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职高高二数学逻辑代数初步电子教案


第四十六课时:二进制(一) 【教学目标】
知识目标: (1) 理解二进制计数法, 了解数位和基数的概念, 会进行二进制数与十进制数间的换算. (2)理解二进制数加法和乘法的运算规则,会进行简单的二进制数加法和乘法运算. 能力目标: 通过二进制的学习,使学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
二进制的概念、二进制数与十进制数的相互换算.

【教学难点】
十进制数换算为二进制数与二进制数乘法的运算.

【教学设计】
从学生熟悉的十进制入手,介绍数位、基数与位权数,有利于学生对这些概念的理解, 同时为二进制的学习做好铺垫.介绍两种对立状态.可以结合学生身边的、具体的、生活的 案例来进行.考虑到专业课程的实际应用与学生的实际水平,教材在二进制介绍过程中,只 在正整数的范围内进行研究,不进行扩展.二进制数换算成十进制数,就是将各数位的数字 与其位权数乘积相加.例 1 是这种换算的示例.十进制数换算成二进制数时,书写一定要整 齐、规范.例 2 是这种换算的示例.解答过程中的第 1 列,书写的是这个数依次除以 2 的竖 式;第 2 列书写的是每次除以 2 的余数,注意整除时余数为 0;第 3 列为对应数位.人们的 读数习惯是按照从左至右的方向, 即从高位向低位的方向读数, 所以在写成所换算的二进制 数时,由下至上的书写是由高位向低位的书写,符合右手书写的习惯.熟练后,可以省略第 3 列的书写过程.例 2 一方面是进行突破十进制数换算成二进制数的教学难度的强化,另一 方面给出了省略第 3 列的解题书写过程. 二进制数加法的核心内容是进位规则. 可以结合十 进制数的加法规则进行对比式教学.例 4 是这类运算的示例.讲授时要强调书写格式,特别 是对齐数位.例 5 是二进制乘方的知识介绍示例.对齐数位、强调运算顺序是正确进行运算 的关键.讲授时可以结合十进制数的乘法规则进行对比式教学.二进制数的除法和减法,对 于中职学生来说,应用价值不大,因此不做教学要求.

【课时安排】
1 课时

【教学过程】

*创设情境 兴趣导入 人们最常用、最熟悉的进位制是十进制. 十进制是用“0,1,2,3,4,5,6,7,8,9”十 个数码符号(或叫数码)放到相应的位置来表示数,如 3135. 动脑思考 探索新知 数码符号在数中的位置叫做数位.计数制中,每个数位上可以使用的数码符号的个数叫做 这个计数制的基数.十进制的每一个数位都可以使用十个数码符号(或叫数码) ,因此,十 进制的基数为 10. 每个数位所代表的数叫做位权数.十进制数的进位规则为“逢 10 进位 1” .位权数如表 4-1 所示. 整数部分 位置 ? 位权数 ? 表 4-1 十 进 制 数 的 意 义 是 各 个 数 位 的 数 码 与 其 位 权 数 乘 积 之 和 . 例 如
3135 ? 3 ? 10 ? 1 ? 10 ? 3 ? 10 ? 5 ? 10
3 2 1 0

小数点 第1位
10
0

第3位
10
2

第2位
10
1

起点



运用知识 强化练习 将 361200 用各个数位的数码与其位权数乘积之和表示 动脑思考 探索新知 在电路中, 电子元件与电路都具有两种对立的状态. 如电灯的“亮”与“不亮”, 电路的“通” 与“断”,信号的“有”和“无”.采用数码 0 和 1 表示相互对立的两种状态十分方便,因此,在 数字电路中普遍采用二进制. 二进制的基数为 2, 每个数位只有两个不同的数码符号 0 和 1. 进位规则为“逢 2 进 1”. 各 数位的位权数如表 4-2 所示. 表 整数部分 位置 ? 位权数 ? 第3位
2
2

小数点 4-2 第1位
2
0

第2位
2
1

起点

第四十七课时:二进制(二) 【教学目标】
知识目标: (1) 理解二进制计数法, 了解数位和基数的概念, 会进行二进制数与十进制数间的换算. (2)理解二进制数加法和乘法的运算规则,会进行简单的二进制数加法和乘法运算. 能力目标: 通过二进制的学习,使学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
二进制的概念、二进制数与十进制数的相互换算.

