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不等式的解法举例(1)一元二次不等式、简单的含绝对值不等式的解法


《高中数学同步辅导课程》
不等式的解法举例(1) 一元二次不等式、简单的含绝对值不等式的解法

教学目的: 1.能够使学生更加正确、熟练地掌握一元二次不 等式、简单的含绝对值不等式的解法; 2.进一步熟悉并掌握数轴标根法(零点分段法).

教学重点:
王新敞
奎屯 新疆

含绝对值不等式的解法. 教学难点: 含绝对值不等式的解法.

一、复习引入 1.同解不等式: 如果两个不等式的解集相等,那么这两个不 等式就叫做同解不等式. 如:2x+6<0与x<-3 2.不等式的同解变形: 一个不等式变形为另一个不等式时,如果这 两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做 不等式的同解变形. 如:2x+6<0 → x<-3

二、新授内容 3.不等式的分类:

代数不等式

有理不等式 无理不等式

一次 整式不等式 二次 高 分式不等式 次

指数不等式
初等超越不等式 对数不等式

二、新授内容 4.一元一次不等式

ax ? b (a ? 0)
5.一元二次不等式

b x ? , ( a ? 0) a

b x ? , (a ? 0) a

一般式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a>0)
说明:如果二次项系数小于零,两边乘以-1,并 把不等号改变方向即可.

?=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像(a>0) ax2+bx+c=0 的根

?>0

?=0

?<0

y
o
x1, 2


y


y

x1

x2 x

o



x

?b? ? ? 2a

b x1 ? x2 ? ? 2a
{ x | x ? R, x ? ? b } 2a

?
R

o

x

ax2+bx+c>0 的解集
ax2+bx+c<0 的解集

{x | x ? x1或x ? x2}
{x | x1 ? x ? x2 }

?

?

二、新授内容 记忆口诀:大于0取两边,小于 0取中间.(a>0且△>0)

y x1 x2 x

o 解一元二次不等式的步骤: ①把二次项系数化为正数; ②解对应的一元二次方程; ③根据方程的根,结合不等号方向及二次函数 图象; ④得出不等式的解集.





二、新授内容

6.含绝对值的不等式 解含有绝对值不等式的关键是去绝对值符号, 去绝对值符号的主要方法有:
①绝对值的定义;

②公式法: | f ( x ) |? g( x ) ? f ( x ) ? g( x )或f ( x ) ? ? g( x)
| f ( x ) |? g( x ) ? ? g( x ) ? f ( x ) ? g( x )

③零点区间讨论法;
④绝对值的几何意义.

三、例题讲解

x ? 2 7x ? ?1 例1 解不等式 2( x ? 1) ? 3 2
解:去分母:12(x+1)+2(x-2)>21x-6 去括号:14x+8>21x-6

移项、整理:-7x > -14
∴原不等式的解集为{x|x<2}

x<2

三、例题讲解
例2 解不等式组 10+2x≤11+3x 5x-3 ≤4x-1 7+2x>6+3x 解:各不等式的解集分别是:

{x|x≥-1},{x|x ≤2},{x|x<1}
所以,不等式组的解集是

{x|x≥-1}∩{x|x≤2} ∩{x|x<1}={x|-1≤x<1}.

三、例题讲解 例3 解下列不等式(组): (1)2+x-x2≥0 (2) x2-2x-8≤0

x2-1>0
解:(1)原不等式即x2-x-2≤0 因为方程x2-x-2=0的两根为-1,2. 所以,原不等式的解集为{x|-1≤x≤2}. (2) ){x|-2≤x≤4}∩{xx<-1,或x>1}

={x|-2≤x<-1,或1<x≤4}

三、例题讲解

例4 解不等式 | x2 ? 5x ? 5| ? 1
解:原不等式可化为 ?1 ? x2 ? 5x ? 5 ? 1 ? x 2 ? 5 x ? 5 ? 1 (1) 即? 2 ? x ? 5 x ? 5 ? ?1 (2) 解不等式(1),得解集 ?x |1 ? x ? 4?, 解不等式(2),得解集 ?x | x ? 2, 或x ? 3? , ∴原不等式的解集是不等式(1)和不等式(2)的解集的 交集,即 ?x |1 ? x ? 4 ? ? ?x | x ? 2, 或x ? 3 ?

