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辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三第八次模拟考试数学(理)试题


东北育才学校高中部 2014——2015 学年度高三第八次模拟考试理科数学试题
使用时间:2015.5.18 命题人:高三数学备课组

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.集合 A ? x ? N 0 ? x ? 4 的真子集 个数为 ... A.3 B.4 C.7 D.8

?

?

2.已知 z 是复数 z 的共轭复数, z ? z ? z ? z ? 0 ,则复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是 A.圆 A. 3 A.10 3.已知向量 a ? 0 ,?2 3 , b ? 1 , 3 ,则向量 a 在 b 上的正射影的数量为 4.等差数列 ?an ? 中, a5 ? a6 ? 4 ,则 log2 (2 1 ? 2
a

?

B.椭圆

?

?

C.双曲线

?

D.抛物线

B. 3

C. ? 3

D. ? 3
a2

2a10 ) ?

B.20

C.40
x2 ? 2 x

D. 2 ? log2 5 C. ?2 ? x ? 0
3

5.已知 a > 1 , f ( x) ? a A. ?1 ? x ? 0
4 5

,则使 f ( x) ? 1 成立的一个充分不必要条件是 D. 0 ? x ? 1
9

B. ?2 ? x ? 1

6. (1 ? x) ? (1 ? x) ??? (1 ? x) 展开式中, x 项的系数为 A.120
2

B.119
2

C.210

D.209

7.已知双曲线

x y ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0) 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍,则 2 a b
B. x ? 2 y ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 0 D. 3x ? 4 y ? 0

其渐近线方程为 A. 2 x ? y ? 0

8.“五一”期间,三个家庭(每家均为一对夫妇和一个孩子)去“抚顺三块石国家森林公园”游玩, 在某一景区前合影留念,要求前排站三个小孩,后排为三对夫妇,则每对夫妇均相邻,且小孩恰与 自家父母排列的顺序一致的概率

1 1 1 C. D. 180 360 90 9.下列对于函数 f ( x) ? 3 ? cos 2 x, x ? (0,3? ) 的判断正确的是
A. B. A.函数 f ( x ) 的周期为 ? C. ?x0 ? (0,3? ) ,使 f ( x0 ) ? 4 B.对于 ?a ? R, 函数 f ( x ? a) 都不可能为偶函数 D.函数 f ( x ) 在区间 [

1 15

? 5?
2 , 4

] 内单调递增

·1 ·

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 10.若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 | x | ? y 的取值范围是 ? y ? ?1, ?
A. [?1,3] B. [1,11] C. [1,3] D. [?1,11] 11.直角梯形 ABCD ,满足 AB ? AD, CD ? AD, AB ? 2 AD ? 2 CD ? 2 ,现将其沿 AC 折叠成三棱 锥 D ? ABC ,当三棱锥 D ? ABC 体积取最大值时其外接球的体积为

4 ? C. 3? D. 4? 3 x 12. 设过曲线 f ? x ? ? ?e ? x ( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在过曲线
A. B.

3? 2

g ? x ? ? ax ? 2cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为
A. [?1, 2] B. (?1, 2) C. [?2,1] D. (?2,1)

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上 13.一个四棱柱的三视图如图所示, 则其表面积为_________

? 为坐标原点, 14.已知过定点 ? ? ?2,0 ? 的直线 l 与曲线 y ? 2 ? x2 相交于 A ,? 两点, 当 ????
的面积取到最大值时,直线 l 的倾斜角为 15.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7, a , b ,12,13.7,18.3,21,且总体的中

. 位数为 10,若要使该总体的方差最小,则 ab ? _______
16.若数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 2 , an ?1 ? an ? an , n ? N? ,且 bn ? ,P n ?b 1 ? b2 ????? bn 2 1 ? an
.

Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,则 2Pn ? S n =
17. (本小题满分 12 分)

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

·2 ·

在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin B ? 等比数列.

5 ,且 a, b, c 成 13

1 1 ? 的值; tan A tan C (Ⅱ)若 ac cos B ? 12, 求 a ? c 的值.
(Ⅰ)求 18. (本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中,已知 ?ABC ? 45?, O 在 AB 上,且 OB ? OC ?

2 AB , 又 PO ? 平面 3

ABC, DA// PO, DA ? AO ?

1 2

PO .

