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山东省泰安市2016届高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016 学年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={2,3,5},集合 B={1,3,4,6,7},则集 合 A∩?UB=( ) C.{2,3,5} D.{2,3,5,8}

A.{3} B.{2,5}

2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=log2(x+5) B. C.y=﹣

) D.y= ﹣x

3.以下四个命题中正确命题的个数是(



(1)?x∈R,log2x=0;(2)?x∈R,x2>0;(3)?x∈R,tanx=0;(4)?x∈R,3x>0. A.1 B.2 C.3 D.4

4.已知 A. B.

b,则下列不等式一定成立的是(



C.ln(a﹣b)>0 D.3a﹣b>1

5.设等差数列{an}的公差为 d,则 a1d>0 是数列{ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

}为递增数列的(



6.设四边形 ABCD 为平行四边形,| =( A.20 ) B.15 C.9 D.6

|=6,|

|=4,若点 M、N 满足



,则

7.在△ ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC,则 A 的取值范围是(
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A.(0,

] B.(0,

] C.[

,π) D.[

,π)

8.为了得到函数 y=3cos2x 的图象,只需把函数 y=3sin(2x+ A.向右平行移动 C.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动

)的图象上所有的点(



个单位长度

个单位长度 D.向左平行移动

个单位长度

9.已知 f(x)= x2+cosx,f′(x)为 f(x)的导函数,则 y=f′(x)的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

10. 对任意 A. C.

′ x) , 不等式 sinx?f (x) <cosx?f( 恒成立, 则下列不等式错误的是 ( B. D.



二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卷的横线上. 11.角 α 的终边经过点 P(﹣2sin60°,2cos30°),则 sinα= .

12.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=﹣2,则 a9=



13.若函数 f(x)=xln(x+

)为偶函数,则 a=



14.已知向量 , 的夹角为 为 BC 边的中点,则| |=

,且| |= .

,| |=2.在△ ABC 中,

=2 +2 ,

=2 ﹣6 ,D

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15.已知函数 f(x)= 围是 .

,若函数 y=f(x)﹣a|x|恰有 3 个零点,则 a 的取值范

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知四边形 ABCD 为平行四边形,点 A 的坐标为(﹣1,2),点 C 在第二象限, 的夹角为 (I)求点 D 的坐标; (II)当 m 为何值时, 垂直. =2.

17.设函数 (Ⅰ)若 x=

,其中 0<w<2. 是函数 f(x)的一条对称轴,求函数周期 T; 上为增函数,求 w 的最大值.

(Ⅱ)若函数 f(x)在区间

18.设△ ABC 的内角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,满足 a(tanA+tanC)+b=btanA?tanC,且 角 A 为钝角. (1)求 A﹣B 的值; (2)若 b=3,cosB= ,求△ ABC 的面积.

19.已知数列{an}满足:a1+2a2+…+nan=2﹣ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=log2 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

20.某超市销售某种小商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:件)与销售价格 x(单位: 元/件)满足关系式 y= ﹣80x,其中 1<x<4,a 为常数,已知销售价格为 3 元/件时,
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每日可售出该商品 11 件.若该商品的进价为 1 元/件,当销售价格 x 为何值时,超市每日销售该商 品所获得的利润最大.

21.已知函数 f(x)=x3﹣

﹣1 的导函数为 f′(x),g(x)=emx+f′(x).

(Ⅰ)若 f(2)=11,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)证明函数 g(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增; (Ⅲ)若对任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|g(x1)﹣g(x2)|≤e+1,求 m 的取值范围.

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2015-2016 学年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={2,3,5},集合 B={1,3,4,6,7},则集 合 A∩?UB=( ) C.{2,3,5} D.{2,3,5,8}

A.{3} B.{2,5}

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】先由补集的定义求出?UB,再利用交集的定义求 A∩?UB. 【解答】解:∵U={1,2,3,4,5,6,7,8},B={1,3,4,6,7}, ∴?UB═{2,5,8}, 又集合 A={2,3,5}, ∴A∩?UB={2,5}, 故选:B. 【点评】本题考查交、并补集的混合运算,解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义,计算出所求 的集合.

2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=log2(x+5) B. C.y=﹣

) D.y= ﹣x

【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】直接判断函数的单调性即可. 【解答】解:y=log2(x+5)在区间(0,+∞)上为增函数,满足题意. 在区间(0,+∞)上为减函数,不满足题意. y=﹣ 在区间(0,+∞)上为减函数,不满足题意.