【教学难点】
十进制数换算为二进制数与二进制数乘法的运算.

【课时安排】
1 课时

【教学过程】
例如,二进制数 1100100 的意义是
1? 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 .
6 5 4 3 2 1 0

将这些数字计算出来,就把二进制数换算成了十进制数.
1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1 ? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 =100.
6 5 4 3 2 1 0

为区别不同进位制的数,通常用下标指明基数.如(100)2 表示二进制中的数,(100)10 表示 十进制中的数. 由上面的计算知(1100100)2=(100)10. 【注意】 二进制数 100 与十进制数 100 表示的不是同一个数. 巩固知识 典型例题 例 1 将二进制数 101 换算为十进制数. 解

?1 0 1 ? 2

? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 1? 2

2

1

0

? 1 ? 4 ? 0 ? 2 ? 1 ? 1 ? 4 ? 0 ? 1 ? ? 5 ?1 0 .

?

动脑思考 探索新知 将十进制数换算为二进制数,其实质是把十进制数化成 2 的各次幂之和的形式,并且 各次幂的系数只能取 0 和 1.通常采用“除 2 取余法”. 具体方法是:不断用 2 去除要换算的十进制数,余数为 1,则相应数位的数码为 1;余

数为 0,则相应数位的数码为 0.一直除到商数为零为止.然后按照从高位到低位的顺 序写出换算的结果. 巩固知识 典型例题 例 2 将十进制数(97)10 换算为二进制数.
解 2 ?9 7 ??????? ? ????余 ????1???? ?? ?????? 2 位
0

?????????? 2 ??????????? ??????????? ??????????? ???????????

? 4 8 ??????? ? ????余 ???? 0 ?????? ?????? 2 位
1

? 2 4 ??????? ? ????余 ???? 0 ?????? ?????? 2 位
2

?1 2 ??????? ? ????余 ???? 0 ?????? ?????? 2 位
3

?? 6 ???????? ? ????余 ??? ?0 ?????? ?????? 2 位
4

读 数 方 向

??3???????? ? ???? 余 ????1???? ?? ???? ? ? 2 位
5 6

???????????????????????? ??? ? ???? 余 ????1???? ?? ??? ? ? ? 2 位
( 所以(97)10= 1 ? 2 6 ? 1 ? ? 2 5 ? 0 ? 2 4 ? 0 ? 2 3 ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 2 1 ? 1 ?? 2 0 )0 =(1100001)2. 1

例 3 将十进制数(84)10 换算为二进制数.
解 2 ?8 4 ??????? ? ????余 ???? 0 ???? ?? ?????? 2 位
0

?????????? 2 ??????????? ??????????? ??????????? ???????????

? 4 2 ??????? ? ????余 ????0 ?????? ?????? 2 位
1

? 2 1??????? ? ????余 ????1????? ?????? 2 位
2

?1 0 ??????? ? ????余 ????0 ?????? ?????? 2 位
3

??5 ? ??????? ? ????余 ??? ?1?????? ?????? 2 位
4

读 数 方 向

?? 2 ???????? ? ????余 ????0 ???? ? ? ???? ? ? 2 位
5 6

???????????????????????? ??? ? ????余 ????1???? ? ? ???? ? ? 2 位

所以(84)10=(1010100)2. 例 4 求 (1101)2 +(1011)2 . 解 ??1 1 0 1 +?1011 ?11000 例5 求 (1110)2 ×(101)2 .
1110 ? 101 1110 0000 ? 1110 1000110



