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2016高考数学一轮复习 专题突破练5 理 新人教A版


专题突破练(五)
(教师用书独具)

[A 级 一、选择题

基础达标练]

1.若直线 ax+by=1 过点 M(cos α ,sin α ),则( A.a +b ≥1 1 1 C. 2+ 2≤1
2 2

)

B.a +b ≤1 1 1 D. 2+ 2≥1

2

2

a

b

a

b

[解析] 点 M(cos α ,sin α )在单位圆上,且点 M 在直线 ax+by=1 上, ∴ |a×0+b×0-1| 2 2 2 2 ≤1? a +b ≥1? a +b ≥1. a2+b2

[答案] A

x y 1 2 2.设椭圆 2+ 2=1(m>n>0)的右焦点与抛物线 y =8x 的焦点相同,离心率为 ,则此椭 m n 2
圆的方程为( A. C. ) B. + =1 16 12 D. + =1 64 48
2 2

2

2

+ =1 12 16 + =1 48 64

x2 x2

y2 y2

x2 x2

y2 y2

2 1 x y 2 2 2 [解析] 依题意知: = ,得 m=4.由 n =m -2 =12,所以所求椭圆方程是 + = m 2 16 12 1. [答案] B 3.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( A. 2 C.4 [解析] 设等轴双曲线 C: 2- 2=1. ∵抛物线 y =16x 的准线为 x=-4, 联立 2- 2=1 和 x=-4 得 A(-4, 16-a ), B(- 4,- 16-a ), ∴|AB|=2 16-a =4 3, ∴a=2,∴2a=4.
1
2 2 2 2

) B.2 2 D.8

x2 y2 a a

x2 y2 a a

2

∴C 的实轴长为 4. [答案] C

x y → → → → 4.已知 P 为双曲线 C: - =1 上的点,点 M 满足|OM|=1,且OM·PM=0,则当|PM| 9 16
取得最小值时的点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为( A. 9 5 12 B. 5 D.5 )

2

2

C.4 → → [解析] 由OM·PM=0,得 OM⊥PM, 则|OP| =|OM| +|PM| =1+|PM| ,
2 2 2 2

→ 因此,若|PM|取得最小值,则|OP|有最小值. 于是应有点 P 为双曲线的顶点(-3,0)或(3,0), 由双曲线 C: - =1,知渐近线为 4x±3y=0. 9 16 |?±3?×4+0| 12 ∴所求的距离 d= = . 2 2 5 4 +3 [答案] B 5.从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离 心率是( A. C. 2 4 2 2 ) 1 B. 2 D. 3 2

x2

y2

x2 y2 a b

c2? x2 y2 c2 y2 0 2 2? 1 - [解析] 由题意设 P(-c, y0), 将 P(-c, y0)代入 2+ 2=1, 得 2+ 2=1, 则 y0=b ? 2? a b a b ? a?
=b ·
2

a2-c2 b4 = 2. a2 a b2 a b2 a

∴y0= 或 y0=- (舍去), ∴P?-c, ?,∴kOP=- . a

? ?

b2?

?

b2 ac

∵A(a,0),B(0,b),

b-0 b ∴kAB= =- . 0-a a

2

又∵AB∥OP,∴kAB=kOP, ∴- =- ,则 b=c. 从而 a= 2c. 所以椭圆的离心率 e= = [答案] C 二、填空题 6.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M, 与 y 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________. [解析] 由题意 A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为 y=x+a,

b a

b2 ac

c a

c
2c



2 . 2

x2 y2 a b

? ? ∴B 点的坐标为(0,a),故 M 点的坐标为?- , ?, ? 2 2?
a a
代入椭圆方程得 a =3b ,∴c =2b ,∴e= [答案] 6 3
2 2 2 2

6 . 3

x2 y2 7.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点与 a b
抛物线 y =16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________. [解析] 由条件知双曲线的焦点为(4,0),
2

a +b =16, ? ? 所以?b = 3, ? ?a
解得 a=2,b=2 3, 故双曲线方程为 - =1. 4 12 [答案]

2

2

x2

y2

x2
4



y2
12

=1

8.如图 5?4 所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m,水面宽 4 m.水位 下降 1 m 后,水面宽________m.

3

图 5?4 [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x =-2py(p>0),则 A(2, -2).
2

将点 A(2,-2)坐标代入

x2=-2py,得 p=1.
于是 x =-2y. 当水面下降 1 m,得 D(x0,-3),(x0>0), 将其坐标代入 x =-2y 得 x0=6, ∴x0= 6.∴水面宽|CD|=2 6 m. [答案] 2 6 三、解答题 9.如图 5?5 所示,点 F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦 点, 过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P, 过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= 于点 Q.
2 2 2

x2 y2 a b

a2 c

图 5?5 (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. [解] (1)由条件知,P?-c, ?,故直线 PF2 的斜率为 a

? ?

b2?

?