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y= ﹣x 区间(0,+∞)上是减数函数,不满足题意. 故选:A. 【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用,是基础题.

3.以下四个命题中正确命题的个数是(



(1)?x∈R,log2x=0;(2)?x∈R,x2>0;(3)?x∈R,tanx=0;(4)?x∈R,3x>0. A.1 B.2 C.3 D.4

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;简易逻辑. 【分析】举例说明(1)、(3)正确,(2)错误;由指数函数的值域说明(4)正确. 【解答】解:(1)∵log21=0,∴?x∈R,log2x=0 正确; (2)∵02=0,∴?x∈R,x2>0 错误; (3)∵tan0=0,∴?x∈R,tanx=0 正确; (4)由指数函数的值域可知,?x∈R,3x>0 正确. ∴正确命题的个数有 3 个, 故选:C. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查了指数函数、对数函数的性质,考查正切函数的值, 是基础题.

4.已知 A. B.

b,则下列不等式一定成立的是(



C.ln(a﹣b)>0 D.3a﹣b>1

【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】直接利用对数函数的单调性写出结果即可. 【解答】解:y= 是单调减函数, ,可得 a>b>0, ∴3a﹣b>1. 故选:D.
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【点评】本题考查对数函数的单调性以及指数函数的单调性的应用,考查计算能力.

5.设等差数列{an}的公差为 d,则 a1d>0 是数列{ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑.

}为递增数列的(



【分析】根据充分必要条件的定义结合数列以及复合函数的单调性判断即可. 【解答】解:∵数列{an}是公差为 d 的等差数列, 若数列{ }即数列{a1an}为递增数列,

则 a1an﹣a1an﹣1=a1(an﹣an﹣1)=a1d>0, 是必要条件; 若 a1d>0,则数列{a1an}是递增数列即数列{ 是充分条件, 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查数列的性质以及复合函数的单调性问题,是一道基础题. }为递增数列,

6.设四边形 ABCD 为平行四边形,| =( A.20 ) B.15 C.9 D.6

|=6,|

|=4,若点 M、N 满足



,则

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】根据图形得出 = = = , + = = ?( , )=
2





结合向量结合向量的数量积求解即可. 【解答】解:∵四边形 ABCD 为平行四边形,点 M、N 满足 ∴根据图形可得: = + = , , ,

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= ∴ ∵
2

= = = , ?(



)=
2

2





=

2

, ,

= | ∴ 故选:C |=6,| =

2

2

|=4,
2 2

=12﹣3=9

【点评】本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解, 表示.

7.在△ ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC,则 A 的取值范围是( A.(0, ] B.(0, ] C.[ ,π) D.[ ,π)



【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】利用正弦定理化简已知的不等式,再利用余弦定理表示出 cosA,将得出的不等式变形后代 入表示出的 cosA 中,得出 cosA 的范围,由 A 为三角形的内角,根据余弦函数的图象与性质即可求 出 A 的取值范围. 【解答】解:利用正弦定理化简 sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC 得:a2≤b2+c2﹣bc, 变形得:b2+c2﹣a2≥bc, ∴cosA= ≥ = ,

又∵A 为三角形的内角,

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∴A 的取值范围是(0, 故选:B.

].

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,特殊角的三角函数值,以及余弦函数的图象与性质,熟练掌 握正弦、余弦定理是解本题的关键,属于基础题.

8.为了得到函数 y=3cos2x 的图象,只需把函数 y=3sin(2x+ A.向右平行移动 C.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动

)的图象上所有的点(



个单位长度

个单位长度 D.向左平行移动

个单位长度

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件根据诱导公式、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 【解答】解:函数 y=3cos2x=3sin(2x+ 移动 个单位长度, )+ ]=3sin(2x+ ) 的图象, ),把函数 y=3sin(2x+ )的图象上所有的点向左平行

可得函数 y=3sin[2(x+ 故选:D.

【点评】本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,统一这两个三角函 数的名称,是解题的关键,属于基础题.

9.已知 f(x)= x2+cosx,f′(x)为 f(x)的导函数,则 y=f′(x)的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】求函数的导数,根据函数的性质即可判断函数的图象. 【解答】解:∵f(x)= x2+cosx,
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∴f′(x)= x﹣sinx,为奇函数,关于原点对称,排除 B,D, 设 g(x)=f′(x)= x﹣sinx, 则 g(x)=0,得 x=sinx,由图象可知方程有三个根, 在图象 A 正确, 故选:A.