继续探索 活动探究

(1)读书部分:教材

(2)书面作业:教材习题 4.1(必做) ;学习与

训练训练题 4.1(选做)

第四十八课时:逻辑变量(一) 【教学目标】
知识目标: (1)理解逻辑变量和真值表的概念及三种基本的逻辑运算. (2)理解逻辑代数式的概念,了解逻辑运算的优先次序. (3)会画出含三个逻辑变量的真值表,能用真值表验证逻辑等式. 能力目标: 通过逻辑运算的学习,学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
(1)逻辑变量、真值表及逻辑式的概念. (2)三种基本的逻辑运算及画真值表.

【教学难点】
画真值表.

【教学设计】
通过两个开关控制一个电灯的并联电路引出逻辑关系和逻辑变量.规定逻辑变量用大写 字母表示,逻辑变量的取值只有两个“0”和“1”.只具备两种状态的变量叫做逻辑变量.要多 举出一些例子,让学生认识到逻辑变量存在的广泛性.这两种状态分别用逻辑常量 0 和 1 来表示,因此,逻辑变量的取值只能是 0 和 1,但是它们与代数中的数字 0 和 1 有着不同的 意义. 真值表是列出逻辑变量所有可能取值及其对应逻辑代数式的值的表格. 真值表对分析 逻辑关系意义重大.两个逻辑式相等是指这两个逻辑式等值,即它们具有完全相同的真值 表.为了降低难度,列出真值表的时候,表中包含了运算过程的结果,熟练后,真值表中可 以只列出逻辑变量和逻辑式的值. 1 是利用列出真值表来验证两个逻辑式相等的题目, 例 教 学中要强调真值表的完整性.表中只涉及两个逻辑变量,如时间条件允许,可以让学生动手 画一下三个变量的真值表, 但要注意的是不要求列出四种或四种以上变量的真值表, 以降低 学习难度.例 2 是逻辑运算定义的知识巩固性题目,教学中可通过逻辑“或”的定义来完成 例题,没有必要列出真值表来进行讨论,否则将会把简单的事情搞复杂.练习 4.2.2 是关于 真值表的基本练习题,需要列出真值表来进行研究,可以让学生在课堂完成.

【课时安排】
1 课时.

【教学过程】
创设情境 兴趣导入

观察两个开关相并联的电路 (如图 4-1). 将开关 A、 与电灯 S 的状态列表如下 B (如表 4-3) :

图 4-1 开关 A 断开 断开 合上 合上 开关 B 断开 合上 断开 合上 表 4-3 可以看到,电灯 S 是否亮,取决于开关 A、B 的状态,它们之间具有因果逻辑关系.逻辑代 数研究的就是这种逻辑关系. 动脑思考 探索新知 开关 A、B 与电灯 S 的状态都是逻辑变量,用大写字母 A,B,C,?表示. 逻辑变量只能取值 0 和 1.需要说明的是,这里的值“0”和“1” ,不是数学中通常表 示数学概念的 0 和 1,而是表示两种对立的逻辑状态,称为逻辑常量.在具体问题中,可以 一种状态为“0” ,与它相反的状态为“1” . 规定开关“合上”为“1”“断开”为“0”“灯亮”为“1”“灯灭”为“0” , ; , ,则表 4 -3 可以写成表 4-4.. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 表 4-4. S 0 1 1 1 电灯 S 灭 亮 亮 亮

(转下节)

第四十九课时:逻辑变量(二) 【教学目标】
知识目标: (1)理解逻辑变量和真值表的概念及三种基本的逻辑运算. (2)理解逻辑代数式的概念,了解逻辑运算的优先次序. (3)会画出含三个逻辑变量的真值表,能用真值表验证逻辑等式. 能力目标: 通过逻辑运算的学习,学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
(1)逻辑变量、真值表及逻辑式的概念. (2)三种基本的逻辑运算及画真值表.

【教学难点】
画真值表.

【课时安排】
1 课时.