? ?x |1 ? x ? 2, 或3<x<4 ?

三、例题讲解 例5 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解:3 ?| 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ?| 2 x ? 3 |? 5

? 3 ? 2 x ? 3 ? 5, ? 5 ? 2 x ? 3 ? ?3 或

? 3 ? x ? 4, ?1 ? x ? 0 . 或
?原不等式的解集是 x | ?1 ? x ? 0, 3 ? x ? 4}. { 或
0 4

-1

3

-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例6 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解:原不等式变形为| X +1| + |X -3| > 2 + X. 若| X +1| = 0,X =-1;若| X -3| = 0,X=3.
零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示.

(1)当x ? ?1时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0,
?原不等式变形为? ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 0.

此时, 得{x | x ? ?1} ?{x | x ? 0} ? {x | x ? ?1}.

-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例6 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解:(1)当x ? ?1时, 原不等式的解为{x|x ? ?1};
(2)当 ?1 ? x ? 3时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0,

?原不等式变形为( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 2.
此时, 得{x | ?1 ? x ? 3} ?{x | x ? 2} ? {x | ?1 ? x ? 2};

(3)当x ? 3时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0, ?原不等式变形为( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 4.
此时, 得{x | x ? 3} ?{x | x ? 4} ? {x | x ? 4}; 2 4 将(1)、 2)、 3)的结果取并集 ( ( ,

则原不等式的解集为 x | x ? 2, 或x ? 4}. {

四、练习 1. 解不等式2<|2x-5|≤7. 解:原不等式等价于
2<2x-5≤7,或- 7≤ 2x-5<-2 7 ? ? x ? 6, 或 ?1 ? x ? 3 2 2

原不等式的解集为: 3 7 或 ?x?6 {x|-1≤x< } 2 2

-1

3 2

7 2

6

x

四、练习 2.解下列不等式: (1)3x2-7x+2<0 (2)-6x2-x+2≤0
(3)4x2+4x+1<0 (4)x2-3x+5>0

参考答案:

1 (1) {x | ? x ? 2} 3

1 2 (2) {x | x ? 或 x ? ? } 2 3

(3) ?
( 4) R

四、练习 3. 解不等式| x -1 | + | 2x-4 |>3 + x 解:(1)当x≤1时原不等式化为: 1-x + 4 -2x >3 + x 1 1 ② 2 ① ③ ?x? 2 (2)当1<x ≤2时,原不等式化为:

x ?1 ? 4 ? 2x ? 3 ? x ? x ? 0

又∵ 1<x ≤2,∴此时原不等式的解集为φ (3)当x>2时,原不等式化为 综上所述,原不等式的解集为 ?
① 1 ② 2 ③

x ?1 ? 2x ? 4 ? 3 ? x ? x ? 4

1 ? ? x | x ? 或x ? 4?. 2 ? ?

1/2

4

y 五、小结 o


x1



1.一元二次不等式的解集 与一元二次方程的解及其相应的二次函数的图 像相对于轴的位置密切相关.解题时要注意解题 格式,头脑中要想象图像或划出草图. 对于a<0的一元二次不等式可转化为a>0的情 形求解. 2.零点分段法,即含绝对值中的代数式为0解 得x的的值称为零点.这些零点将实数轴分成若干 段,然后分区间讨论.一般地,对于两个或两个以 上绝对值符号的不等式一般采用此法去绝对值.

x2 x

五、小结 2.解含有绝对值不等式的关键是去绝对值符 号,去绝对值符号的主要方法有:①绝对值 的定义. ②公式法: | f ( x) |? g( x) ? f ( x) ? g( x)或f ( x) ? ? g( x)
| f ( x ) |? g( x ) ? ? g( x ) ? f ( x ) ? g( x )

③零点分段法. ④绝对值的几何意义 3.在对未知量x本身进行讨论时,应求各讨论结 果的并集.

本节课到此结束,请同学们 课后再做好复习。谢谢!


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