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,求函数的导数,利用导函数的性质是解决本题的关 键.

10. 对任意 A. C.

′ x) , 不等式 sinx?f (x) <cosx?f( 恒成立, 则下列不等式错误的是 ( B. D.



【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 【专题】转化思想;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】构造函数 g(x)=f(x)cosx,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性,然后利用单调 性进行判断即可. 【解答】解:构造函数 g(x)=f(x)cosx, 则 g′(x)=cosx?f′(x)﹣sinx?f(x), ∵sinx?f(x)<cosx?f′(x), ∴g′(x)=cosx?f′(x)﹣sinx?f(x)>0, 即 g(x)在 上为增函数,

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则 g( 即 f( 即 即 f( f(

)<g( )cos )< )<f(

), )cos ), ,

<f( f(

),

又 g(1)<g(

), )cos , ,

即 f(1)cos1<f( 即 故错误的是 D. 故选:D.

【点评】本题主要考查函数的大小比较,构造函数,求函数的导数,研究函数的单调性是解决本题 的关键.

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卷的横线上. 11.角 α 的终边经过点 P(﹣2sin60°,2cos30°),则 sinα= 【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 sinα 的值. 【解答】解:∵角 α 的终边经过点 P(﹣2sin60°,2cos30°), ∴x=﹣2sin60°=﹣ 则 sinα= = 故答案为: = . ,y=2cos30°= , ,∴r=|OP|= , .

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.

12.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=﹣2,则 a9= ﹣6 . 【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列.
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【分析】设等差数列{an}的公差为 d,代入已知可解得 a1 和 d,代入通项公式可得答案. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵S8=4a3,a7=﹣2, ∴8a1+ d=4(a1+2d),a7=a1+6d=﹣2,

解得 a1=10,d=﹣2, ∴a9=10+8(﹣2)=﹣6 故答案为:﹣6 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题.

13.若函数 f(x)=xln(x+ 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用.

)为偶函数,则 a= 1 .

【分析】由题意可得,f(﹣x)=f(x),代入根据对数的运算性质即可求解. 【解答】解:∵f(x)=xln(x+ ∴f(﹣x)=f(x), ∴(﹣x)ln(﹣x+ ∴﹣ln(﹣x+ ∴ln(﹣x+ ∴ln( ∴lna=0, ∴a=1. 故答案为:1. 【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用,属于基础试题. )=xln(x+ )=ln(x+ )+ln(x+ +x)( ), )=0, ), )为偶函数,

﹣x)=0,

14.已知向量 , 的夹角为 为 BC 边的中点,则| |= 2

,且| |= .

,| |=2.在△ ABC 中,

=2 +2 ,

=2 ﹣6 ,D

【考点】平面向量数量积的运算.
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【专题】计算题. 【分析】根据题意,由向量的加法,分析可得 则有| |2=(2 ﹣2 )2=4
2

= (

+

)= (2 +2 +2 ﹣6 )=2 ﹣2 , |2,进而可得答案.

﹣8 ? +4

2

,由数量积计算可得|

【解答】解:根据题意,在△ ABC 中,D 为 BC 边的中点, 则 有| 即| = ( + )= (2 +2 +2 ﹣6 )=2 ﹣2 ,
2

|2=(2 ﹣2 )2=4 |=2;

﹣8 ? +4

2

=4,

故答案为 2. 【点评】本题考查向量的数量积的运用,关键是用 与 表示 .

15.已知函数 f(x)= 围是 a=0 或 a≥2 .

,若函数 y=f(x)﹣a|x|恰有 3 个零点,则 a 的取值范

【考点】函数的零点与方程根的关系;分段函数的应用. 【专题】计算题;数形结合;函数的性质及应用. 【分析】由 y=f(x)﹣a|x|=0 得 f(x)=a|x|,利用数形结合即可得到结论. 【解答】解:由 y=f(x)﹣a|x|=0 得 f(x)=a|x|, 作出函数 y=f(x),y=a|x|的图象. 当 a=0,满足条件, 当 a≥2 时,此时 y=a|x|与 f(x)有三个交点, 故答案为:a=0 或 a≥2.

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【点评】本题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,难度 较大.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知四边形 ABCD 为平行四边形,点 A 的坐标为(﹣1,2),点 C 在第二象限, 的夹角为 (I)求点 D 的坐标; (II)当 m 为何值时, 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】方程思想;数学模型法;平面向量及应用. 【分析】(I)设 C(x,y),D(m,n). (y﹣2)2=1.①又 =(x+1,y﹣2),利用向量夹角公式可得(x+1)2+ ,可得(m+1,n 垂直. =2.

