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椭圆及其标准方程参赛课件


人教版普通高级中学教科书 (必修)第二册(上) §8.1 椭圆及其标准方程

流程: 一、教材分析 三、学法指导 五、板书设计 二、教学方法 四、教学程序 六、教学评价

一. 教学背景分析
1.1教材地位分析
本节课是对前面所学的运用坐标法研 究几何问题的又一次实际演练,同时它也

是进一步研究椭圆几何性质的基础 ;为
进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模

式和理论基础.

1.2、教学目标 知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,通过对
椭圆标准方程的探求,熟悉求曲线方程的一般方法。

能力目标:

通过自我探究、操作、数学思想(待定 系数 法)的运用等,从而提高学生实际动手、作学习 以及运用知识解决实际问题的能力。

情感目标: 在教学中充分揭示“数”与“形”的内
在联系,体会形数美的统一,激发学生学习数学的兴 趣,培养学生勇于探索,勇于创新的精神。

1.3 教学重点和难点
? 重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程
? 难点:推导椭圆的标准方程 ? 关键:含有两个根式的等式化简

1.4、教材处理
(分2课时教学)
第一课时:椭圆的定义及标准方程的推导 第二课时:运用椭圆的定义求曲线的轨迹方程

二.教学策略
? 2.1教学方法与学法设计: “引导探究式教学”

? 2.2教学手段设计: 多媒体

2.1学法指导
本节课给学生提供以下四种机会: 1.提供观察、思考的机会; 2.提供操作、尝试、合作的机会; 3.提供表达、交流的机会; 4.提供成功的机会.

2.2 教学媒体设计
采用多媒体辅助教学与运用自制教 具相结合的设计方案.实现多媒体快捷、 形象、大容量的优势与自制教具直观、 实用的优势的结合.

三.教学过程设计
3.1 复习引入阶段 设计意图:激活学生已有的认知 结构;为本课推导椭圆的标准方 程提供了方法与策略.

设置情境 问题诱导
2005年10月12日上 午9时,“神舟六号” 载人飞船顺利升空,实 现多人多天飞行,标志 着我国航天事业又上了 一个新台阶,请问: “神舟六号”载人飞船 的运行轨道是什么?

神舟六号在进入太空后,先以远地点347公里、近地 点200公里的椭圆轨道运行,后经过变轨调整为距地343公 里的圆形轨道.

复习提问:
1.圆的定义是什么?
2.圆的标准方程是什么?

导入新课:
1.椭圆是怎么画出来的? 2.椭圆的定义是什么? 3.椭圆的标准方程又是什么?

3.2讲授新课阶段
? 1.椭圆的定义 F2 平面内与两个定点F1 、的距离的和等于常数 (大于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注:若| PF1 | ? | PF2 |?| F1F2 | ,则P点的轨迹为椭圆. 若| PF | ? | PF |?| F F | ,则P点的轨迹为线段. | PF | ? | PF |?| F F | ,则P点的轨迹不存在. 若
1 2 1 2

1

2

1 2

3.2讲授新课阶段
? 1.椭圆的定义 F2 平面内与两个定点F1 、的距离的和等于常数 (大于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注:若| PF1 | ? | PF2 |?| F1F2 | ,则P点的轨迹为椭圆. 若| PF | ? | PF |?| F F | ,则P点的轨迹为线段. | PF | ? | PF |?| F F | ,则P点的轨迹不存在. 若
1 2 1 2

1

2

1 2

<1>将一条细绳的两端分别固定在平面内的两个 F 上,用笔尖将细绳拉紧并运动, 在纸上 定点 F 、 你得到了怎样的图形?
1
2

F <2>如果调整细绳两端点F 、的相对位置 ,细绳的 长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化?
1
2

<3>同样方式的操作为什么得到不同的结果?

活动形式:操作--交流--归纳--演示--联系生活 设计意图:准确理解椭圆的定义;培养学生观察、辨
析、概括问题的能力并用联系与发展的观点看问题

联系生活:
? 情境1.生活中,你见过哪些类似椭圆的图形或物体? ? 情境2.让学生观察倾斜的圆柱形水杯的水面边界线, 并从中抽象出数学模型. ? 情境3.观看天体运行的轨道图片.

设计意图:渗透科学源于生活,圆锥曲 线在生产和技术中有着广泛的应用.

