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高中数学 第二章 平面向量 4 平面向量的坐标课件 北师大版必修4_图文

第二章 平面向量
§4 平面向量的坐标
4.1 平面向量的坐标表示 4.2 平面向量线性运算的坐标表示
4.3 向量平行的坐标表示

1.问题导航 (1)相等向量的坐标相同吗?相等向量的起点、终点的坐标一定 相同吗? (2)求向量A→B的坐标需要知道哪些量? (3)两个向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)平行的条件 x1y2-x2y1=0 与xx12=yy12有什么区别吗?

2.例题导读 P88 例 1.通过本例学习,体会向量坐标表示的意义,学会用坐 标表示已知向量.
教材 P91 习题 2-4 A 组 T4 你会吗? P90 例 2.通过本例学习,熟悉平面向量坐标运算公式,掌握平 面向量的坐标运算.
教材 P91 习题 2-4 A 组 T1 你会吗? P91 例 4.通过本例学习,学会利用平面向量平行的坐标表示解 决三点共线问题.
教材 P92 习题 2-4 A 组 T6 你会吗?

1.平面向量的坐标表示 (1)把一个向量分解为互相垂直的向量,叫作把向 量正交分解. (2)在平面直角坐标系中,如图,分别取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底,a 为 坐标平面内的任意向量,以坐标原点 O 为起点作O→P=a.由平面向 量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使得O→P=x i+y j,因
此 a=x i+y j.把实数对__(_x_,__y_)_____叫作向量 a 的坐标,记作 a =___(_x_,__y_)____.
(3)几个特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). (4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a=b?x1=x2 且 y1=y2.

2.平面向量线性运算的坐标表示 (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=__(_x_1_+__x_2,__y_1_+__y_2)_____, a-b=_____(x_1_-__x_2_,__y_1-__y_2_)___.即向量和与差的坐标分别等于 各向量相应坐标的和与差. (2)若 a=(x,y),λ ∈R,则 λa=_(_λ_x_,__λ__y_) ___,即实数与向量 积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积.

(3)已知向量A→B的起点 A(x1,y1),终点 B(x2,y2),则A→B= (_x_2_-__x_1,__y_2_-__y_1_) ____,即一个向量的坐标等于其终点的相应坐 标减去始点的相应坐标. (4)已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 中点 M 的坐标为 ????x1+2 x2,y1+2 y2????.

3.向量平行的坐标表示 (1)设 a,b 是非零向量,且 a=(x1,y1),b=(x2,y2).若 a∥b, 则存在实数 λ,使 a=λb,而用坐标表示为_x_1_y_2_-__x_2y_1_=__0.若 y1 ≠ ___0xy_11=_且_x_y22_y_2≠___0.(即向量 b 不与坐标轴平行),则上式可变形为 (2)文字语言描述向量平行的坐标表示 定理 1 若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标 ___成__比__例_____. 定理 2 若两个向量相对应的坐标__成__比__例______,则它们平行.

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.( × ) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( × ) (3)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.( √ )

解析:(1)错误.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标都一 样. (2)错误.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺 序有关. (3)正确.因为(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)与向量(- 4,-6)反向.

2.已知 A(3,1),B(2,-1),则B→A的坐标是( C )

A.(-2,-1)

B.(2,1)

C.(1,2)

D.(-1,-2)

解析:B→A=(3,1)-(2,-1)=(3-2,1+1)=(1,2). 3.已知向量 a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且 a∥b,则 m

等于( C )

A.-1

B.-2

C.-1 或 3

D.0 或-2

解析:由已知得-(2m+3)+m2=0,所以 m=-1 或 m=3.

4.已知 A(1,2),B(4,5),若A→P=2P→B,则点 P 的坐标为_(3_,__4_)___. 解析:设 P(x,y),则A→P=(x-1,y-2),P→B=(4-x,5-y), 又A→P=2P→B,所以(x-1,y-2)=2(4-x,5-y), 即?????xy--21==22((54--yx)),,所以?????xy==43,,所以点 P 的坐标为(3,4).

1.向量正交分解的实质 向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形,也是一种 特殊的情形,即基底垂直的情况,单位正交基底坐标 i=(1,0),
j=(0,1),零向量的坐标 0=(0,0). 2.向量的坐标与点的坐标的区别与联系 (1)区别 ①意义:点的坐标反映点的位置,它由点的位置决定;向量的 坐标反映的是向量的大小和方向,与位置无关.

②表示形式:如点 A(x,y),向量 a=(x,y). 当向量O→A平行移动到O→1A1时,向量不变,即O→1A1=O→A=(x,y), 但O→1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标发生了变化. (2)联系 ①向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体 位置没有关系,只与其相对位置有关系; ②把坐标原点作为表示向量 a 的有向线段的始点,这时向量 a 的坐标就由表示向量 a 的有向线段的终点唯一确定,即终点的 坐标就是向量的坐标.