=2(x+1)+2(y﹣2)=2,联立解出 C 坐标.又

﹣3)=(﹣2,2),解得 m,n. (II)由(I)可知: 可. 【解答】解:(I)设 C(x,y),D(m,n). ∵ 与 的夹角为 =2. ,化为(x+1)2+(y﹣2)2=1.① =(x+1,y﹣2), =(0,1),由于 垂直.可得( =0,解出即

∴ 又

=

=

=2(x+1)+2(y﹣2)=2,化为 x+y=2.② 或 .

联立①②解得

又点 C 在第二象限,∴C(﹣1,3). 又 ,

∴(m+1,n﹣3)=(﹣2,2),解得 m=﹣3,n=1. ∴D(﹣3,1). (II)由(I)可知: ∴ =(0,1), = ﹣ =(﹣2,﹣1).
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=(2m,2m+1),

∵ ∴(

垂直. =﹣4m﹣(2m+1)=0,解得 m= .

【点评】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

17.设函数 (Ⅰ)若 x=

,其中 0<w<2. 是函数 f(x)的一条对称轴,求函数周期 T; 上为增函数,求 w 的最大值.

(Ⅱ)若函数 f(x)在区间

【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性,求得 w 的 值,可得函数的周期. (Ⅱ)由正弦函数的单调性求得 f(x)的增区间,再利用函数 f(x)在区间 数,求得 w 的最大值. 【解答】 解: 函数 ﹣cos2wx+1 = sin2wx. 是函数 f(x)的一条对称轴,可得 2w? sin2x,故 T= ﹣ ≤ x≤ + =kπ+ =π. ,k∈Z, ≤ ,且 ≥ , ,k∈Z,∴w=2k+1, =4 (coswxcos ﹣sinwxsin sinwx ) 上为增函

(Ⅰ) 由 x=

再结合 0<w<2,求得 w=1,f(x)= (Ⅱ)令 2kπ﹣ ≤2wx≤kπ+ ,求得

再根据函数 f(x)在区间 求得 0<w≤ ,即 w 得最大值为 .

上为增函数,可得﹣

【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的图象的对称性,正弦函数的单调性,属于中档题.

18.设△ ABC 的内角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,满足 a(tanA+tanC)+b=btanA?tanC,且 角 A 为钝角.
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(1)求 A﹣B 的值; (2)若 b=3,cosB= ,求△ ABC 的面积.

【考点】两角和与差的正切函数;同角三角函数基本关系的运用. 【专题】解三角形. 【分析】(1)把已知的等式变形,化切为弦,结合诱导公式可得 A﹣B 的值; (2)由 cosB= 式得答案. 【解答】解:(1)由 a(tanA+tanC)+b=btanA?tanC,得 a(tanA+tanC)=b(tanA?tanC﹣1), 即 则﹣tanB=﹣ , ∴sinA=cosB=sin( ∴A﹣B= ; ,得 )=cosB= , . , ,∴tan(A+C)=﹣ , , ),则 A= , ,结合(1)可得 sinA,利用正弦定理求出 a,再求出 sinC,代入三角形的面积公

(2)由 A﹣B= ∴sinA=sin( sinB=

由正弦定理得

,即

,∴a=



sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 则 .



【点评】本题考查两角和与差的正切,考查了同角三角函数基本关系式的应用,训练了三角形面积 的求法,是中档题.

19.已知数列{an}满足:a1+2a2+…+nan=2﹣ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=log2 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
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【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】分类讨论;转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】(I)利用递推关系即可得出; (II)bn=log2 即可得出. 【解答】解:(I)∵a1+2a2+…+nan=2﹣ ∴当 n=1 时,a1= . 当 n≥2 时,a1+2a2+…+(n﹣1)an﹣1=2﹣ 当 n=1 时也满足上式, ∴an= . =(2n﹣1)?2n. ,可得 nan= ,即 an= . , =2n﹣1, =(2n﹣1)?2n,利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式

(II)bn=log2

=2n﹣1,

∴数列{cn}的前 n 项和 Tn=2+3×22+5×23+…+(2n﹣1)?2n. ∴ +…+(2n﹣3)?2n+(2n﹣1)?2n+1. ﹣2﹣(2n﹣1)?2n+1=(3﹣2n)?2n+1﹣6.

