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椭圆的第二定义课件第二课时_图文

焦半径公式及其应用

椭圆的第二定义
复习

椭圆的第二定义 平面内到定点F的距离与到定直线 l

之比是一个常数e的点的轨迹

c ? ???M ??

MF dM ?l

? e??? ??

当 0?e?1 时,是以F为一个焦点的椭圆,

的距离

常数e是它的离心率,定直线 l 是相应于焦点F的准线。

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椭圆的第二定义

椭圆

x2 a2

?

y2 b2

?1

的中心在原点,相应于焦点 F (c, 0)

的准线 l : x ? a 2

a2 ,

?

a

是中心到准线的距离。

c

ce

a2 相应于焦点 F(?c,0) 的准线 l1 : x ? ? c 。

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椭圆的第二定义
想一想

1.椭圆

y2 a2

?

x2 b2

? 1 的准线方程是________________。

2.方程 (x?2)2?(y?2)2?3x?4y?8表示什么曲线? 25

x2 3 . 椭圆2 5

? y2 16

?1

上一点M 到左焦点的距离是

3, 求它到右准线的距离。

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椭圆的第二定义

例1.

x2 设 M (x0 , y0 ) 是椭圆 a 2

?

y2 b2

? 1上的一点,e ?

c a



F1(?c, 0) F2 ( c , 0 ) 记r1 ? MF1 r2 ? MF2

求证: r1 ? a?ex0 , r2 ?a?ex0 。

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椭圆的第二定义

解:椭圆的左右准线 l1

:

x

?

?

a2 c

l2

:

x

?

a2 c

dM?l1

?

x0

?a2 c

?

a2 c

?x0

a2 a2 dM?l2 ? x0 ? c ? c ?x0

根据椭圆的第二定义 r1 ? r2 ? e

dM ?l1

dM ?l2

??????rr12

?edM?l1 ?edM?l2

?a?ex0 ?a?ex0

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椭圆的第二定义

椭圆

x2 a 2+

y2 b2

=1上的点P与其两焦点

F1、F2的连线段分别叫做椭圆的左

焦半径和右焦半径,统称“焦半径”。

|PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0
思考:焦点在Y轴上的焦半径公式呢?
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椭圆的第二定义
焦点在y轴上时,

y

N

M

设 P(x0,y0) 是椭圆上的点,

F1 o

x

则:焦半径公式为:
|PF1|=a +ey0, |PF2|=a-ey0

y=a2/c y M
F2? ? P
ox

F1 ? y=-a2/c
N 西沱中学 tjj

椭圆的第二定义
<例2>
(1).点P为椭圆上动点,F为它的一个焦点, 则:|PF|的最大值为___,最小值为____

x2 y2

(2).椭圆 a 2 + b 2 =1(a>b>0)上一横坐标为3的点

P到两焦点的距离分别为3.5和6.5 ,

则:椭圆的标准方程为______ x 2 ? y 2 ? 1 25 75

x2 y2

4

(3).P为椭圆 4 + 3 =1上动点,则:|PF1|.|PF2|的

的最大值为______,最小值为____

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椭圆的第二定义 例3.如图,一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其 对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭 圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦 点F2上,由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后 集中到另一个焦点F2.已知BC ⊥F1F2,|F1B|=2.8 cm,|F1F2|=4.5 cm.试建立适当的坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程(精确到 0.1cm).
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椭圆的第二定义

例4. 已知 A (1, 1)
圆 5x2 ?9y2 ?45

的左右焦点,F,1 ,F

是椭
2

M是椭圆上的一点。

(1) 求 MA ? MF2 的范围 Y

(2)求

3MF1 ?2MA

的最小值
M

A

F1 O

F2

X

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椭圆的第二定义

(1) 求 MA ? MF2 的范围

解:椭圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 a?3,b? 5,c?2

e?

2 3

95
F1(?2,0) F2 ( 2 , 0 )

l1

:

x

?

?

p 2

l2 : x ?

p 2

( 1)MF1?MF2 ?6?MF2 ?6?MF1

M A ?M F 2? 6?M A ?M F 1 M

A

MA?MF1 ? AF1 ? 10

?? 10? MA?MF1 ? 10

F1 O

F2

即 6?1 0?M A ?M F 2?6?1 0

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椭圆的第二定义

2)求 3MF1 ?2MA 的最小值
( 2 )M F 1 ?edM ?l1 ?2 3dM ?l1
? 3 M F 1 ? 2 M A ? 2 ( d M ? l 1 ? M A ) ? 2 d A ? l 1 ? 1 1

Y
?3MF1 ?2MA

的最小值是11

M

A

F1 O F2

X

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椭圆的第二定义

1. 过椭圆左焦点F 倾斜角为60O的直线交椭圆于A ,B
两点, FA ? 2 FB,求椭圆的离心率。

x2 2 .已知椭圆 9

?

y2

? 1 过左焦点 F

作倾斜角为

30O的直线交椭圆于 A ,B ,求弦A B 的长。

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椭圆的第二定义
2解: a?3,b?1,c?2 2 F(?2 2,0)

直线AB:y? 3(x?2 2)

3

,

? ??y?

3(x?2 3

??x2 ??9

?y2

?1

2) ?4x2 ?12

2x?15?0

??48?0

设 A(x1,y1)B(x2,y2) x1?x2 ??3 2

x1 x 2

?

15 4

?AB? 1?1 3x1?x2 ? ?2 西沱中学 tjj

椭圆的第二定义
小结

椭圆x 2 ? y 2 ? 1 a2 b2

上一点 P(x0 , y0 ) 焦点 F1(?c, 0) F 2 ( c , 0 )



离心率 e ? c a

准线l1

:

x

?

?

a2 c

l2

:x

?

a2 c

dP?l1

?

x0

?a2 c

? a2 c

?x0

a2 dP?l2 ? c ? x0

两 焦 半 径 r1?PF 1 r2 ? PF2

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椭圆的第二定义

(1)r1?r2 ?2a
(2) r1 ? r2

e? c a
?e

?

F1 F2 r1 ? r2

N1

P

d d P?l1

P?l2

K1 A1 F1

??????rr12

?edP?l1 ?edP?l2

?a?ex0 ?a?ex0

( 3 ) a?c?r1,r2?a?c

y
B2
N2

O

F2 A2 K2 x

B1

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椭圆的第二定义

1. 若椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的准线方程 5m

x

?

?

52 2

求m,

并写出这个椭圆的心率和焦点坐标。

2. 已知 A(?2, 3) F 为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的右焦点,点 16 12
M 在该椭圆上,求 MA?2 MF 的最小值并求此时点
M的坐标。

3

点M在椭圆x 2
45

?

y2 20

,? 1 F1,F2是其左右焦点,

P,F1 ?PF2

求 PF1 ? PF2



4. P103 习题8.2 9 ,10

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椭圆的第二定义 二次函数的最值
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