3.向量的三种运算体系 (1)图形表示下的几何运算:此运算体系下要注意三角形法则、 平行四边形法则的应用. (2)字母表示下的几何运算:此运算体系下一方面要注意运算律 的应用,另一方面要注意O→A+A→B=O→B,O→A-O→B=B→A等运算 法则的应用. (3)坐标表示下的代数运算:此运算体系下要牢记公式,且细心 运算.若已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐 标,再进行坐标运算.

4.对向量平行的三种理解 (1)a∥b(b≠0)?a=λb.这是几何运算,体现了向量 a 与 b 的长度 及方向之间的关系. (2)a∥b?a1b2-a2b1=0,其中 a=(a1,b1),b=(a2,b2).这是 代数运算,适用于向量平行的任何情况,包含零向量的情况. (3)a∥b?ab11=ab22,其中 a=(a1,b1),b=(a2,b2)且 b1≠0,b2≠0, 即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线 的坐标表示,而且不易出现搭配错误.

探究点一 平面向量的坐标表示 已知边长为 2 的正三角形 ABC,顶点 A 在坐标原点, AB 边在 x 轴上,C 在第一象限,D 为 AC 的中点,分别求向量 A→B,A→C,B→C,B→D的坐标. (链接教材 P88 例 1)

[解]如图,正三角形 ABC 的边长为 2,则顶点坐标 A(0,0),

B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°),

所以 C(1, 3),D???12, 23???, 所以A→B=(2,0),A→C=(1, 3),

B→C=(1-2, 3-0)=(-1, 3),

B→D=???12-2,

23-0???=???-32,

3?

2

? ?

.

(1)向量的坐标等于终点的相应坐标减去起点的相应坐标,只有 当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标. (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标,常常结合图形,利用 三角函数的定义进行计算.

1.(1)已知 O 为坐标原点,点 A 在第一象限,|O→A |=4 3,∠xOA=60°,则向量O→A的坐标为_(2___3_,__6_) . (2)已知 O(0,0)和 A(6,3)两点,点 P 在线段 OA 上,且OPAP=12, 若点 P 是线段 OB 的中点,则点 B 的坐标为_(_4_,__2_)__.

解析:(1)设点 A(x,y),则 x=|O→A|·cos 60°= 4 3cos 60°=2 3,y=|O→A|sin 60°=4 3sin 60°=6, 即 A(2 3,6).所以O→A=(2 3,6). (2)如图所示,则O→A=(6,3), 因为OPAP=12,所以OOAP=13, 得O→P=13O→A=(2,1), O→B=2O→P=(4,2). 所以点 B 的坐标为(4,2).

探究点二 平面向量线性运算的坐标表示

(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知点 A(0,1),B(3,2),向量A→C

=(-4,-3),则向量B→C=( A )

A.(-7,-4)

B.(7,4)

C.(-1,4)

D.(1,4)

(2)已知向量 a,b 的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求 a+b,

a-b,3a,2a+3b 的坐标.

[解](1)选 A.法一:设 C(x,y),则A→C=(x,y-1)=(-4,-3), 所以?????xy==--24,,从而B→C=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故 选 A. 法二:A→B=(3,2)-(0,1)=(3,1), B→C=A→C-A→B=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 故选 A.

(2)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3), a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7), 3a=3(-1,2)=(-3,6), 2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5) =(-2,4)+(9,-15) =(7,-11).

平面向量坐标(线性)运算的方法 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘 的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标, 然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.

2.(1)(2015·高考江苏卷)已知向量 a=(2,1),b= (1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则 m-n 的值为 ________. (2)已知 A(2,-4),B(-1,3),C(3,4),若C→M=2C→A+3C→B, 求点 M 的坐标. 解:(1)因为 ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8), 所以?????2mm-+2nn= =- 9,8,所以?????mn==52,, 所以 m-n=2-5=-3.故填-3.

(2)由 A(2,-4),B(-1,3),C(3,4),得 C→A=(2-3,-4-4)=(-1,-8), C→B=(-1-3,3-4)=(-4,-1), 所以C→M=2C→A+3C→B=2(-1,-8)+3(-4,-1) =(-2,-16)+(-12,-3)=(-14,-19). 设点 M 的坐标为(x,y),则C→M=(x-3,y-4). 由向量相等坐标相同可得?????xy--43==--1194,, 解得?????xy==--1115, . 所以点 M 的坐标为(-11,-15).

