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2019-2020学年(秋季版)数学上册 25.4 相似三角形的判定课堂导学案 (新版)冀教版

2019-2020 学年(秋季版)数学上册 25.4 相似三角形的判定课堂导 学案 (新版)冀教版 能力点 1 判断两个三角形相似的基本思路 题型导引要判断两个三角形相似,一般的思考方法是:先考虑是否有两对角对应相等; 如果只有一对角对应相等,再看夹这个角的两边是否成比例;如果不能确定出对应角相等 , 再看三组对应边是否成比例. 警误区:当两个三角形有两边对应成比例,只有当这两边的夹 角相等时,两个三角形 才相似. 【例 1】 在△ABC 与△A′B′C′中, 有下列条件: ① AB BC AC BC = ; ② = ; A′B′ B′C′ A′C′ B′C′ ③∠A = ∠A′ ; ④∠C = ∠C′. 如 果 从 中 任 取 两 个 条 件 组 成 一 组 , 那 么 能 判 断 △ABC∽△A′B′C′的共有__________组. AB BC AC 解析 :①与②,满足 = = ,能判定△ABC∽ △A′B′C′; A′B′ B′C′ A′C′ ③与④,满足∠A=∠A′,∠C=∠C′. 能判定△ABC∽△A′B′C′; AC BC ②与④满足 = ,∠C=∠C′,能判定△ABC∽△A′B′C′,共有 3 组. A′C′ B′C′ 答案:3 规律总结根据相似三角形的三种判定 方法选择合适的条 件.判定两个三角形相似的思路:①先找两对对应角相等;②若只 能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹边是否对应成比例;③若找不到角相等,就 判断三边是否对应成比例,否则可考虑相似三角形的“传递性”. 变式训练 如图,已知△ABC 的两条高 BD,CE 相交于点 O. 求证:△AED∽△ACB. 分析:在△ AED 和△ACB 中,有公共角∠A,但很难再找出一组角对应相等,故需证明 夹∠A 的两边对应成比例. AD AB 证明:∵∠ADB=∠AEC=90°,∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE.∴ = . AE AC 又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ACB. 能力点 2 比例式与等积式 题型导引 1.证明比例式 (1)如果构成比例式的四条线段在两个三角形中时, 可通过证明这两个三角形相似得到; (2)当构成比例式的四条线段不在两个三角形中时,可考虑寻找中间比或用相等的线段 替代题目中的线段. 2.证明等积式 在证明等积式时,首先要根据比例的基本性质把等积式化为比例式,然后再利用(1)中 的方法求解. 【例 2】 已知: 如图, 在△ABC 中, ∠C=90°, D, E 分别是 AB, AC 上的两点, 并且 AD·AB =AE·AC,证明:ED⊥AB. 分析:要证 ED⊥AB,即要证∠ADE=90°,即△ADE∽△ACB. 证明:∵AD·AB=AE·AC,∴ AD AE = . AC AB 又∵∠A 是△ABC 和△AED 的公共角, ∴△ABC∽△AED. ∴∠ADE=∠C=90°,即 ED⊥AB. 规律总结对于几何证明中遇到等积式时, 一般把等积式改写成比例式, 然后证明三角形 相似,再利用相似三角形证明线段成比例. 变式训 练 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D. 求证:(1)AC =AD·AB; (2)BC =BD·AB; (3)CD =AD·BD. AC AB 2 分析: 等积式 AC =AD·AB 可化为 = ,其中分子上的 AC,AB 在△ABC 中, AD AC 分母上的 AD,AC 在△ACD 中,因此可通 过证明这两个三角形相似得到.利用同样的方 法可证明(2)和(3). 2 2 2 证明:(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°. ∵∠ACB=9 0°,∴∠ADC=∠ACB. 又∵∠CAD=∠BAC, AC AB ∴△ACD∽△ABC.∴ = , AD AC 即 AC =AD·AB. (2)易证△BCD∽△BAC, ∴ BC BD = , AB BC 2 2 即 BC =BD·AB. (3)易证△ADC∽△CDB, ∴ CD AD 2 = ,即 CD =AD·BD. BD CD

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