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2013年广东高考理科数学试题及答案精美word版


绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、 座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑, 用 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区 域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、 错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:台体的体积公式 V ? 积, h 表示台体的高 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
2 1.设集合 M ? x x ? 2 x ? 0, x ? R

1 ( S1 ? S 2 ? S1S 2 )h ,其中 S1 ,S2 分别表示台体的上、下底面 3

?

?

N ? x x 2 ? 2 x ? 0, x ? R ,则 M ? N ? (
C. ?? 2,0? D. ?? 2,0,2?

?

?



A. ?0?

B. ?0,2?

3 x 2 2. 定义域为 R 的四个函数 y ? x ,y ? 2 ,y ? x ? 1 ,y ? 2 sin x 中, 奇函数的个数是 (



A.4

B.3

C.2

D.1 )

3.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是( A. ( 2,4) B. (2,?4) C. (4,?2) D. ( 4,2)

4.已知离散型随机变量 X 的分布列为

X
P
则 X 的数学期望 E (X ) ? ( A. ) C.

1

2

3

3 5

3 10

1 10

3 2

B.2

5 2

D.3

数学(理科)试卷 A 第 1 页(共 8 页)

5.某四棱台的三视图如图 1 所示,则该四棱台的体积是(



正视图

侧视图

A.4

B.

14 3
俯视图 图1 )

C.

16 3

D.6

6.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是( A.若 ? ? ?,m ? ?,n ? ?,则 m ? n C.若 m ? n,m ? ?,n ? ?,则 ? ? ?

B.若 ?∥?,m ? ?,n ? ?, m∥ n 则 D.若 m ? ?,m∥n,n∥?, ? ? ? 则

7.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F (3,0) 离心率等于 A.

x2 y2 ? ?1 4 5

B.

x2 y2 ? ?1 4 5

3 ,则 C 的方程是( 2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 C. D. ? ?1 2 5 2 5



8.设整数 n ? 4 ,集合 X ? ? ,2,3,?, n?令集合 1

S ? ?( x, y, z ) x, y, z ? X , 且三条件x ? y ? z , y ? z ? x, z ? x ? y恰有一个成立? ,
若 ( x, y, z )和( z, w, x) 都在 S 中,则下列选项正确的是( A. ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S C. ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S (一)必做题(9-13 题) 9.不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解集为
2



B. ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S D. ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S
开始

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.



10.若曲线 y ? kx ? ln x 在点 (1, k ) 处的切线平行于

输入 n i ?1,s ?1 否 i≤n 是 s ? s +(i ? 1) i?i ? 1 输出 s

x 轴,则 k ?
则输出 s 的值为



11.执行图 2 所示的流程框图,若输入 n 的值为 4, .

结束 图2

数学(理科)试卷 A 第 2 页(共 8 页)

12.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ?



?x ? 4 y ? 4 ? 13.给定区域 D : ? x ? y ? 4 ,令点集 ? x?0 ?
T ? ?( x0 , y0 ) ? D x0 , y0 ? Z , ( x0 , y0 )是z ? x ? y在D上取得最大值或最小值的点? ,则 T 中的
点共确定 条不同的直线.

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cost ? y ? 2 sin t
A

(t为参数) , C 在点

(1,1) 处的切线为 l ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方
程为 . E D O C

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D,使 BC ? CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E,若 AB ? 6,DE ? 2,则 BC ? . B 图3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 f (?

2 cos( x ?

?
12

), x ? R

?
6

) 的值;
3 3? ? ,? ? ( , 2? ) ,求 f (2? ? ) 5 2 3

(2)若 cos ? ?

17. (本小题满分 12 分) 某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数 的茎叶图如图 4 所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值;

1 79 2 015 3 0 图4

(2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中 有几名优秀工人? (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率.
数学(理科)试卷 A 第 3 页(共 8 页)

18. (本小题满分 14 分) 如图 5,在等腰直角三角形 ABC 中,∠A ? 90? , BC ? 6 ,D,E 分别是 AC,AB 上的 点, CD ? BE ? 2 ,O 为 BC 的中点.将△ADE 沿 DE 折起,得到如图 6 所示的四棱椎

A '? BCDE ,其中 A ' O ? 3
O C D E O C D A 图5 (1)证明: A ' O ? 平面 BCDE ; (2)求二面角 A '? CD ? B 平面角的余弦值. 19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , (1)求 a2 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有 20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F (0, c)(c ? 0) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 设 P 为直线 l 上的点,过点 P 做抛物线 C 的两条切线 PA , PB ,其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P( x0 , y0 ) 为直线 l 上的定点时,求直线 AB ; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求 | AF | ? | BF | 的最小值 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ( x ?1)e ? kx (k ? R)
x 2