(Ⅰ)求证: PD ⊥平面 COD ; (Ⅱ)求二面角 B ? DC ? O 的余弦值.[来源:学优高考网]

19.(本题满分 12 分) 浑南“万达广场”五一期间举办“万达杯”投掷飞镖比赛.每 3 人组成一队,每人投掷一次.假 设飞镖每次都能投中靶面,且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功” (靶面正方形 ABCD 如图所示,其 中阴影区域的边界曲线近似为函数 y ? A sin x 的图像) .每 队有 3 人“成功”获一等奖,2 人“成功” 获二等奖,1 人“成功” 获三等奖,其他情况为鼓励奖(即四等奖) (其中任何两位队员“成功”与否互不影响) . ( ? )求某队员投掷一次“成功”的概率; ( ?? )设 X 为某队获奖等次,求随机变量 X 的分布列 及其期望.

20.(本题满分 12 分) x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ,曲线 C2 : ? 2 ? 1(0 ? ? ? 1) . 已知曲线 C1 : 4 4? 4? 4? 曲线 C2 的左顶点恰为曲线 C1 的左焦点. (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) 为曲线 C2 上一点,过点 P 作直线交曲线
y A

C1 于 A, C 两点. 直线
B P x C

OP 交曲线 C1 于 B, D 两点. 若 P 为 AC 中点,
① 求证:直线 AC 的方程为 x0 x ? 2 y0 y ? 2 ;
·3 ·

O D

② 求四边形 ABCD 的面积.

[:.]

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? x, a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)已知 a ? 0 ,对于函数 f ( x ) 图象上任意不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,其中 x2 ? x1 ,直 线 AB 的斜率为 k ,记 N (u , 0) ,若 AB ? ? AN (1 ? ? ? 2), 求证 f ' (u) ? k.

请考生在第 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为弧 BC 的中点,E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥ AB; (Ⅱ)求证:AC ? BC= 2AD ? CD.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直 角坐标系 xOy 中 ,以原点 O 为 极点,以 x 轴 正半轴为极 轴,圆 C 的极 坐标方程 为

? ? ? 4 2 cos(? ? ) x
4
(Ⅰ)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)过点 P (2, 0) 作斜率为 1 直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,试求

1 1 ? 的值. PA PB

24、 (本大题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)若 f ?x ? ? m 的解集为 ?? 1,5? ,求实数 a, m 的值; 已知函数 f ?x? ? x ? a

(Ⅱ)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ?x ? ? t ? f ?x ? 2?

·4 ·

东北育才学校高中部 2014——2015 学年度高三第八次模拟考试理科数学答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.D 7.C 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上 13. 16 ? 8 2 14. 30 15. 100 16.2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (1)依题意, b ? ac ,由正弦定理及 sin B ?
2

5 25 2 ,得 sin A sin C ? sin B ? . 13 169
………3 分 ………6 分

1 1 cos A cos C sin( A ? C ) sin B 13 ? ? ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin A sin C 5 (2)由 ac cos B ? 12 知, cos B ? 0 , 5 12 又 sin B ? ,? cos B ? 13 13 12 2 ? 13 从而 b ? ac ? cos B
又余弦定理,得 b ? (a ? c) ? 2ac ? 2ac cos B ,
2 2

………8 分 ………10 分

代入,解得 a ? c ? 3 7 . 18.解: (Ⅰ)设 OA ? 1, 则PO ? OB ? 2, DA ? 1 ,

………12 分

由 DA // PO, PO ? 平面 ABC ,知 DA ⊥平面 ABC ,? DA ? AO .从而 DO ? 2, PD ? 2 在 ?PDO 中 又

PO ? 2 ? ?PDO 为直角三角形,故 PD ? DO

………3 分

OC ? OB ? 2, ?ABC ? 45? ,? CO ? AB 又 PO ? 平面 ABC, AB ? O ,? CO ? 平面 PAB
…………6 分

? PO ? OC, PO, AB ? 平面 PAB, PO
故 CO ? PD . ∵ CO

DO ? O ∴ PD ? 平面 COD.

(Ⅱ)以 OC , OB, OP 所在射线分别为 x, y , z 轴,建立直角坐标系如图 则由(Ⅰ)知, C (2,0,0), B(0, 2,0), P(0,0, 2), D(0, ?1,1) ,

? PD ? (0, ?1, ?1), BC ? (2, ?2,0), BD ? (0, ?3,1)
·5 ·

由(Ⅰ)知 PD ? 平面 COD,? PD 是平面 DCO 的一个法向量, 设 平 面

B

D

的C









? ?n ? BC ? 0 ?2 x ? 2 y ? 0 , n ? ( x, y, z ),? ? ,? ? ? 3 y ? z ? 0 n ? BD ? 0 ? ? ?
令 y ? 1 ,则 x ? 1, z ? 3,?n ? (1,1,3) ,……10 分

?cos ? PD, n ??

