ?( x) ?

ax ? 1 ( x ? 0) ……………2 分 ax2 1 在 [1,??) 上恒成立 x

(1)由已知,得 f ?( x) ? 0 在 [1,??) 上恒成立, 即 a ? 又当 x ? [1,?? 时,

1 ? 1 ,?a ? 1 ,即 a 的取值范围为 [1,??) ……………4 分 x

(2)当 a ? 1时,? f ?( x) ? 0 在(1,2)上恒成立, 这时 f (x) 在[1,2]上为增函数,? f ( x) min ? f (1) ? 0.

1 ,? f ?( x) ? 0 在(1,2)上恒成立,这时 f (x) 在[1,2]上为减函数, 2 1 ? f ( x) min ? f (2) ? ln 2 ? . 2a 1 1 当 ? a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? (1,2). a 2 1 1 又?对于 x ? [1, ) 有 f ?( x) ? 0 ,对于 x ? ( ,2] 有 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 1 ? f ( x) min ? f ( ) ? ln ? 1 ? . ……………7 分 a a a
当0 ? a ? 综上, f (x) 在[1,2]上的最小值为: ①当 0 ? a ?

1 1 1 1 1 时, f ( x) min ? ln 2 ? ;②当 ? a ? 1 时, f ( x) min ? ln ? 1 ? . 2 2a 2 2 a
………9 分

③当 a ? 1时, f ( x) min ? 0 . (3)由(1) ,知函数 f ( x) ?

1 ? 1 ? ln x 在 [1,??) 上为增函数, x n n 当 n ? 1时,? ? 1 ,? f ( ) ? f (1) , n ?1 n ?1
-9-

即 ln n ? ln(n ? 1) ?

1 ,对于 n ? N * , 且n ? 1 恒成立, n

ln n ? [ln n ? ln(n ? 1)] ? [ln(n ? 1) ? ln(n ? 2)] ? ? ? ? ? [ln 3 ? ln 2] ? [ln 2 ? ln 1]

?

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? . n n ?1 3 2

?对于 n? N * ,且 n ? 1时, ln n ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ? 恒成立.………………14 分 2 3 n

- 10 -



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