【教学过程】

(接上节)

在开关相并联的电路(如图 4-1)中,开关 A 与开关 B 至少有一个“合上”时,电灯 S 就“亮” .我们将这种逻辑关系叫做变量 A 与变量 B 的逻辑加法运算(“或”运算),并把 S 叫做 A、B 的逻辑和,记作 A+B=S(或 A∨B=S) .其运算规则如表 4-5 所示. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A+ B = S 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 表 4-5 观察两个开关相串联的电路(如图 4-2) ,当开关 A 和开关 B 同时合上时,电灯P才会亮.

图 4-2

我们把这种逻辑关系叫做变量 A 与变量 B 的逻辑乘法运算( 与” “ 运算), 并把 P 叫做 A、 B 的逻辑积,记作 A·B=P(或 A∧B=P) ,简记为 AB=P.其运算规则如表 4-6 所示. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 表 4-6 观察开关与电灯相并联的电路(如图 4-3) .当开关 A 合上时,电灯灭;当开关 A 断开 时,电灯亮. A· B=P 0· 0=0 0· 1=0 1· 0=0 1· 1=1

图 4-3 我们把这种逻辑关系叫做变量 A 的逻辑非运算, 并把 D 叫做 A 的逻辑非, 记作 D 运算规则如表 4-7 所示. A 0 1 表 4-7 【注意】 这里 0 的意思是“非 0” ,既然不为 0,那么只能是 1.同样, 1 的意思是“非 1” ,只能是 0. =D
0 ?1

? A

. 其

1? 0

(转下节)

第五十课时:逻辑变量(三) 【教学目标】
知识目标: (1)理解逻辑变量和真值表的概念及三种基本的逻辑运算. (2)理解逻辑代数式的概念,了解逻辑运算的优先次序. (3)会画出含三个逻辑变量的真值表,能用真值表验证逻辑等式. 能力目标: 通过逻辑运算的学习,学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
(1)逻辑变量、真值表及逻辑式的概念. (2)三种基本的逻辑运算及画真值表.

【教学难点】
画真值表.

【课时安排】
1 课时.

【教学过程】

(接上节)

运用知识 强化练习 1.填表: A 0 0 1 1 2.填表: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB AB+ =D B 0 1 0 1
A B

A+B

A· B

动脑思考 探索新知 由常量 1、0 以及逻辑变量经逻辑运算构成的式子叫做逻辑代数式,简称逻辑式.例如

A+B,AB,AB+ A ,A,1,0 等都是逻辑式.这里我们把表示常量的 1 和 0 及单个变量都看作是逻辑式. 逻辑运算的优先次序依次为“非运算”,“乘运算”,“加运算”.比如 D= A B+C 的运算顺 序应为:先计算 A ,再计算 A B,最后计算 A B+C.对于添加括号的逻辑式,首先要进行括 号内的运算. 【想一想】 逻辑代数式与普通代数式有什么异同? 将各逻辑变量取定的一组值代入逻辑式,经过运算,可以得到逻辑式的一个值(0 或 1) .例如 A B
? AB.

当 A = B = 0 时,有
A B ? A B ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1,

当 A = 0,B = 1 时,有
A B ? A B ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 0 ? 1.

列出 A,B 的一切可能取值与相应的逻辑式 A B 表.例如,表 4-8 就是 A B ? A B 的真值表. A 0 1 0 1 表 4-8【注意】 B 0 0 1 1

? AB

值的表, 叫做逻辑式 A B

? AB

的真值

AB ? AB

1 0 0 1

真值表必须列出逻辑变量所有可能取值所对应的函数值. 两个逻辑变量有 2 2 取值,三个逻辑变量有 2 3
?8

? 4

种可能

种可能取值,?,n 个逻辑变量有 2 n 种可能取值.

如果对于变量 A、B、C 的任何一组取值,两个逻辑式的值都相同,这样的两个逻辑式叫做 等值逻辑式,等值逻辑式可用等号“=”连接,并称为等式,如(A+B)C=AC+BC.需要注意, 这种相等是状态的相同.