PD ? n ?1 ? 3 2 22 ? ?? 11 | PD || n | 2 11
2 22 . ……12 分 11

由图可知,二面角 B ? DC ? O 的余弦值为

19.解: ( ? )由题意知: S 矩形 ? 10?10 ? 100,

S阴影 ? 2? 5 sin xdx ? 20 ………………………….2 分
0

π

记某队员投掷一次 “成功”事件为 A, 则 P( A) ?

S阴影 S 矩形

?

20 1 ? ……………………………………….4 分 100 5

( ?? )因为 X 为某队获奖等次,则 X 取值为 1、2、3、4.

1 1 1 12 ?1? 2?1? , P( X ? 2) ? C3 , P( X ? 1) ? C ? ? ? (1 ? ) 0 ? ? ? ? (1 ? ) ? 5 125 5 125 ?5? ?5?
3 3

3

2

1 48 1 3 64 ?1? 0? 1 ? , P( X ? 4) ? C3 …….9 分 P( X ? 3) ? C ? ? ? (1 ? ) 2 ? ? ? ? (1 ? ) ? 5 125 5 125 ?5? ?5?
1 3

1

0

即 X 分布列为:

X

1

2

3

4

P( X )

1 125

12 125

48 125

64 125

……10 分

1 12 48 64 17 ? 2? ? 3? ? 4? ? 125 125 125 125 5 1 20.解: (Ⅰ) 4? ? 4 ? 4? ? ? …….2 分 2
所以, X 的期望 EX ? 1 ? (Ⅱ)① 可得 B( 2x0 , 2 y0 ), D(? 2x0 , ? 2 y0 )

………12 分

·6 ·

由 kOP ? k AC ? ?

b2 1 ?? 2 a 2

AC : y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ? ?

x0 ( x ? x0 ) 即 x0 x ? 2 y0 y ? 2 2 y0
…….2 分

y0 ? 0, x0 ? ? 2 , lAC : x ? ? 2 符合 x0 x ? 2 y0 y ? 2
x0 1 ? x? ?y ? ? 2 y0 y0 ② 解法一:联立方程 ? ? x2 ? 2 y 2 ? 4 ?
2 即 2x2 ? 4x0 x ? 4 ? 8 y0 ?0
2 2 2 x0 x0 x0 2 2 2 x ? x ? 1 ? 4 x ? 8 ? 16 y ? 1 ? 8 y0 A C 0 0 2 2 2 4 y0 4 y0 4 y0

(1 ?

2 x0 2x 2 ) x 2 ? 20 x ? 2 ? 4 ? 0 2 2 y0 y0 y0

AC ? 1 ?

B, D 到 AC 距离 d1 ?
S?

2 2 ?2 x ? 4y
2 0 2 0

, d2 ?

2 2 ?2
2 2 x0 ? 4 y0

1 AC ? (d1 ? d 2 ) ? 4 2
当 y0 ? 0 时 ABCD 面积也为 4 …….12 分

② 解法二:

x0 1 ? x? ?y ? ? 2 y0 y0 联立方程 ? 2 2 ? x ? 2y ? 4 ?
即 2x ? 4x0 x ? 4 ? 8 y0 ? 0
2 2

(1 ?

2 x0 2x 2 ) x 2 ? 20 x ? 2 ? 4 ? 0 2 2 y0 y0 y0

2 2 x0 x0 2 2 AC ? 1 ? 2 x A ? xC ? 1 ? 2 4 x0 ? 8 ? 16 y0 4 y0 4 y0 2 x0 2 8 y0 2 4 y0

? 1?



O 到 AC 距离 d ?

2
2 2 x0 ? 4 y0

SABCD ? 2 2S?AOC ? 4
当 y0 ? 0 时 ABCD 面积也为 4
·7 ·

…….2 分

② 解法三: P( x0 , y0 ), B( 2x0 , 2 y0 ), D(? 2x0 , ? 2 y0 )
2 2 BD ? 2 2 x0 ? y0 , A( x1 , y1 ) , lBD : y0 x ? x0 y ? 0

A 到 BD 的距离为 d ?

y0 x1 ? x0 y1
2 2 x0 ? y0



2 2 又 x0 x1 ? 2 y0 y1 ? 2, x0 ? 2 y0 ? 2, x12 ? 2 y12 ? 4 ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 ? ( x0 ? 2 y0 )( x12 ? 2 y12 ) ? x0 x1 ? 2 y12 x0 ? 2 y0 x1 ? 4 y0 y1

? ( x0 x1 ? 2 y0 y1 )2 ? 2( x0 y1 ? y0 x1 ) 2 ? 4 ? 2( x0 y1 ? y0 x1 ) 2
则 y0 x1 ? x0 y1 ? 2 . 又 P 为 AC 中点, 则 S ? 2?

y x ?x y 1 2 2 ? d ? BD ? 0 1 0 1 ? 2 2 x0 ? y0 ? 4. 2 2 2 x0 ? y0

…….2 分

21.解; f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

f '( x) ?

