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数学思想方法在高中解题中的应用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 数学思想方法在高中解题中的应用 作者:周雪锐 来源:《读写算· 教研版》2015 年第 08 期 摘 要:数学思想、数学方法很多,这里仅就高中教材中和考试题中常见的四种:函数思 想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想作些探讨,让学生从中体会四种基本数学思 想方法在解题中的重要作用。 关键词:数学;思想方法;高中;应用 中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2015)08-264-01 数学思想、数学方法很多,这里仅就高中教材中和考试题中常见的四种:函数思想、数形 结合思想、分类讨论思想、转化化归思想作些探讨,让学生从中体会四种基本数学思想方法在 解题中的重要作用。 函数思想就是运用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的等 量关系,建立或构造函数关系,再运用函数的图象和性质去分析问题,达到转化问题的目的, 从而使问题获得解决的思想。 方程思想,就是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型— 方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解 决的思想。 1、函数与方程的思想 函数与方程的思想是高中数学中最基本也是最重要的思想方法之一,在高考中有非常重要 的地位。数学中很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持,很多方程的问题需要用函数 的知识和方法去解决,即函数与方程可相互转化。 下面来看这样一道例题: 例 1:和 的定义域都是非零实数集,是偶函数,是奇函数,且求的取值范围。 分析:已知两个函数的和,求商,好象从未见过。我们不能只看符号,不注重文字,其实 这一题的关键在于“是偶函数,是奇函数”,于是就有,又有再把换成。这时不能再把 当函数解 析式来看了,知道了+,-就可以把它们当成两个未知数,只需去解一个二元一次方程组问题就 解决了。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 由于函数在高中数学中的举足轻重的地位,因而函数与方程的思想一直是高考要考察的重 点,它在解析几何、立体几何、数列等知识中都有广泛应用。 2、数形结合的思想 数形结合思想就是充分运用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结 合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过图形的描述,代数论证来研究和解决数学问题的一 种数学思想方法。 数学是研究数量关系和空间形式的科学,数和形的关系是非常密切的。把数和形结合起 来,能够使抽象的数学知识形象化,把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图 形,在具体的几何图形中寻找数量之间的联系,由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。 看一道数形结合的例题: 例 2:已知关于 x 的方程=px,有 4 个不同的实根,求实数 p 的取值范围。 分析:设 y = = 与 y=px 这两个函数在同一坐标系内, 画出这两个函数的图像 (1)直线 y= px 与 y=-(x-4x+3),x[1,3]相切时原方程有 3 个根。 (2)y=px 与 x 轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线 y=px 应介于这两者之 间,由:得 x+(p -4)x+3=0,再由△ =0 得,p=4± 2,当 p=4+2 时, x=-[1,3]舍去, 所以实数 p 的取值范围是 0 在数学中只要我们注意运用数形结合思想,既可增加同学们对数学的兴趣,同时又能提高 对数学问题的理解力和解题能力,也是提高数学素质不可缺少的因素之一。 3、转化与化归的思想 转化与化归思想是

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