第五十一课时:逻辑变量(四) 【教学目标】
知识目标: (1)理解逻辑变量和真值表的概念及三种基本的逻辑运算. (2)理解逻辑代数式的概念,了解逻辑运算的优先次序. (3)会画出含三个逻辑变量的真值表,能用真值表验证逻辑等式. 能力目标: 通过逻辑运算的学习,学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
(1)逻辑变量、真值表及逻辑式的概念. (2)三种基本的逻辑运算及画真值表.

【教学难点】
画真值表.

【课时安排】
1 课时.

【教学过程】

(接上节)

巩固知识 典型例题 例1 用真值表验证下列等式:

(1) A ? B ? A B; (2)
A B ? AB ? ( A ? B )( A ? B ).

分析

真值表的行数取决于逻辑变量的个数,题目中有两个逻辑变量,真值表有四行.

解(1)列出真值表: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A+B 0 1 1 1
A?B

A

B

AB

1 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

可以看出对于逻辑变量的任何一组值, A ? B 与 A B 的值都相同,所以 A ? B ? A B. (2)列出真值表 A 0 0 B 0 1
AB
AB
A B ? AB

A? B

A+B 0 1

( A ? B )( A ? B )

0 0

0 1

0 1

1 1

0 1

1 1

0 1

1 0

0 0

1 0

1 0

1 1

1 0
B )( A ? B )

可以看出对于逻辑变量的任何一组值, A B ? AB 与 ( A ?
A B ? AB ? ( A ? B )( A ? B ).

的值都相同,所以

例 2 如图 4-4 所示,开关电路中的灯 D 的状态,能否用开关 A,B,C 的逻辑运算来 表示?试给出结果.

图 4-4 分析 这个电路是开关 A,B,C 相并联的电路,三个开关中至少有一个“合上”时,

电灯 D 就亮,所以使用逻辑加法. 解 D=A+B+C . 运用知识 强化练习 用真值表验证等式 A B ? A ? B . 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 本课学习的三种逻辑关系分别是什么? 结论: 逻辑和 逻辑积 逻辑非 继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 4.2(必做) ;学习与训练训练题 4.2(选做) (3)实践调查:用开关的逻辑运算表示一简单电路

第五十二课时:逻辑图与逻辑代数的运算律(一) 【教学目标】
知识目标: (1)理解逻辑函数的概念,掌握逻辑函数的表示法. (2)会画逻辑函数的逻辑图. (3)了解逻辑代数的运算律及利用运算律化简逻辑式. 能力目标: 通过对逻辑式化简的学习,使学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
(1)逻辑函数与逻辑图. (2)逻辑代数的运算律.

【教学难点】
(1)逻辑图. (2)用运算律化简逻辑式. (3)掌握逻辑门的符号.

【教学设计】
数字逻辑电路是计算机、 电工电子等专业的专业课程, 它是建立在逻辑代数的基础上. 正 确把握逻辑表达式、 逻辑图、 真值表之间的关系是分析数字逻辑电路的基础, 而逻辑表达式、 逻辑图、真值表之间的相互换算是数字逻辑电路的主要任务之一.因此,让学生掌握逻辑图 与逻辑代数运算律的相关知识非常必要. 逻辑函数是反映逻辑变量之间关系的函数. 写法上 与普通函数相类似,逻辑函数一般用逻辑式来表示,这个逻辑式叫做逻辑函数的表达式.例 1 是逻辑电路图的知识巩固性题目,教学中要强调画出逻辑电路图的步骤和方法,注意逻辑 运算的优先次序;强调输入端和输出端.教学中要首先分析逻辑表达式,明确逻辑关系,然 后再结合基本门电路符号画出逻辑图. 利用运算律化简逻辑式不要要求过高, 这里需要许多 运算技巧,学生不可能短时间内掌握.教学重点是认识化简前后逻辑式,看到逻辑式化简的 好处. 了解化简的基本步骤, 明确逻辑表达式中的项数最少和变量出现的次数最少是化简完 成的目标.例 2 是感知利用运算律化简逻辑式的新知识介绍性题目.