A'
B

B E 图6

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N * . n 3 3

1 1 1 7 ? ? ??? ? ? . a1 a2 an 4

3 2 , 2

(1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 k ? ( ,1] 时,求函数 f ( x ) 在 [0, k ] 上的最大值 M
数学(理科)试卷 A 第 4 页(共 8 页)

1 2

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案 数学(理科)
一、选择题 1-5.DCCAB 二、填空题 9.(-2,1) 10.-1 三、解答题 6-8.DBB 11.7 12.20 13.6

? 14. ?sin (? ? ) ? 2 4

15. 2 3

? ? ? ? 2 16. (1)由题意 f (? ) ? 2 cos(? ? ) ? 2 cos(? ) ? 2 ? ?1 6 6 12 4 2 3 3? 4 (2)∵ cos ? ? , ? ? ( ,2? ) ,∴ sin? ? - . 5 5 2 3 7 4 3 24 ∴ cos 2? ? 2 cos 2 ? -1 ? 2 ? ( ) 2 ? 1 ? ? , sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ? (? ) ? ? ? 5 25 5 5 25 ? ? ? ? ? ? ∴ f (2? ? ) ? 2 cos( 2? ? ? ) ? 2 cos( 2? ? ) ? 2 (cos 2? cos ? sin 2? sin ) 3 3 12 4 4 4 2 2 7 24 17 . ? 2( cos 2? ? sin 2? ) ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? (? ) ? 2 2 25 25 25 17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 ? 22 . 17. (1)样本均值为 x ? 6 2 1 (2)根据题意,抽取的 6 名员工中优秀员工有 2 人,优秀员工所占比例为 ? , 6 3 1 故 12 名员工中优秀员工人数为 ? 12 ? 4 (人) . 3 (3)记事件 A 为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工” , 由于优秀员工 4 人,非优秀员工为 8 人,故 C 1 C 1 4 ? 8 16 事件 A 发生的概率为 P( A) ? 4 2 8 ? ? , 66 33 C12 16 即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为 . 33 18. (1)折叠前连接 OA 交 DE 于 F, ∵折叠前△ABC 为等腰直角三角形,且斜边 BC=6, 所以 OA⊥BC,OA=3,AC=BC= 3 2 又 CD ? BE ? 2 ∴BC∥DE, AD ? AE ? 2 2 ∴OA⊥DE, AD ? AE ? 2 2 ∴AF=2,OF=1 折叠后 DE⊥OF,DE⊥A′F,OF∩A′F=F ∴DE⊥面 A′OF,又 A?O ? 面A?OF ∴DE⊥A′O
数学(理科)试卷 A 第 5 页(共 8 页)

又 A′F=2,OF=1,A′O= 3 ∴△A′OF 为直角三角形,且∠A′OF=90° ∴A′O⊥OF, 又 DE ? 面BCDE , OF ? 面BCDE ,且 DE∩OF=F, ∴A′O⊥面 BCDE. (2)过 O 做 OH⊥交 CD 的延长线于 H,连接 A?H ,
2 3 2 3 2 2 30 2 2 2 AO= , A?H ? A?O ? OH ? ( 2 ) ? ( 3) ? 2 2 2 OH 3 2 15 ∵∠A′HO 即为二面角 A? ? CD ? B 的平面角,故 cos∠A′HO= . ? ? A?H 5 30 2S 1 2 1 2 19. (1)令 n ? a n ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N * 中 n=1 得 2a1 ? a 2 ? ? 1 ? , ∴ a 2 ? 2a1 ? 2 ? 4 3 3 n 3 3 2S n nan ?1 1 3 2 2 na 1 2 1 ? a n ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N * ;得 S n ? ? n ? n ? n ? n ?1 ? n(n ? 1)(n ? 2) (2)由 n 3 3 2 6 3 2 6 (n ? 1)a n ? 2 1 ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ∴ S n ?1 ? 2 6 (n ? 1)a n ? 2 nan ?1 1 ? ? (n ? 1)(n ? 2) 两式相减得 S n ?1 ? S n ? 2 2 2 (n ? 1)a n ? 2 nan ?1 1 ? ? (n ? 1)(n ? 2) ∴ a n ?1 ? 2 2 2 (n ? 1)a n ? 2 (n ? 2)a n ?1 1 ? ? (n ? 1)(n ? 2) ∴ 2 2 2 a a a a ∴ n ? 2 ? n ?1 ? 1 ,∴ n ? 2 ? n ?1 ? 1 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 a a a a 又由(1)知 1 ? 1, 2 ? 2, 2 ? 1 ? 1 1 2 2 1

∴OH=

∴ ? an ?是以 为首相, ∴a 1 1为公差的等差数列, n ? n . ? ?
?n? ∴ an ? n 2 (n ? N * ) .
n

(3)∵

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 2 n n ? 1 (n ? 1)(n ? 1) 2 n ? 1 n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) a1 a 2 a3 an 2 3 2 2 4 2 n ?1 n ? 1 2 3 n 1 1 1 1 7 1 1 1 7 ? 1 ? (1 ? ? ? )? ? ( ? )? 2 2 n n ?1 4 2 n n ?1 4
?c?2 2 ? 3 2 , c ? 0 ,∴ c ? 1 . 2

