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2016-2017学年高中数学 第一章 空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课件


第一章
空间几何体

1.3 空间几何体的表面积与体积

1.3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

要点整合夯基础 典例讲练破题型

课堂达标练经典 课时作业

[目标] 1.会求柱体、锥体、台体的表面积与体积;

2.

知道圆柱、 圆锥、 圆台的侧面展开图, 并会求它们的侧面积; 3.通过柱体、锥体、台体的体积公式体会它们之间的关系. [重点] 求圆柱、圆锥、圆台的侧面积;求柱体、锥体、 台体的表面积与体积. [难点] 柱体、 锥体、 台体的侧面展开图及这三类几何体 之间关系的理解.

多面体与旋转体的表面积

[填一填] 1.柱体的表面积 (1)棱柱的表面积:S 表= S侧+2S底. ①其中底面周长为 C,高为 h 的直棱柱的侧面积:S


= Ch ;

②长、宽、高分别为a,b,c的长方体的表面积:S表 = 2(ab+ac+bc) ; ③棱长为a的正方体的表面积:S表= 6a
2

.

(2)圆柱的表面积:底面半径为r,母线长为l的圆柱的 侧面积:S侧= 2πrl ,表面积:S表= 2πr(r+l).

2.锥体的表面积 (1)棱锥的表面积:S表=S侧+ S底 ;底面周长为C,斜

1 高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积:S侧= 2 Ch′. (2)圆锥的表面积:底面半径为r、母线长为l的圆锥的 侧面积S侧= πrl ,表面积:S表= πr(r+l).

3.台体的表面积 (1)棱台的表面积:S表= S侧+S上底+S下底. (2)圆台的表面积:两底面半径分别为r′,r,母线长 为l的圆台的侧面积:S侧= π(r′+r)l ,表面积:S表=

π(r′2+r2+r′l+rl).

[答一答] 1.几何体的侧面积与表面积有何区别? 提示:侧面积指的是几何体侧面的面积,而表面积是指 整个几何体表面的面积.表面积等于侧面积与底面积之和, 因此,侧面积仅是几何体表面积的一部分.

2.圆锥的侧面展开图为一扇形,怎样根据扇形圆心角 度数 α°推导出母线 l 与底面半径 r 的关系?

提示:圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长,而 α α 扇形弧长又是以 l 为半径圆周长的360, 于是有360·2πl=2πr, α 即 r= l. 360

柱体、锥体、台体的体积

[填一填] 1. 柱体的体积: V 柱体= Sh (S 表示柱体的底面面积, h 表示柱体的高).
1 2. 锥体的体积: V 锥体= 3Sh (S 表示锥体的底面面积,

h 表示锥体的高).

3.台体的体积:V台体=

1 3(S′+ S′S+S)h

(S′,

S分别表示台体的上、下底面面积,h表示台体的高).

[答一答] 3.柱体的体积与哪些量有关? 提示:柱体的体积仅与它的底面积和高有关,而与底面 的形状以及是斜棱柱或直棱柱无关. 4.对于三棱锥在求体积时,底面固定吗?怎样确定哪 个面为底面? 提示:不固定,三棱锥的任何一个面都可以作为它的底 面,关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出,就选哪个 面为底面.

多面体的表面积与体积

[例 1]

已知一个三棱台上、 下底面分别是边长为 20 cm

和 30 cm 的正三角形, 侧面是全等的等腰梯形, 且侧面面积 等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.

[解]

如图,在三棱台ABC-A′B′C′中,取上、下底

面的中心分别为O′,O,BC,B′C′的中点分别为D, D′,则DD′是梯形BCC′B′的高.

1 所以S侧=3× ×(20+30)×DD′=75DD′. 2 又A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和 为 3 S上+S下= 4 ×(202+302)=325 3(cm2). 由S侧=S上+S下,得75DD′=325 3, 所以DD′= 13 3 10 3 3(cm),O′D′= ×20= (cm), 3 6 3

3 OD= ×30=5 3(cm), 6

所以棱台的高h=O′O= D′D2-?OD-O′D′?2 10 3? ? = 3- 3 ?2=4 3(cm). ? 由棱台的体积公式,可得棱台的体积为: h 4 3 V=3(S上+S下+ S上· S下)= 3 × ? 3 ? 3 3 ? ? 3 2 2 = 1 900(cm ). × 20 + × 30 + × 20 × 30 ? 4 ? 4 4 ? ?
?13 ? ? 3 ?

3? ?2

? ? - ? ?5 ? ?

在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上,对 于一些较简单的组合体,能够将其分解成柱、锥、台体,再进 一步分解为平面图形?正多边形、三角形、梯形等?,以求得其 表面积与体积,要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理.

[变式训练1]

如图,已知正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方 形,AC与BD交于点M,VM是棱锥的高,若AC=6 cm,VC= 5 cm,求正四棱锥V-ABCD的体积.

解:因为四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,且 对角线AC=6 cm,所以BD=6 cm,且AC⊥BD, 1 1 所以SABCD= ×AC×BD= ×6×6=18(cm2), 2 2 因为VM是棱锥的高,且VC=5 VM= VC2-MC2= 52-32=4(cm), 所以正四棱锥V-ABCD的体积为 1 1 V= SABCD×VM= ×18×4=24 (cm3). 3 3 cm,所以Rt△VMC中,

旋转体的表面积与体积

[例2]

如图(1),在四边形ABCD中,∠DAB=90° , 2 ,AD=2,求四边形

∠ADC=135° ,AB=5,CD=2

ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和 体积.

[分析]

将四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周形成

一个被挖去一个圆锥的圆台,如图(2),故所求几何体的表面积 等于圆锥的侧面积、圆台的侧面积与圆台下底面面积之和,体 积等于圆台的体积减去圆锥的体积.