【课时安排】
1 课时

【教学过程】
揭示课题 4.3 逻辑图与逻辑代数的运算律

*动脑思考 探索新知 4.3.1 逻辑函数与逻辑图 反映逻辑变量之间关系的函数叫做逻辑函数.逻辑函数中的自变量是逻辑变量,取值 范围为 1 和 0.与普通代数相类似, 逻辑函数可以写作 Y B、C 为自变量,逻辑变量 Y 为因变量的函数. 用“逻辑加”“逻辑乘”“逻辑非”等运算表示函数与各个变量间逻辑关系的式子叫做 、 、 逻辑函数的表达式.例如,
Y ? f ( A、 B ) ? A ? A B

? f ( A、 B 、 C )

, 其中, 逻辑变量 A、



逻辑函数还可以用逻辑图表示. 前面讨论的电路图都是用开关、电灯等元件组成的,随着电子技术的不断发展,能够实 现各种逻辑运算的电子线路装置(称为逻辑元件)已经被人们普遍采用.我们把能实现逻辑 加运算的元件叫做“或”门,实现逻辑乘运算的元件叫做“与”门,实现逻辑非运算的元件 叫做“非”门. “或”门电路、 “与”门电路、 “非”门电路统称为门电路.它们的图示分别 如图 4-5 中的(1)(2)(3)所示. 、 、

(1)“与” 门 图 4?5

(2)“或” 门

(3)“非” 门

其中 A、B 叫做输入变量,P 叫做输出变量.用门电路连接逻辑线路的图叫做逻辑图. 巩固知识 典型例题 例 1 画出逻辑函数 Y
? A? BA

的逻辑图.

分析 按照逻辑运算的优先顺序,顺次联结各门电路图示. 解 逻辑图如图 4-6 所示.

图 4?6

第五十三课时:逻辑图与逻辑代数的运算律(二) 【教学目标】
知识目标: (1)理解逻辑函数的概念,掌握逻辑函数的表示法. (2)会画逻辑函数的逻辑图. (3)了解逻辑代数的运算律及利用运算律化简逻辑式. 能力目标: 通过对逻辑式化简的学习,使学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
(1)逻辑函数与逻辑图. (2)逻辑代数的运算律.

【教学难点】
(1)逻辑图. (2)用运算律化简逻辑式. (3)掌握逻辑门的符号.

【课时安排】
1 课时

【教学过程】
动脑思考 探索新知 4.3.2 逻辑代数的运算律 普通代数有加、 乘、 乘法、 减、 除、 开方等多种运算, 但是逻辑运算只有三种基本运算. 与 普通代数相类似,逻辑代数也有许多运算律.现将常用的运算定律列表如下: (1)基本的“逻辑加”“逻辑乘”“逻辑非”运算定律(如表 4-9 所示) 、 、 序号 (1) (2) (3) 运算律
A?0? A A?0 ? 0

序号 (4) (5) (6)

运算律
A ?1?1 A ?1 ? 1

序号 (7) (8) (9)

运算律
A? A ? A A?A ? A

A? A ?1

A?A ?1

A ? A

表 4-9 (2)其他运算定律(如表 4-10) 名称 序号 运算律

(1) 交换律 (2) (3) 结合律 (4) (5) 分配律 (6) (7) 吸收率 (8) (9) 反演律 (10)

A+B=B+A A· B=B· A A+(B+C)=(A+B)+C A· C)=(A· · (B· B) C
A(B ? C ) ? A ? B ? A ? C A ? B ? C ? ( A ? B )( A ? C )

A+AB=A A(A+B)=A
A?B ? A ? B A ? B ? A?B

表 4-10 上述运算律可以通过真值表进行验证. 利用这些运算律可以化简逻辑式. 化简逻辑式一 般要完成下面几个步骤: (1)将被加项中的括号去掉; (2)使被加项的项数最少;十(3)基本逻辑变量出现的次数最少. 巩固知识 典型例题 解 例 2 化简: (1) A B ? B ; (2) BC ? C.

