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人教A版必修5:第二章2.2第2课时等差数列的性质 Word版含解析


第二章 2.2 第 2 课时
A级 一、选择题

数列

等差数列 等差数列的性质
基础巩固

1.设数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么 由 an+bn 所组成的数列的第 37 项值为( A.0 B.37 C.100 D.-37 解析:设 cn=an+bn,则 c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,故 d =c2-c1=0,故 cn=100(n∈N*),从而 c37=100. 答案:C 2.如果数列{an}是等差数列,则下列式子一定成立的有( A.a1+a8<a4+a5 C.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8=a4+a5 D.a1a8=a4a5 ) )

解析:由等差数列的性质有 a1+a8=a4+a5. 答案:B 3.在等差数列{an}中,已知 a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a3+a6+ a9 的值为( )

A.30 B.27 C.24 D.21 解析:设 b1=39,b2=33,b3=a3+a6+a9,则 b1,b2,b3 成等差数列. 所以 39+b3=2b2=66,b3=66-39=27. 答案:B 4.下面是关于公差 d>0 的等差数列(an)的四个命题: p1:数列{an}是递增数列;

p2:数列{nan}是递增数列;
?an? p3:数列? n ?是递增数列; ? ?

p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( A. p1,p2 C.p2,p3 ) B.p3,p4 D.p1,p4

解析: 因为 an=a1+(n-1)d, d>0, 所以数列{an}是递增数列, 故 p1 正确. 同 理知 p4 正确. 命题 p2 中,因为 nan=na1+n(n-1)d 是 n 的二次函数 所以其增减与 a1,d 的大小有关,故错误. an a1 (n-1) 命题 p3 中,因为 = + d 其增减性与 a1 与 d 的大小有关,所以 n n n p3 错. 答案:D 5.下列说法中正确的是( )

A.若 a,b,c 成等差数列,则 a2,b2,c2 成等差数列 B.若 a,b,c 成等差数列,则 log2a,log2b,log2c 成等差数列 C.若 a,b,c 成等差数列,则 a+2,b+2,c+2 成等差数列 D.若 a,b,c 成等差数列,则 2a,2b,2c 成等差数列 解析:因为 a,b,c 成等差数列,则 2b=a+c, 所以 2b+4=a+c+4, 即 2(b+2)=(a+2)+(c+2), 所以 a+2,b+2,c+2 成等差数列. 答案:C 二、填空题 6.在等差数列 {an}中, a3, a10 是方程 x2- 3x- 5= 0 的根,则 a5+ a8=

________. 解析:由已知得 a3+a10=3. 又数列{an}为等差数列, 所以 a5+a8=a3+a10=3. 答案:3 7.在等差数列{an}中,若 a3+a5+a7+a9+a11=100,则 3a9-a13 的值为 ________. 解析:由等差数列的性质可知,a3+a5+a7+a9+a11=(a3+a11)+(a5+a9)+ a7=5a7=100, 所以 a7=20. 所以 3a9-a13=2a9+a9-a13=(a5+a13)+a9-a13=a5+a9=2a7=40. 答案:40
?an an+1 ? ?在直线 x-y+1=0 上,则 an 8.已知数列{an}满足 a1=1,若点? n , n+1? ?

=________________. an+1 an ?an? an an+1 解析:由题设可得 - +1=0,即 - =1,所以数列? n ?是以 1 n n+1 ? ? n+1 n an 为公差的等差数列,且首项为 1,故通项公式 =n,所以 an=n2. n 答案:n2 三、解答题 9.在等差数列{an}中,若 a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求 a11+a12+…+a15. 解:法一:因为 1+11=6+6,2+12=7+7,…,5+15= 10+10, 所以 a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10. 所以(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10). 所以 a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30

=130. 法二:因为数列{an}是等差数列,所以 a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10, a11+a12+…+a15 也成等差数列,即 30,80,a11+a12+…+a15 成等差数列. 所以 30+(a11+a12+…+a15)=2×80, 所以 a11+a12+…+a15=130.
?1?an 21 1 10.数列{an}为等差数列,bn=?2? ,又已知 b1+b2+b3= ,b1b2b3= , 8 8 ? ?

求{an}的通项公式.
?1?a1 ?1?a2 ?1?a3 21 ?1?a1+a2+a3 1 解:因为 b1+b2+b3=?2? +?2? +?2? = ,b1b2b3=?2? = , 8 8 ? ? ? ? ? ? ? ?

所以 a1+a2+a3=3. 因为 a1,a2,a3 成等差数列,可设 a1=a2-d,a3=a2+d, 所以 a2=1.
?1?1-d 1 ?1?1+d 21 由?2? + +?2? = , 2 ? ? 8 ? ?

得 2d+2-d=

17 ,解得 d=2 或 d=-2. 4

当 d=2 时,a1=1-d=-1,an=-1+ 2(n-1)=2n-3; 当 d=-2 时,a1=1-d=3, an=3-2(n-1)=-2n+5. B级 能力提升

1 1.若方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数 4 列,则|m-n|=( A.1 B. )

3 1 3 C. D. 4 2 8

解析:设方程的四个根 a1,a2,a3,a4 依次成等差数列,则 a1+a4=a2+a3 =2,

再设此等差数列的公差为 d,则 2a1+3d=2, 1 1 因为 a1= ,所以 d= , 4 2 1 1 3 所以 a2= + = , 4 2 4 1 5 a3= +1= , 4 4 1 3 7 a4= + = , 4 2 4
?1 7 3 5? 1 所以|m-n|=|a1a4-a2a3|=?4×4-4×4?= . ? ? 2

答案:C 2.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则 ap+q=______________. 解析:法一:因为 ap=aq+(p-q)d, 所以 q=p+(p-q)d,即 q-p=(p-q)d, 因为 p≠q,所以 d=-1. 所以 ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0. 法二:因为数列{an}为等差数列, 所以点(n,an)在一条直线上. 不妨设 p<q,记点 A(p,q),B(q,p),则直线 AB 的斜率 p-q k= =-1,如图所示,由图知 OC=p+q,即点 C 的坐标为(p+q,0) q-p 故 ap+q=0.

答案:0 3.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).
?1? (1)求证:数列?a ?是等差数列; ? n?

(2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:由 3anan-1+an-an-1=0, 1 1 得 - =3(n≥2). an an-1 又因为 a1=1,
?1? 所以数列?a ?是以 1 为首项,3 为公差的等差数列. ? n?

1 (2)解:由(1)可得 =1+3(n-1)=3n-2, an 所以 an= 1 . 3n-2

又当 n=1 时,a1=1,符合上式, 所以数列{an}的通项公式是 an= 1 . 3n-2


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