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面对高考高一数学同步辅导教材


高一数学同步辅导教材 主讲:潘慰高(特级教师,省教育电视台《高中数学解题方法》主讲教师) 主审:金立建(特级教师,省教育电视台《高中生学习指导》主讲教师) 一、本讲教学进度 1.5(P23-24) 二、本讲内容 1.一元二次不等式 > 和 < 的解法.

2.可化为一元一次不等式组的分式不等式. 3.二次函数在给定范围内的最值. 三、重点、难点选讲 重点、 1.一元二次不等式 ⑴因一元二次方程 > 和 的两个根是 < ,故有 的解法.

一元二次不等式 一元二次不等式

>

,( ,(

<

)的解集为

<

,或

>

.

<

<

)的解集为

<

<

.

⑵引用上述结论时,必须注意不等式右边为零,两个括号中 例1 ⑴ 解不等式: ≤ ;

的系数为 1 的条件.

⑵ ⑶ 解:⑴原不等式即 整理得

>

; ≤

. ≤ ≥ , ,



.

∴不等式的解集为 ⑵∵ ∴由 ≥



,或



.

, ,得 不是原不等式的解.

当 即

,得 ,

>



<

<

< .

∴原不等式的解集为

<

< ,且

.

⑶∵ ∴原不等式与 ≤

>

,

同解,

∴原不等式的解集为 评析 第⑵题中,因 除去. ≥





. 是否满足不等式,就可以在原不等式中将

,故只需考虑

例2

解关于

的不等式:

>



,

R).

解:原不等式可化为

<

.

.



>

时,

>

,∴不等式的解集是

<

<

.

⑵当

时,

,∴不等式的解集是

.

⑶当

<

<

时,

<

,∴不等式的解集是

.

⑷当

<

<

时,

>

,∴不等式的解集是

⑸当

时,

,∴不等式的解集是

.

⑹当

<

时,

<

,∴不等式的解集是.

2.可化为一元一次不等式组的分式不等式

⑴不等式

>

与二次不等式

>

同解;不等式

<

与二次不等式

<

同解.

⑵不等式



的解集是不等式

>

的解集与集合

的并集; 不等式

≤ 例3

的解集是不等式 解不等式:

<

的解集与集合

的并集.











.

解:(1)原不等式等价于 ∴不等式的解集是



.

=

(2)原不等式等价于 ∴不等式的解集是

.

评析: 评析:对带有等号的不等式求解,可以在相应的不含等号的不等式的解集中,增加使分子等于零的值,就 得到所求解集.

例 4:求不等式

的解集.

① 解:不等式与不等式组 , ②

等价.

由①,

,



由②,





.

∴原不等式的解集是

评析: 评析:(1)解 只能采用移项、通分的方法求解.

时,因不能确定

的符号,所以不能把不等式两边同乘以

而去分母,

(2)本题也可以分两种情况考虑,①若

>0,则-1<

恒成立,由

2,

.②若

<0,



2 恒成立.∵-

>0,∴将-1<

两边同乘以-

.得

<-1,由①、②可得原不等式的解集是

< 例5

,或



. , ,

已知集合

且,

.求实数 a,b 的值.

解:由已知,得

,

.

由A

,从数轴可得集合 B



和2是

的实数根.

3. 二次函数在给定范围内的最值 由图像可以看出,二次函数当相应的抛物线开口向上时,在抛物线顶点处二次函数取得最小值,但无 最大值;当抛物线开口向下时,在抛物线顶点处二次函数取得最大值,但无最小值. 如果将二次函数的自变量限制在某个范围内,则相应的图象仅是抛物线的一部分,这时函数可能既有 最大值,又有最小值 例 6 (1) 当 (2) 当 (3) 当 已知函数 的最大值、最小值 ; 的最大值、最小值 ; 的最大值、最小值 ; ,

时,求 时,求 时,求

解:函数即 (1)当 由图象知, 当 时, 时,

,抛物线的对称轴为直线

.