演示文稿1.swf

嫦娥一号卫星在约16小时周期的大 椭圆轨道上运行
? 嫦娥一号卫星在约16小时周期的大椭圆轨 道上运行.swf

画一画

(1) 请学生拿出课前准备 的硬纸板、细线、铅笔,同 桌一起合作画椭圆。
(2) 演示文稿2.gsp 演示 动画 椭圆的形成过程。

? 2.椭圆的标准方程
F 为椭圆两个焦点,P为椭圆上任意一 例:已知点F 、 a?c?0 | PF 点,且| F F |? 2c , ,其中 ,求椭圆 1 | ? | PF 2 |? 2a 方程 点拨:怎样建系可以 使方程尽可能简 一般步骤: (1) 建系设点 单? (2) 写出点的集合 (3) 写出代数方程 点拨:化简的目的是什 么?有怎样的方法? (4) 化简方程
1
2

1 2

直接 平方

?x ? c?

2

?y ?
2

?x ? c?

2

? y 2 ? 2a

移项平方

?x ? c?2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ?x ? c?2 ? y 2 ? ?x ? c?2 ? y 2
a ? cx ? a
2

?x ? c ?
2 2

2

? y2
2

y

b ? a ?c
2 2

2

?a ? b ? 0?

?a ? c ?x ? a y ? a ?a ? c ?
2 2 2 2 2
a b c O
F2

b x ?a y ? a b
2 2 2 2
2 2

2 2
F1

x

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b

? 2.椭圆的标准方程
F 为椭圆两个焦点,P为椭圆上任意一 例:已知点F 、 a?c?0 | PF 点,且| F F |? 2c , ,其中 ,求椭圆 1 | ? | PF 2 |? 2a 方程 点拨:怎样建系可以 使方程尽可能简 一般步骤: (1) 建系设点 单? (2) 写出点的集合 (3) 写出代数方程 点拨:为化简方程, 你将如何处理? (4) 化简方程 (5) 证明 活动形式:点拨----板演---点评 设计意图:掌握椭圆标准方程及推导方法;培养 学生战胜困难的意志品质
1
2

1 2

?x ? c?

2

?y ?
2

?x ? c?

2

? y ? 2a
2

?x ? c?2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ?x ? c?2 ? y 2 ? ?x ? c?2 ? y 2
a ? cx ? a
2

?x ? c?
2 2 2 2

2

? y2
2

讨论平方的 等价性

?a ? c ?x ? a y ? a ?a ? c ?
2 2 2

b x ?a y ? a b
2 2 2 2

2 2

x 2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
?x
? c?
2

? y2 ?

?x

? c?

2

? y 2 ? 4a 2 ? 4a

a 2 ? cx ? a

?a

2

? c2 x 2 ? a 2 y2 ? a 2 a 2 ? c2
? y2 b2

?

?x ? c ?2 ? y 2 ? 2a ?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ?x ? c ?2 ? y 2

? c?

2

? y2

?

?

b2 x 2 ? a 2 y2 ? a 2 b2
x2 a2

?a ? b ? 0 ? ?1

<1>对于给定条件,是否只有一种建系方法? <2>不推导,你能写出另一种椭圆的标准方程吗? <3>如何由方程,辨别两种不同的建系方法呢? y y
P
F2

F1

o

F2

x

o

F1

x

P

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b

2

2

y x ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b

2

2

3.3 知识应用阶段
例1 (1)椭圆 x
(2)椭圆
2

y2 ? ?1 4

的焦点坐标为:

x2 y2 ? ?1 9 m

的焦距为4, 则 m 的值为:

活动形式:思考—解答—点评 设计意图:熟悉椭圆两种形式的标 准方程

例2
已知:椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0), 椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10, 求椭圆的标准方程

活动形式:思考—解答—点评 设计意图:运用椭圆的定义,掌 握椭圆的标准方程

例2 已知: 椭圆焦点坐标分别是(-4,0)(4,0),椭圆上
一点P到两焦点的距离的和等于10,求椭圆的标 准方程 变式<1>已知:椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0), 4 ? ,求椭圆的标准方程. 且椭圆经过点 ? 5? ? 2,
? 5 ?

活动形式:思考—板演(对比)—点评 设计意图:运用椭圆的定义或待定 系数法求椭圆的标准方程

例2 已知: 椭圆焦点坐标分别是(-4,0)(4,0),椭
圆上一点P到两焦点的距离的和等于10, 求椭圆的标准方程
变式<1>已知:椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)、 4 ? (4,0),且椭圆经过点 ? 2 , 5 ? , 求椭圆的标准 ? ? 5 ? 方程.
? 3 7? ?? , ? ? 变式<2>已知:椭圆经过点 ? ? 2 4 ?