∴﹣Tn=2+2×22+…+2×2n﹣(2n﹣1)?2n+1= ∴Tn=(2n﹣3)?2n+1+6.

【点评】本题考查了“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式、递推关系的应用,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

20.某超市销售某种小商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:件)与销售价格 x(单位: 元/件)满足关系式 y= ﹣80x,其中 1<x<4,a 为常数,已知销售价格为 3 元/件时,

每日可售出该商品 11 件.若该商品的进价为 1 元/件,当销售价格 x 为何值时,超市每日销售该商 品所获得的利润最大. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题;函数思想;函数的性质及应用.

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【分析】由销售价格为 3 元/件时,每日可售出该商品 11 件,建立方程,求出 a,可得 f(x)的解析 式;商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润,可得日销售量的利润 函数为关于 x 的三次多项式函数,再用求导数的方法讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从 而得出最大值对应的 x 值. 【解答】解:由题意,销售价格为 3 元/件时,每日可售出该商品 11 件, ∴11= +10×9﹣80×3,解得 a=﹣158,故 y= +10x2﹣80x(1<x<4);

商场每日销售该商品所获得的利润为 g(x)=(x﹣1)f(x)=(160x﹣158)+(x﹣1)(10x2﹣80x) (1<x<4), g′(x)=30(x﹣4)(x﹣2). 列表得 x,y,y′的变化情况: x (1,2) 2 0 (2,4) ﹣

g′(x)+

g(x) 单调递增极大值 42 单调递减 由上表可得,x=2 是函数 f(x)在区间(1,4)内的极大值点,也是最大值点,此时 g(x)=42 元. 【点评】本题函数解析式的建立比较容易,考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题,属于中 档题.

21.已知函数 f(x)=x3﹣

﹣1 的导函数为 f′(x),g(x)=emx+f′(x).

(Ⅰ)若 f(2)=11,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)证明函数 g(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增; (Ⅲ)若对任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|g(x1)﹣g(x2)|≤e+1,求 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值 问题中的应用. 【专题】综合题;转化思想;分类法;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)由 f(2)=11,求得 m=﹣2,求出 f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,即可得 到所求切线的方程; (Ⅱ)利用 g′(x)≥0 说明函数为增函数,利用 g′(x)≤0 说明函数为减函数.注意参数 m 的讨论; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 m,g(x)在[﹣1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,则恒成立问题转 化为最大值和最小值问题.从而求得 m 的取值范围.
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【解答】解:(Ⅰ)函数 f(x)=x3﹣

﹣1 的导函数为 f′(x)=3x2﹣mx,

f(2)=11,可得 8﹣2m﹣1=11,解得 m=﹣2, 即 f(x)=x3+x2﹣1 导数为 f′(x)=3x2+2x, 在点(1,f(1))处的切线斜率为 5,切点为(1,1), 则在点(1,f(1))处的切线方程为 y﹣1=5(x﹣1), 即为 5x﹣y﹣4=0; (Ⅱ)证明:g(x)=emx+f′(x)=emx+3x2﹣mx. g′(x)=m(emx﹣1)+6x. 若 m≥0,则当 x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1≤0,g′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,emx﹣1≥0,g′(x)>0. 若 m<0,则当 x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1>0,g′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,emx﹣1<0,g′(x)>0. 所以,g(x)在(﹣∞,0)时单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅲ)由(1)知,对任意的 m,g(x)在[﹣1,0]单调递减,在[0,1]单调递增, 故 g(x)在 x=0 处取得最小值. 所以对于任意 x1,x2∈[﹣1,1],|g(x1)﹣g(x2)|≤e+1 的充要条件是 ,即 设函数 h(t)=et﹣t﹣e+1,则 h′(t)=et﹣1. 当 t<0 时,h′(t)<0;当 t>0 时,h′(t)>0. 故 h(t)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. 又 h(1)=0,h(﹣1)=e﹣1+2﹣e<0,故当 t∈[﹣1,1]时,h(t)≤0. 当 m∈[﹣1,1]时,h(m)≤0,h(﹣m)≤0,即合式成立; 当 m>1 时,由 h(t)的单调性,h(m)>0,即 em﹣m>e﹣1. 当 m<﹣1 时,h(﹣m)>0,即 e﹣m+m>e﹣1. 综上,m 的取值范围是[﹣1,1]. 【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用.属于难题. ,即 ,

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