(1) A B ? B ? ( A ? B ) ? B
? A ? (B ? B)
? A? B;

(反演律) (结合律) (基本运算律 7) (反演律) (反演律) (基本运算律 4) (基本运算律 5)

(2) BC ? C ? BC ? C
? ( B ? 1) C

? 1?C ?C .

理论升华 整体建构 : 化简逻辑式一般要完成哪些步骤? 结论:化简逻辑式一般要完成下面几个步骤: (1)将被加项中的括号去掉; (2)使被加项的 项数最少; (3)基本逻辑变量出现的次数最少. 继续探索 活动探究(1)读书部分:教材(2)书面作业:教材习题 4.3(必做) ;学习与训练 训练题 4.3(选做)

第五十四课时:卡诺图及其应用(一) 【教学目标】
知识目标: (1)理解逻辑函数最小项表达式的概念及获得函数的最小项表达式的方法. (2)理解卡诺图的概念. 能力目标: 通过逻辑式化简的学习,学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
逻辑函数的卡诺图表示.

【教学难点】
理解卡诺图的概念.

【教学设计】
本节内容之间知识的连续性很强,最小项的概念、最小项表达式、卡诺图、化简函数是 环环相扣的. 因此教学注重过程, 明晰目标, 注重概念的理解和方法的认识, 不搞解题训练. 采 用三个逻辑变量来描述最小项的特征是有代表性的. 教学中可以首先写出两个逻辑变量函数 的所有组合,结合二进制的赋值来导入课程,引入概念.然后将三个逻辑变量的最小项作为 练习引导学生完成. 将一般逻辑函数化成为最小项表达式是本节的重点之一, 教学中应明确 步骤和方法,通过例 1 进行演示,它是卡诺图化简的关键.函数的最小项表达式,是将函数 表示为最小项的逻辑和的形式,俗称“与—或”式,主要是利用逻辑运算法则进行配项.例 1 是介绍这部分内容的题目,教学中要强调解题的步骤和方法,注意化简后将最小项依照规 定的次序排序书写. 本章中主要是通过两个变量及三个变量的卡诺图来介绍利用卡诺图化简 逻辑式的方法.为了降低难度,不要介绍四个变量的卡诺图.理解卡诺图与逻辑函数最小项 之间的关系是画好卡诺图的关键, 卡诺图的学习中, 卡诺图和最小项表达式的互换是重点. 将 函数的逻辑函数表达式化为最小项表达式是关键.

【课时安排】
1 课时.

【教学过程】
动脑思考 探索新知 4.4.1 逻辑函数的最小项表达式 由三个逻辑变量,可以构成许多乘积项.其中有一类项具有如下的特征: (1)每一项只有 3 个因子,而且包含了全部的三个变量;

(2)每个变量作为因子在各项中只出现一次. 具备这两个特征的项叫做这三个逻辑变量的逻辑函数的最小项. 三个逻辑变量 A、B、C 的逻辑函数的最小项有 8 个.将逻辑变量 A、B、C 都赋值 1;
B C 逻辑变量 A 、 、 都赋值 0.将赋值后对应项的值,作为二进制数换算成为十进制数,作为该

项的下标.列表如下(如表 4-11) : 表 4-11 最小项
?

赋值

?

最小项的编 号

ABC

?

000 001 010 011 100 101 110 111

?

m0

ABC

?

?

m1

A BC

?

?

m2

A BC

?

?

m3

ABC

?

?

m4

ABC

?

?

m5

ABC

?

?

m6

ABC

?

