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第二章 函数、导数及其应用


六招破解函数最值及巧用数形结合妙解3类求参问题 一、六招破解函数最值问题 函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题,在 高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、 全面地掌握函数最值问题的解决方法,下面就其问题的常 用解法,分类浅析如下: 1.配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法,如函数F(x)= af(x)2+bf(x)+c(a≠0)的最值问题,可以考虑用配方法. [例1] 已知函数y=(ex-a)2+(e-x-a)2(a∈R,a≠0),求 函数y的最小值. [思路点拨] 化简后采用换元转化为二次函数的最值问 题,利用配方法解决. [解] y=(ex-a)2+(e-x-a)2=(ex+e-x)2-2a(ex+e-x)+ 2a2-2. 令t=ex+e-x,则f(t)=t2-2at+2a2-2. 因为t≥2,所以f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2的定 义域为[2,+∞). 因为抛物线y=f(t)的对称轴为t=a,所以当a≤2且a≠0时, ymin=f(2)=2(a-1)2; 当a>2时,ymin=f(a)=a2-2. [点评] 利用二次函数的性质求最值,要特别注意自变量的 取值范围,同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系.如本题 化为含参数的二次函数后,求解最值时要注意区分对称轴与定义 域的位置关系,然后再根据不同情况分类解决. 2.换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量,来替换原来的某 些变量(或代数式),以便使问题得以解决的一种数学方法.在学 习中,常常使用的换元法有两类,即代数换元和三角换元,我们 可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法,以便将复杂 的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解 决形如a2+b2=1及部分根式函数形式的最值问题. [例2] 设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是 ________. [思路点拨]由条件a2+2b2=6的形式知,可利用三角换元 法求a+b的最值. [解析] 因为a,b∈R,a2+2b2=6,所以令a= 6cos α, 2b= 6sin α,α∈R. 则a+b= 6cos α+ 3sin α=3sin(α+φ),所以a+b的最小 值是-3. 答案:-3 [点评] 在用换元法时,要特别注意换元后新元的取值范 围.如本题换元后中间变量α∈R,这是由条件a,b∈R得到的. 3、基本不等式法 基本不等式法是通过函数解析式的化简将其整理成两个式子 的和或积为定值,然后根据基本不等式求解函数最值的方法,即 当a>0,b>0时,若a+b为定值M,则两者的乘积ab存在最大值 M2 4 ;若ab为定值N,则两者的和存在最小值2 N.这种方法不但适 用于求解函数的最值,也适用于求解两个变量的式子的有关最 值.其基本步骤是: [例3] 1 4 函数f(x)=x+ (0<x<1)的最小值为________. 1-x [思路点拨] 通分 ―→ 换元 ―→ 化简 ―→ 找定值 ―→ 求定值 1-x+4x 3x+1 1 4 [解析] f(x)=x+ = = , 1-x x?1-x? -x2+x t-1 令t=3x+1,则x= 3 ,t∈(1,4), t t 9t f(x)变为g(t)= ? = 1 5 4 = -t2+5t-4 = t-1?2 t-1 -9t2+9t-9 ? + -? 3 ? 3 ? 9 , ? 4? -?t+ t ?+5 ? ? ? 4? 4 9 因为t∈(1,4),所以5>t+

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