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二次函数性质的再研究


2.4 二次函数性质的再研究名师考点精讲 北师大版必修 1
[读教材·填要点] 二次函数图像间的变换 (1)y=x 与 y=ax (a≠0)图像间的变换: 二次函数 y=ax (a≠0)的图像可由 y=x 的图像各点的纵坐标变为原来的|a|倍得到. (2)y=ax 与 y=a(x+h) +k(a≠0)图像间的变换: 函数 y=a(x+h) +k(a≠0)的图像可由函数 y=ax (a≠0)的图像变换得到. 其中 a 决定 了二次函数图像的开口大小及方向;h 决定了二次函数图像的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图像的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. (3)y=ax 与 y=ax +bx+c(a≠0)图像间的变换. 一般地, 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0), 通过配方可以得到它的恒等形式 y=a(x+h) +k,从而知道,由 y=ax 的图像如何平移得到 y=ax +bx+c(a≠0)的图像.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

[研一题] [例 1] 在同一坐标系中作出下列函数的图像. (1)y=x
2;

(2)y=x -2; (3)y=2x -4x.
2 2

2

2

并分析如何把 y=x 的图像变换成 y=2x -4x 的图像.

(2)描点、连线即得相应函数的图像,如图所示.

本例中如何把 y=2x -4x 的图像变换成 y=x 的图像?

2

2

[通一类] 1 2 1 2 2 1.画出 y= x -6x+21 的图像,并说明由 y=x 的图像如何变换得到 y= x -6x+21 2 2 的图像?

[研一题] [例 2] (1)已知一个二次函数 y=f(x),f(0)=3,又知当 x=-3 和 x=-5 时,函数

的值为零,求这个二次函数的解析式;

1

(2)已知二次函数 f(x)图像的对称轴是直线 x=-1,并且经过点(1,13)和(2,28),求 二次函数 f(x)的解析式. [悟一法] 求二次函数解析式一般利用待定系数法, 但应根据已知条件的特点, 灵活选用解析式的 形式,一般规律: (1)已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式,然后列出三元一次方程组 求解. (2)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时, 通常设函数解析式为顶点式, y=a(x -h) +k(a,h,k 为常数,a≠0). (3)当已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标时, 通常设函数解析式为两根式, y=a(x -x1)(x-x2)(a,x1,x2 是常数,a≠0). [通一类] 2.已知二次函数 y=f(x)分别满足下列条件, (1)图像过 A(0,1),B(1,2),C(2,-1)三点; (2)图像顶点是(-2,3),且过点(-1,5). 求对应函数的解析式.
2

若方程 x -2x-3=a 有两个不相等的实数解,求实数 a 的取值范围.

2

4.2 二次函数的性质 [读教材·填要点] 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的性质:
2

a 的符号
性质 图像开口方向

a>0
向上

a<0
向下

递增区间为[- ,+∞); 2a 单调区间 递减区间为(-∞,- ] 2a

b

递增区间为(-∞,- ]; 2a 递减区间为[- ,+∞) 2a

b

b

b

最值 对称轴

ymin=

4ac-b ,无最大值 4a

2

ymax= b 2a

4ac-b 无最小值 4a

2

x=-

2

顶点坐标

(- , 2a

b

4ac-b ) 4a

2

注:记 ymax、ymin 分别表示函数 y=f(x)的最大值、最小值. [小问题·大思维] 1.二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗? 提示:y=ax +bx+c(a≠0),在其对称轴的两侧单调性一定相反,可以借助于二次函 数的图像进行说明. 2.二次函数的最值一定在顶点取得吗? 提示:不一定,对于二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)当 x∈R 时可以,但当 x 属于某局部 闭区间时,不一定. 3.对二次函数 y=f(x),若满足 f(a+x)=f(a-x)(a≠0),则其对称轴方程是什么? 提示:x=a.
2 2

[研一题] 1 2 3 [例 1] 已知函数 f(x)= x -3x- . 2 4 (1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴,并指出它的单调区间; 7 41 5 (2)已知 f( )=- ,不计算函数值,试求 f( ); 2 8 2 1 15 (3)不直接计算函数值,比较 f(- )与 f(- )的大小. 4 4 [悟一法] (1)“配方法”是研究二次函数图像和性质的基本方法,一般先用配方法把二次函数解 析式写成顶点式:y=a(x+h) +k,进而确定顶点坐标为(-h,k),对称轴为 x=-h 等其 它性质. (2)比较两函数值大小,可以先比较两点离对称轴的距离大小,然后结合二次函数的开 口方向,从而得到它们的大小关系,也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上,利用函 数的单调性比较它们的大小. [通一类] 1.函数 f(x)=4x -mx+5 在区间[-2,+∞)上是增函数,求 f(1)的取值范围.
2 2

[研一题] [例 2] 已知二次函数 f(x)=x -2x+3,
3
2

(1)当 x∈[-2,0]时,求 f(x)的最值;(2)当 x∈[-2,3]时,求 f(x)的最值; (3)当 x∈[t,t+1]时,求 f(x)的最小值 g(t). [悟一法] (1)二次函数在给定区间[m,n]上的最值求解有以下三种情况: ①对称轴与区间[m,n]都是确定的; ②动轴定区间, 即对称轴不确定,区间[m, n]是确定的; ③定轴动区间,即对称轴是确定的,区间[m,n]不确定. 对于以上三种情况,①采用数形结合,较易解决;②和③应按对称轴和区间的位置关系分类 求解,分对称轴在区间的左侧、内部、右侧三类. (2)求函数的值域应注意函数的定义域, 可直接根据函数的单调性求解, 也可先求其最大(小) 值,再由最大(小)值确定. [通一类] 2.已知函数 f(x)=x -(2a-4)x+2 在[-1,1]内的最小值为 g(a),求 g(a)的解析式.
2

已知 f(x)=x +ax+3-a,若 x∈[-2,2],f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. 练习 第一组 1.函数 y=-x +4x 的单调递增区间是________. 2.函数 y=3x -6x+1,x∈[0,3]的最大值是________,最小值是________. 3.已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[-5,5] . (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使函数 y=f(x)在[-5,5]上是单调函数. 第二组 一、选择题 1.下列区间中,使函数 y=-2x +x 是增函数的是( A.R
2 2 2 2 2

2

) 1 D.(-∞, ] 4 )

1 B.[2,+∞)C.[ ,+∞) 4

2.如果函数 y=4x -kx-8 在[5,20]上是单调函数,则实数 k 的取值范围为( A.k≤40 B.k≥160 C.40<k<160

D.k≤40 或 k≥160
2

3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x 和

L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大
利润为( ) B.45.56 万元 C.45.6 万元 D.45.51 万元

A.45.606 万元 二、填空题

1.设函数 f(x)=4x -(a+1)x+5 在[-1,+∞)上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数,
4

2

则 f(-1)=________. 2.已知二次函数 f(x)=(x+a)(bx+a)(常数 a,b∈R)的图像关于 y 轴对称, 其值域为(-∞,4],则 a=________,b=________. 3.已知关于 x 的不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 对于 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围 是________.
2

5


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