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2017-2018学年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题 Word版含答案

2017-2018 学年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题 第Ⅰ卷(共 30 分) 一、选择题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一最 新试卷十年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送祝福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。 项是符合题目要求的. 1.集合 A ? ?x ? Z log2 x ? 2? 的真子集个数为( A.7 B.8 C.15 D.16 ) 2.三棱锥 P ? ABC 的底面 ?ABC 是边长为 3 的正三角形, PA ? 3, PB ? 4, PC ? 5 ,则三棱锥 P ? ABC 的体积为( ) C. 11 D. 2 3 A.3 B. 10 3.已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ? ( A. ) 1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 f ? 2019? ? 4 1 2 B. ? 1 2 C. 1 4 D. ? 1 4 ) 3 3 4.已知 f ? x ? ? sin x ,则对 ?x ? R ,下列说法中错误的是( 2 ? cos x B. f ? x ? ? x C. f ? x ? ? 1 A. f ? x ? ? sin x 3 D. f ?? ? x ? ? f ?? ? x ? ? 0 5.已知 f ? x ? ( A.3 ) B.2 ?2 ? x ? 1? 2 2x ? x ? 1 在 ? ?2018,0? ? ? 0, 2018? 上的最大值为 M ,最小值为 N ,则 M ? N ? C.1 D.0 ) 6.设 x ? 0, y ? 0, z ? 0 ,满足 x ? y ? xy, x ? y ? z ? xyz ,则 z 的取值范围是( A. 0, 3 ? ? ? B. 1, 3 ? ? ? ? 4? C. ? 0, ? ? 3? ? 4? D. ? 1, ? ? 3? 第Ⅱ卷(共 120 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上) 7.函数 y ? ? x?3 ? ? log 2 ? ? 2 ? 的定义域为 ? x ?1 ? x ? 6x ? 8 1 2 . 8.已知圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 ? k ? R ? 上至少存在一点,使得以该 点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值等于 9.如图,在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? . ? 2 , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上一点,且 . BP ? 2PA,则 CP ? CA ? CP ? CB ? 10.已知点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上, PQ 的中点为 M ? x0 , y0 ? , 且 y0 ? x0 ? 2 ,则 y0 的取值范围是 x0 . ?a ? b ? 2 ? 0 a ? 2b ? 11.若实数 a , b 满足条件 ?b ? a ? 1 ? 0 ,则 的最大值等于 2a ? b ?a ? 1 ? . 12.在数列 ?an ? 中,若 an 2 ? an ?12 ? p ( n ? 2, n ? N * , p 为常数),则称 ?an ? 为“等方差数列”.下 列是对“等方差数列”的判断: ①数列 ? ?1? ? n ? 是等方差数列; ? ? ② 若 ?an ? 是等方差数列,则 an 2 是等差数列; ③ 若 ?an ? 是等方差数列,则 ?akn ? ( k ? N * , k 为常数)也是等方差数列; ④ 若 ?an ? 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列. 其中正确命题序号为 .(将所有正确的命题序号填在横线上) 三、解答题 (本大题共 4 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 7? ? ? 13.已知函数 f ? x ? ? 4cos x ? sin ? x ? ? ? a 的最大值为 2. 6 ? ? (1)求 a 的值及 f ? x ? 的最小正周期; (2)求 f ? x ? 的单调递减区间. 14.数列 ?an ? 为等差数列,且满足 3a5 ? 8a12 ? 0 , 数列 ?bn ? 满足 bn ? an ? an?1 ? an?2 n ? N * ,?bn ? 的前 n 项和记为 Sn ,问: n 为何值时, Sn 取得最大值,说明理由. ? ? ? 1 ? 15.已知抛物线 y ? ax 2 过点 P ? ?1,1? , 过点 Q ? ? ,0 ? 作斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于 M , N 两 ? 2 ? 点(点 M 在 Q, N 之间) ,过点 M 作 x 轴的平行线,交 OP 于 A ,交 ON 于 B , ?PMA 与 ?OAB 的面积分别记为 S1 , S2 ,比较 S1 与 3S 2 的大小,说明理由. 16.设 x, y, z ? 0 , 且至多有一个为 0, 求 f ? x, y, z ? ? 最小值. x2 ? 2 5 6 yz ? 2 y ? z2 2 y2 ? 2 5 6 zx z 2 5 ? 6 xy 的 ? 2 2 2 2 z ?x x ?y 试卷答案 一、选择题 1-6: CCBABD 二、填空题 7. ?1, 2? ? ? 4,5? 11. 8. 4 3 9. 4 ? 1 1? 10. ? ? , ? ? ? 2 5? 7 5 12. ①②③④ 三、解答题 ? ? 7? ? 3 1 ? 13. 解:(1) f ? x ? ? 4 cos x ? sin ? x ? ?

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