当 (2)当

时, 时,

由图象知, 当 时,

当 (3)当 由图象知, 当

时, 时,

时,



时,

评析 (1)此类问题通常根据题设条件画出函数的图象,并由图象求解. (2)一般情况下,需要说明当 x 取什么值时, 函数取大或最小值.

例7 (1) 当 (2) 当

已知函数 时, 函数的最值; 时, 函数的最值;

求:

解:函数即 (1) 当 由图象知, 当 时, 时,

抛物线和对称轴为直线

函数无最大值. (2) 当 由图象知, 时,



时,

函数无最大值.

评析 (1)最大值、最小值统称最值. (2)根据题设条件画图象时,要注意表示 x 范围 的不等式中是否包含等号.当含等号时,相应的端 点在图象上应画实圈;不含等号时,相应的端点不在图象上,应画空圈. 例8 求函数 令 的最小值。 则

解:由题设,知

由图象知, 当 即 时,

例9

关于

的方程

有两个实根

(1) 求 k 的取值范围; (2) 设 求 关于 k 的函数解析式,以及这个函数的最大值和最小值。

解:(1)由题意得 整理得

(2)由韦达定理,



由图像可知,当

时,





时,

.

例 10

已知函数

,在

内有最大值-5,求实数

值.

解:函数变形为

.下面根据

的不同情况进行讨论.

(1)当



时,由图(1)知,



时,

取最大值





(2) 当



时,由图(2)知,



时,

取最大值



(3) 当



时,由图(3)知,

当 令

时,

取最大值

(舍去),

∴由上知,



评析 对

分情况讨论的根据是



的关系。

练 ; 一、 选择题 1.不等式 的解集是( )



A.

C. 2.不等式(x-4)(x+2) 的解集是 ( )

D

A.

B.

C.

D

3. 不等式

的解集是(



A.

B

C.

D

4.不等式

的解集是





A.

B

C. 时,若函数

D 的最大值为 M,最小值为 N,则( )

5.当

A.M=7,N=6 C. M=7,N=-2 6.已知函数 A.当 B. 当 C. 当 D. 当 二、填空题 时, 时, 有最大值 3 时, 有最小值-15

B.M=6,N=-2 D.M=-6,N=-7 则下列结论中不正确的是 ( )

无最大值也无最小值 时,函数有最小值-5

7.不等式

的解集是____________________________.

8.不等式

的解集是____________________________.

9.设集合 A= 围是_____________. 10.10.当 三、解答题 时,函

则实数

的取值范

数有最小值-2,则 t= ______________.

11.解不等式:

12.设集合 A= 若 实数 a 的取值范围。

13.关于 x 的不等式 14.关于 x 的方程 (1) 实数 q 关于 p 的函数表达式; (2) 这个函数的最大值和最小值.

对一切 x 恒成立,求 k 的取值范围. 的两个实数 ,满足 求:

答案与提示 【答案】 一、 1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 6.D

二、 7. 9. 10.

8.

三、11.解集为 12. 13. ≤ ≤

,或



14.⑴





⑵当 【提示】



;当



一、4. ,当 , ;当 ,

5.

6.

二、7.





8.





,且



,解集是





,且

9. 10. ⑴当 ≤ ≤ 时,

,由数轴及 ≤ 的最小值 ≤

可知

,抛物线的对称轴为直线

. ∴

.

⑵当

,由图像知,

时,

(不合).



三、11.







,∴解集是

,或



12.



,∴

.

当 由 知, ≤

.当 ≤ .

,当

.

13.原不等式即-

.

∵ ∴原不等式等价于



不等式组

, 即

① ②

.

由①对

R 恒成立,





. 由②对 ∴ R 恒成立, , ,

.

的取值范围是

.

14. (1)由韦达定理,

. ,



,∴



.∵



为实根,∴











≤2,













.

(2)当

时,

;当

时,

In the modern time, mainly in small and medium-sized enterprises, Foshan steel industry is the speed development by leaps and bounds, and have made remarkable achievements in upstream, but also face factors of production such as energy, raw material cost, continuously high indirectly lead to cost pressures in iron and steel


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