探究点三 向量共线的坐标运算 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向? (链接教材 P91 例 4)

[解]法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ, 使 ka+b=λ(a-3b). 即(k-3,2k+2)=λ(10,-4), 所以?????k2- k+3= 2=1- 0λ,4λ,解得 k=λ=-13. 当 k=-13时,ka+b 与 a-3b 平行, 这时 ka+b=-13a+b=-13(a-3b), 因为 λ=-13<0,所以 ka+b 与 a-3b 反向.

法二:由题知 ka+b=(k-3,2k+2), a-3b=(10,-4), 因为 ka+b 与 a-3b 平行, 所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0, 解得 k=-13. 这时 ka+b=(-13-3,-23+2) =-13(a-3b). 所以当 k=-13时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向.

在本例中已知条件不变,若改为“当 k 为何值 时,a+kb 与 3a-b 平行?”,又如何求 k 的值? 解:因为 a=(1,2),b=(-3,2), 所以 a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k), 3a-b=(3,6)-(-3,2)=(6,4). 又因为(a+kb)∥(3a-b), 所以(1-3k)×4-(2+2k)×6=0.解得 k=-13.

两平面向量共线的条件有以下两种形式:①若 a=(x1,y1),b = (x2 , y2) , 则 a∥b(a≠0) 的 条 件 是 x1y2 - x2y1 = 0 ; ② 若 a∥b(a≠0),则 b=λa(λ 为实数).

3.(1)已知向量

a=(1-sin

θ,1),b=???12,1+sin

?
θ?
?

且 a∥b,则锐角 θ 等于( B )

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

(2)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),

C(-2,-1).若 D(m,2m),且A→B与C→D共线,求非零实数 m

的值.

解:(1)由 a∥b,得(1-sin θ)(1+sin θ)-12=0,即 cos θ=± 22, 而 θ 为锐角,故 θ=45°. (2)因为 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),D(m,2m),所 以A→B=(3,5),C→D=(m+2,2m+1), 又因为A→B与C→D共线,即A→B∥C→D, 所以 3(2m+1)=5(m+2), 解得 m=7,所以非零实数 m 的值为 7.

规范解答

向量共线的应用

(本题满分 12 分)在△AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),

B(4,3),O→C=14O→A,O→D=12O→B,AD 与 BC 相交于点 M,求点 M 的坐标. [解]设点 C 坐标为(xC,yC), 因为点 O(0,0),A(0,5),B(4,3), 所以O→A=(0,5),O→B=(4,3).

因为O→C=(xC,yC)=14O→A=???0,54???, 所以点 C???0,54???.同理点 D???2,32???. (2 分) 设点 M 的坐标为(x,y), 则A→M=(x,y-5),而A→D=???2,-72???, 因为 A,M,D 三点共线,所以A→M与A→D共线.
所以-72x-2(y-5)=0,即 7x+4y=20. (6 分)

而C→M=???x,y-54???,C→B=???4-0,3-54???=???4,74???, 因为 C,M,B 三点共线,所以C→M与C→B共线.
所以74x-4???y-54???=0,即 7x-16y=-20. (10 分) 解?????77xx+ -41y6=y=2-0,20,得?????xy==217,2, 所以点 M 的坐标为???172,2???.(12 分)

[规范与警示] (1)在 处根据条件正确地得到两点坐标是成功 解题的关键,也可能因解不出造成失分.在 处正确地运用了 AD 与 BC 交于点 M 的条件,否则无法继续求解造成失分.在
处正确地运用了向量共线的性质定理得到向量共线的坐标表 示,否则将功败垂成.

(2)①解题时,准确地计算有关向量的坐标是正确答题的前提, 如本例,只有正确地求出相应向量的坐标,才能顺利地完成解 题; ②解题时,两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键,如 本例,对两向量共线的坐标运算掌握不熟练将造成本题错解; ③在求点或向量的坐标时要注意方程思想的应用,如本例,充 分应用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据,是解题 的保证.

1.已知向量 a=(1,2),b=(3,1),则 b-a=( B )

A.(-2,1)

B.(2,-1)

C.(2,0)

D.(4,3)

解析: b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选 B.

2.下列向量中,与向量 c=(2,3)不共线的一个向量 p=( A )

A.(3,2)

B.???1,32 ???

C.???23,1 ???

D.???13,12 ???

解析:由平面向量共线的坐标表示,若 a=(x1,y1),b=(x2, y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0 可知,只有选项 A 与已知向量不共 线. 3.已知点 A(-1,-5)和向量 a=(2,3),若A→B=3a,则点 B 的坐标为__(5_,__4__) _. 解析:设 O 为坐标原点,则O→A=(-1,-5),A→B=3a=(6,9),
故O→B=O→A+A→B=(5,4),故点 B 的坐标为(5,4).


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