[解]

将四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周形成一

个被挖去一个圆锥的圆台,如图(2). 由题意可得CD=2 2 ,AD=2,CE=ED=2,AB=5,

AE=4,BC=5,所以S=π·EC·DC+π(EC+AB)· BC+π·AB2= 1 4 2π+35π+25π=60π+4 2π,V=3π(CE2+AB2+CE· AB)· AE 1 8 148π 2 -3π·CE · DE=52π-3π= 3 .

解决旋转体的有关问题常需要画出其轴截面图,将空间问 题转化为平面问题来解决.对于与旋转体有关的组合体问题, 首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的,然后根据条件分 清各个简单几何体底面半径及母线长,再分别代入公式求各自 的表面积或体积.

[变式训练2] 一个直角梯形的两底边长分别为2和5,高为 4,将其绕较长的底所在的直线旋转一周,求所得旋转体的表 面积.

解:如图,梯形ABCD中,AD=2,AB=4,BC=5.作 DM⊥BC,垂足为点M,则DM=4,MC=5-2=3.在Rt△CMD 中,由勾股定理得CD= 32+42 =5.在旋转形成的旋转体中,

AB形成一个圆面,AD形成一个圆柱的侧面,CD形成一个圆 锥的侧面,设其面积分别为S1,S2,S3,则S1=π·42 =16π,S2=2π×4×2=16π,S3=π×4×5=20π, 故此旋转体的表面积为S=S1+S2+S3=52π.

表面积、体积与三视图的综合应用

[例3]

一个棱锥的三视图如下图,则该棱锥的表面积 ) B.48+24 2 D.36+24 2

(单位:cm2)为( A.48+12 2 C.36+12 2

[解析] 如右图,

该棱锥为一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,

由已知可知:SD=4,AB=BC=6, ∴SE=5,AC=6 2. 1 1 1 ∴S= ×6×6+2× ×5×6+ ×6 2×4 2 2 2 =48+12 2.
[答案] A

当给出几何体的三视图,求该几何体的表面积或体积时, 应首先根据三视图确定该几何体的结构特征,是简单组合体的 还应将其分解为柱、锥、台、球,再根据公式计算表面积或体 积.

[变式训练3] 一个四面体的三视图如图所示,则该四面体 的表面积是( )

A.1+ 3 C.1+2 2

B.2+ 3 D.2 2

解析:作出长、宽、高分别为2、1、1的长方体,该四 1 面体是如图所示的三棱锥P—ABC,表面积为 2 ×1×2×2+ 3 2 × ( 2) ×2=2+ 3. 4
答案:B

温 馨 提 示

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温 馨 提 示

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空间几何体体积计算常见技巧 [开讲啦] 柱、锥、台的体积的计算,一般要找出相应的

底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后 代入公式计算.常见的求几何体体积的方法有:公式法,等积 法,分割法,构造法等.

1.等积法 三棱锥也称为四面体,它的每一个面都可当做底面,恰当 地进行换底等积变换便于问题的求解.

[典例1]

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一三

棱锥D1-A1CD,求三棱锥D1-A1CD的体积与剩余部分的体积 之比.

[解]

剩余部分是一个不规则的几何体,可利用长方体和

三棱锥的体积之差来求.设矩形ADD1A1的面积为S,侧棱CD 1 1 1 的长为h,则VD1-A1CD=VC-A1D1D= 3 × 2 Sh= 6 Sh,剩余部分的 1 5 体积为Sh- Sh= Sh,所以三棱锥D1—A1CD的体积与剩余部 6 6 分的体积之比为1:5.

2.分割法 当所给几何体是不规则或不易求体积的几何体时,可以将 原几何体分割成几个规则的几何体,然后分别求这几个几何体 的体积,再求和,便得到原几何体的体积.

[典例2]

如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方

体,E,F分别是棱AA1和CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的 体积. [分析] 考虑到四棱锥的高不好计算,可将四棱锥分割成

两个小三棱锥,利用三棱锥体积运算的灵活性即可简化问题.

[解]

连接EF.因为EB=BF=FD1=D1E=

a

2

?a? +?2?2 ? ?

5 = 2

a,且EB∥FD1,ED1∥BF, 所以四边形EBFD1为菱形. 又△EFB≌△EFD1,且三棱锥A1-EFB和三棱锥A1-EFD1 等高,所以VA1-EFB=VA1-EFD1,

所以VA1-EBFD1=2VA1-EFD1=2VA1-EFB=2VF-EA B.
1

1 a a2 而S△EA B= 2 · a= 4 ,点F到面EA1B的距离为a,所以VF- 2· 1 a2 a3 a3 a3 EA B= · · a= ,所以VA1-EBFD1=2× = . 34 12 12 6
1 1

3.构造法 对于某些几何体性质的探究较困难时,我们可以将它放置 在我们熟悉的几何体中,如正方体等这些对称性比较好的几何 体,以此来研究所求几何体的性质.

[典例3]

如下图,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,

∠DAB=60° ,E是AB的中点,将△ADE,△BEC分别沿ED, EC向上折起,使A,B重合于点P,求三棱锥P-CDE的体积.

[解]

根据题意,折叠后的三棱锥P-CDE的各棱长都相

等,且等于1,根据此三棱锥构造相应正方体(如上图),则该 2 2 2 正方体的棱长为 2 ,故正方体的体积为( 2 )3= 4 ,所以三棱 2 1 1 2 2 2 2 锥P-CDE的体积为 -4× × × × × = . 4 3 2 2 2 2 12


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1.3 空间几何体的表面积与体积 教学设计 教案

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