求椭圆的标准方程.

? 3? ?1, ? ? 2 ? 、 ? ?

,

变式<2> 3? ? 3 7? ? ?1, ? ?、 已知椭圆过点 ? ? , ? ? 2 4 ? ? 2 ? ? ? ? 程
x 2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b

, 求椭圆的标准方

y2 x 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b

Ax2 ? By2 ? 1?A, B ? 0?

活动形式:思考—点拨—解答—点评 设计意图:从方程的角度认清椭圆两 种标准方程形式上的统一

3.4 知识总结阶段
?活动形式:提问--小结
本节课学习的主要内容是什么?

?设计意图:培养学生的概括能力

小结 :“一、二、二、三” 1、一个定义(椭圆的定义) 2、二类方程(焦点分别在x轴、y轴的上的两个标准方程)

3、二种方法(去根号的方法、待定系数系法)
4、三个意识(求美意识、求简意识、猜想意识)

3.5 课后探索阶段
?思考:平面内到两个定点的距离差、积、
商为定值的点的轨迹是否存在? 若存在轨迹是什么?

?设计意图:开放性的问题提升学生的 思维空间;渗透解析几何的基本思想

3.5探究意识
1、对椭圆定义的探究
借助实验,让学生从实践中体会椭圆上的点所满足的 条件,逐渐把图形语言转化为文字语言。当学生定义不准 确、不严谨时,不是否定学生,而是保护学生的自尊心, 保留学生的自信心,继续设计情境,引导学生自主探索。 通过实验发现:当两定点近得不能再近时画出的是圆,当 两定点远得不能再远时画出的是线段。通过的实践,学生 对条件2a>2c的理解水到渠成。这样,不仅完善了椭圆的 定义,也有助于培养学生质疑、勤于动脑的良好思维习惯。 有助于帮助学生自主学习,学会学习。

3.5探究意识
2、对椭圆标准方程的探究
在这节课的教学设计中,我没有墨守成规按 教材给出的建系方法探究方程,而是鼓励学生用 不同的建系方法去建立方程。其意图是希望通过 一系列的质疑、判断、比较、选择,通过多种观 点、不同方法的碰撞,使学生真正理解椭圆的标 准方程。更重要的是通过探究式的教学过程,可 培养学生的问题意识和创新精神,使学生的“自 主、合作、探究”活动成为可能。这是对传统教 学内容进行创新设计的尝试。

3.5探究意识
3、课外探究
(1)如图4,将圆上所有的点的纵坐标压缩为原来 的一半,横坐标不变,所得的曲线是什么曲线?压
1 1 1 1 缩为原来的, , , …, (n ? n 3 4 5

N , n ? 2)呢?

?

(探究工具,手段不限)

(2)如果已知圆的方程为 x 2 ? y2 ? 16 ,你能分别 求出按(1)压缩后所得的曲线的方程吗?

3.5、探究意识
y p

x o

课外探究(2)

设计意图:通过创造性的使用 教材,一方面使针对教材内容所 开展的探究性活动成为一种真 实的可能;另一方面通过这样 的设计可逐渐培养学生自主学 习、自我探索的良好习惯,并 最终从根本上转变学生的学习 方式,同时为对学生数学学习 的过程性评价找到一种比较好 的形式和一个很好的落脚点。

布置作业
1、写出适合条件的椭圆标准方程:

(1)a=4,b=1.焦点在x轴上
(2)a=4,c=3 2、研究性题:反思画图,观察椭圆上的 点到焦点的距离最大最小的点是哪个点? 并用数学方法加以证明.

板书设计
课 题
1、椭圆的定义: 2、有关概念: 3、椭圆标准方程 (1)焦点在x轴上 (2)焦点在y轴上

椭圆标准方程的 例1: 推导过程书写 (写要点)
例 2: (1)详写 (2)写关键步骤

教学评价设计

? 本节课的设计力图贯彻“以人的发展为本”的教 育理念 ,体现了“教师为主导,学生为主体”的现 代教学思想.在对椭圆的定义的讲授中,让学生通 过亲自动手来探索、感受、挖掘概念;在对椭圆 的标准方程的讲授中,引导学生对比、分析, 并在 关键处设疑,以疑导思.在教学中借助多媒体生动、 直观、形象的特点来突出教学重点.自始至终很 好地调动学生的积极性,挖掘他们的内在潜能,提 高学生的综合素质.

再见
2007.12.1


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