1 2ax 2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1 ? x x

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, f ( x ) 在定义域内单调递增;

当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0, 解得, x ?

?1 ? 1 ? 8a (舍负) 4a

则 x ? (0,

?1 ? 1 ? 8a ) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 4a

x?(

?1 ? 1 ? 8a , ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 4a

综上, a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ;

a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (0,

?1 ? 1 ? 8a ), 4a
…….5 分

f ( x) 的单调递增区间为 (

?1 ? 1 ? 8a , ??) 4a
·8 ·

(2)证明: k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ax2 2 ? x2 ? ln x1 ? ax12 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1
? ln x2 ? ln x1 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 x 2 ? x1

N (u,0), A( x1, y2 ), B( x2 , y2 ), AB ? ? AN (1 ? ? ? 2)
? x2 ? x1 ? ? (u ? x1 ),? u ?
又 f '( x) ?

x2 ? (? ? 1) x1

?



1 x ? (? ? 1) x1 ? ? 2ax ? 1 ,? f '(u ) ? ? 2a 2 ?1 x x2 ? (? ? 1) x 1 ?

? f '(u ) ? k ?

ln x2 ? ln x1 a ? ? ? (2 ? ? )( x2 ? x1 ) x2 ? (? ? 1) x 1 x 2 ? x1 ?

a a ? 0, x2 ? x1 ,1 ? ? ? 2,? (2 ? ? )( x2 ? x1 ) ? 0

?

要证: f ' (u) ? k. ,只需证

ln x2 ? ln x1 ? ? ?0 x2 ? (? ? 1) x 1 x 2 ? x1

即证:

? ( x2 ? x1 ) x ? (ln x2 ? ln x1 ) ? 0 ,设 t ? 2 ? 1 x2 ? (? ? 1) x 1 x1
? (t ? 1) ?t 2 ? (? 2 ? 2? ? 2)t ? (? ? 1)2 ? ln t , 则 g '(t ) ? , t ? ? ?1 (t ? ? ? 1)2 t
2 2 2

令 g (t ) ?

令 h(t ) ? ?t ? (? ? 2? ? 2)t ? (? ?1) , t ? 1,1 ? ? ? 2 对称轴 t ?

(? ? 1) 2 ? 1 ? 1. 2

h(t ) ? h(1) ? 0, ? g '(t ) ? 0 ,故 g (t ) 在 (1, ??) 内单调递减,则 g (t ) ? g (1) ? 0, 故 f ' (u) ? k .
…….12 分 22.解: (Ⅰ)连接 BD ,因为 D 为弧 BC 的中点, 所以 BD ? DC . 因为 E 为 BC 的中点,所以 DE ? BC . 因为 AC 为圆的直径,所以 ?ABC ? 90? , 所以 AB // DE . ?5 分 (Ⅱ)因为 D 为弧 BC 的中点,所以 ?BAD ? ?DAC , 又 ?BAD ? ?DCB ,则 ?BCD ? ?DAC . 又因为 AD ? DC ,DE ? CE , 所以 ?DAC ∽ ?ECD .
·9 ·

所以

AC AD ? , AD ? CD ? AC ? CE ,? 2 AD ? CD ? AC ? BC . CD CE
B D E A O C

?10 分

24.(1)因为 x ? a ? m 所以 a ? m ? x ? a ? m

?a ? m ? ?1 ? a ? 2, m ? 3 -------------5 分 ? ?a ? m ? 5
(2) a ? 2 时等价于 x ? 2 ? t ? x
[:.]

当 x ? 2, x ? 2 ? t ? x,? 0 ? t ? 2 所以舍去 当 0 ? x ? 2,2 ? x ? t ? x,? 0 ? x ? 当 x ? 0,2 ? x ? t ? ? x 成立 所以,原不等式解集是 ? ? ?,

t?2 , 成立 2

? ?

t ? 2? -----------10 分 2 ? ?

·10·



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