2ac 2ac 因为 PF2⊥F2Q,所以直线 F2Q 的方程为 y= 2 x- 2 ,

2

b

b

4

? ? 故 Q? ,2a?. ?
由题设知, =4,2a=4, 解得 a=2,c=1,b =3. 故椭圆方程为 + =1. 4 3
2

a2 ?c

a2 c

x2 y2

a2 x- c y-2a (2)证明:直线 PQ 的方程为 2 = , b a2 -2a -c- a c
即 y= x+a. 将上式代入 2+ 2=1 得 x +2cx+c =0, 解得 x=-c,y= . 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 10.(2014·山东高考改编)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点 的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|. 当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程; (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E,试判断直线 AE 是否过定点?若过 定点,求出定点的坐标;否则请说明理由.
2

c a

x2 y2 a b

2

2

b2 a

? ? [解] (1)由题意知 F? ,0?. ?2 ?
p
设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为? 因为|FA|=|FD|, 由抛物线的定义知 3+ =?t- ?, 2? 2 ? 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 由

?p+2t,0?. ? ? 4 ?

p ?

p?

p+2t
4

=3,解得 p=2.
2

所以抛物线 C 的方程为 y =4x. (2)由(1)问,知 F(1,0). 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0). 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,
5

由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行, 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 2 代入抛物线方程得 y + y- =0,

y0

y0

y0

y0

64 32b 2 由题意 Δ = 2 + =0,得 b=- .

y0

y0

y0

4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2.

y0

y0

+y0 y0 yE-y0 4y0 ①当 y ≠4 时,kAE= =- , 2= 2 xE-x0 4 y0 y0-4 2- y0 4
2 0

4

可得直线 AE 的方程为 y-y0= 由 y0=4x0,整理得 y=
2

4y0 (x-x0). y2 0-4

4y0 (x-1), y2 0-4

所以直线 AE 过定点 F(1,0). ②当 y0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 综合①,②知,直线 AE 恒过定点 F(1,0).
2

[B 级

能力提升练]
2

1.(2014·四川高考)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴 → → 的两侧,OA·OB=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 C. 17 2 8 B.3 D. 10 )

[解析] 设直线 AB 的方程为 x=ny+m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2), → → ∵OA·OB=2,∴x1x2+y1y2=2.

6

又 y1=x1,y2=x2, ∴y1y2=-2. 联立?
?y =x, ? ? ?x=ny+m,
2

2

2

得 y -ny-m=0,

2

∴y1y2=-m=-2, ∴m=2,即点 M(2,0). 1 1 又 S△ABO=S△AMO+S△BMO= |OM||y1|+ |OM||y2|=y1-y2, 2 2

S△AFO= |OF|·|y1|= y1,
1 ∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+ y1 8 9 2 = y1+ ≥2 8 y1 9 2 y1· =3, 8 y1

1 2

1 8

4 当且仅当 y1= 时,等号成立. 3 [答案] B 2.如图 5?6 所示,椭圆 + 2=1(b>0)与过点 A(2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公 2 b 共点 T,则椭圆的离心率 e=________.

x2 y2

图 5?6 [解析] 直线 AB 的方程为 +y=1, 2

x

? ? 依题意? x ?2+y=1, ?

x2 y2 + 2=1, 2 b

有唯一解.

1 2 2 2 ∴(b + )x -2x+2-2b =0 有相等的实根, 2 1 2 2 2 ∴Δ =(-2) -4(b + )(2-2b )=0, 2 1 2 ∴b = , 2

7

3 6 2 2 2 从而 c =a -b = ,c= , 2 2

c 6 3 ∴e= = = . a 2 2 2
[答案] 3 2

x2 y2 ? 3? 3.如图 5?7 所示,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F2(1,0),点 A?1, ?在椭圆 a b ? 2?
上.

图 5?7 (1)求椭圆方程; (2)点 M(x0,y0)在圆 x +y =b 上,点 M 在第一象限,过点 M 作圆 x +y =b 的切线交 椭圆于 P、Q 两点,问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,说 明理由.
2 2 2 2 2 2

? 3? [解] (1)由右焦点为 F2(1,0),可知 c=1.设左焦点为 F1,则 F1(-1,0),又点 A?1, ? ? 2?
在椭圆上,则 2a=|AF1|+|AF2|=
2 2

?3?2 2 ?1+1? +? ? + ? 2?

?3?2 2 ?1-1? +? ? =4, ?2?
x2 y2

∴a=2,b= a -c = 3,即椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 + =1(|x1|≤2), 4 3 |PF2| =(x1-1) +y1
2 2 2

x2 y2 1 1

? x1? 1 2 2 =(x1-1) +3?1- ?= (x1-4) , ? 4? 4
1 1 ∴|PF2|= (4-x1)=2- x1. 2 2 连结 OM,OP,由相切条件知: 1 2 ? x1? 2 2 2 2 2 2 |PM| =|OP| -|OM| =x1+y1-3=x1+3?1- ?-3= x1,显然 x1>0, 4 4 ? ? 1 x1 x1 ∴|PM|= x1.∴|PF2|+|PM|=2- + =2. 2 2 2
2

2

8

同理|QF2|+|QM|=2- + =2. 2 2 ∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=2+2=4 为定值.

x2 x2

9


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