20. (1)依题意得

∴抛物线焦点坐标为(0,1) ,抛物线解析式为 x2=4y 2 x2 x2 x ? x2 x12 ? x2 , ) (2)设 A(x1, 1 ) (x2, 2 ) ,B ,∴可设 A 、B 中点坐标为 M ( 1 4 4 2 8
数学(理科)试卷 A 第 6 页(共 8 页)

x1 x2 x x2 ( x ? x1 ) ? 1 ? 1 x ? 1 , 2 4 2 4 2 2 x x x x 直线 PB: y ? 2 ( x ? x2 ) ? 2 ? 2 x ? 2 2 4 2 4 2 2 x ? x2 x x x ? x2 x ? x2 x? 2 ? 1 ? 1 (x ? 1 ) 两式相减得 0 ? 1 2 4 4 2 2 x ? x2 x ? x2 ? 0,x? 1 ?0 ∵ x1 ? x 2 ,∴ 1 2 2 x ? x2 ∴ x0 ? 1 , ∴ x1 ? x2 ? 2x0 2 x x2 x x ? x 2 x12 x1 x 2 ? ? 将 P( x0 , x0 -2)带入 PA: y ? 1 x ? 1 得 x0 ? 2 ? 1 1 2 4 2 2 4 4 ∴ x1 x2 ? 4 x0 ? 8

所以直线 PA: y ?

2 2 2 x12 ? x2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 4 x0 ? 8 x0 ? 16 x0 ? 2 x0 ? 4 ? ? ? 8 8 8 2 2 x ? 2 x0 ? 4 ∴A 、B 中点坐标为 M( x0 , 0 ) 2 x 2 ? x12 x ? x 2 x0 ∴直线 AB 的斜率 k AB ? 2 ? 1 ? 4( x2 ? x1 ) 4 2



x0 x 2 ? 2 x0 ? 4 x0 ( x ? x0 ) ? 0 ? x ? x0 ? 2 . 2 2 2 (3)由于 A 点到焦点 F 的距离等于 A 点到准线 y=-1 的距离, 2 x12 x2 ? 1 ,|BF|= ?1 ∴|AF|= 4 4 2 x2 x2 xx x 2 ? x2 2 AF ? BF ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? ( 1 2 ) 2 ? 1 ? 1 ? ( x0 ? 2) 2 ? x0 ? 2 x0 ? 4 ? 1 4 4 4 4 3 9 2 ? 2 x0 ? 6 x0 ? 9 ? 2( x0 ? ) 2 ? 2 2 3 9 ∴当 x 0 ? 时, AF ? BF 取最小值 . 2 2 x 2 21. (1)k=1 时 f ( x) ? ( x ?1)e ? x ∴ f ?( x) ? e x ? ( x ? 1)e x ? 2x ? x(e x ? 2)

故直线 AB 的方程为 y ?

当 x<0 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e x ? 2) ? 0 , f (x) 单调递增; 0< x<ln2 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e x ? 2) ? 0 , f (x) 单调递减; x>ln2 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e x ? 2) ? 0 , f (x) 单调递增; 综上, f (x) 的单调增区间为 (??,0) 和 (ln 2,??) ,单调减区间为 (0, ln 2) . (2) f ?( x) ? e x ? ( x ? 1)e x ? 2kx ? x(e x ? 2k ) 1 ∵ ? k ? 1 ,∴ 1 ? 2k ? 2 2
数学(理科)试卷 A 第 7 页(共 8 页)

由(1)可知 f (x) 的在(0,ln2k)上单调递减,在(ln2k,+∞)上单调递增 1 设 g ( x) ? x ? ln 2 x, ? x ? 1) ( 2 2 1 则 g ?( x) ? 1 ? ? 1? 2x x 1 1 1 ∵ ? x ? 1 ,∴ 1 ? ? 2 ,∴ ? 1 ? 1 ? ? 0 2 x x 1 ? ? ∴ g ( x) ? x ? ln 2 x 在 ? , 上单调递减. 1? ?2 ? 1 ∵ ? k ? 1 , ∴ g (k ) ? g (1) ? 1 ? ln 2 ? 0 2 k ? ln 2k ? 0 即 k ? ln 2k ∴ ∴ f (x) 的在(0,ln2k)上单调递减,在(ln2k,k)上单调递增. ∴ f (x) 的在[0,k]上的最大值应在端点处取得. 而 f (0) ? ?1 , f (k ) ? (k ? 1)e k ? 2k 3 ? f (1) ? ?1 ∴当 x=0 时 f (x) 取最大值 ? 1 .

数学(理科)试卷 A 第 8 页(共 8 页)


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