?

m7

一般地, n 个逻辑变量,可以构成 2 n 个最小项.利用真 值表可以验证,最小项具有下面的性质(以三个自变量为例) : (1)所有的最小项相加,其和为 1.即 (2)任意两个最小项的积都是 0.如
m 4 m 6 ? A B C ? A B C ? ( A ? A )( C ? C )( B B ) ? AC ? 0 ? 0
m 0 ? m 1 ? m 2 ? m 3 ? m 4 ? m 5 ? m 6 ? m 7 ? 1.

(3)只有一个因子不同的两个最小项,叫做逻辑相邻的最小项.可以消去一个因子,合 并成一项.例如
m 6 ? m 7 ? A B C ? A B C ? A B (C ? C ) ? A B ? 1 ? A B



(4)任意一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和形式,叫做最小项表达式 ( “与?或”表达式) .例如
f ( A, B , C ) ? AB C ? A B C ? A B C ? m 2 ? m 4 ? m 7.

为了获得函数的最小项表达式,首先要将逻辑函数展开成“逻辑和”与“逻辑积”的形 式( “与?或”表达式) ,然后将因子不足的项进行配项补足.

第五十五课时:卡诺图及其应用(二) 【教学目标】
知识目标: (1)理解逻辑函数最小项表达式的概念及获得函数的最小项表达式的方法. (2)理解卡诺图的概念. 能力目标: 通过逻辑式化简的学习,学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
逻辑函数的卡诺图表示.

【教学难点】
理解卡诺图的概念.

【课时安排】
1 课时.

【教学过程】
巩固知识 典型例题 例 1 将逻辑函数 解
f ( A , B , C ) ? A B ? B C ? AB C

表示为最小项表达式.

f ( A, B, C ) ? A B ? B C ? AB C

? A B ( C ? C ) ? ( A ? A ) B C ? AB C

? A B C ? A B C ? A B C ? AB C ? AB C

? A B C ? A B C ? AB C



【试一试】 将逻辑函数 运用知识 强化练习 (1) Y

f ( A, B , C ) ? A B ? A B C ? AB

表示为最小项表达式.

将下列各逻辑函数表达式表示为最小项表达式: (2)
Y ? B C ? AC ? A B C ;

? A C ? B C ? AB ;

(3)

Y ? A B ? B C ? A B C.

动脑思考 探索新知 4.4.2 卡诺图 利用运算律来化简逻辑函数表达式,需要一系列的推导,一般是比较复杂的.实际中, 这种化简过程可以利用“卡诺图”来完成. 卡诺图是一张表, 除了直接相邻的两个格称为相邻外, 表中最左边一行的小方格与最右 边一行的对应方格也称为相邻,最上面一行的小方格与最下面一行的对应方格也称为相邻 的.就像我们把画有表格的纸卷成筒一样. 将逻辑函数每个最小项用一个小方格表示, 再将这些小方格进行排序, 使得相邻的小方

格中的最小项在逻辑上也是相邻的,这样的图形叫做卡诺图. 下面是两个逻辑变量的卡诺图(如图 4?8) :

图 4?7

为了清楚地看出卡诺图与逻辑函数表达式之间的关系,我们将卡诺图画成下面的形式 (图 4?9) :
B

B 1
m1

A
A

B 0 1

0
m0

A

m2

m3

三个逻辑变量的卡诺图为(如图 4-10) : 图 4?10 k 个逻辑变 图,要画出 A BC
BC BC
BC

BC

量的卡诺
2
k

00

01

11
m3

10
m2

个 方

m0 m1 0 格.每个方 A 小项相对 m4 m5 A 1 编号与最小 同. 运用知识 强化练习 画出下列各逻辑函数的卡诺图:

m7

m6

格与一个最 应,方格的 项的编号相

(1)

f ( A, B , C ) ? A B C

; (2)

f ( A, B, C ) ? AC.

理论升华 整体建构 什么叫卡诺图? 将逻辑函数每个最小项用一个小方格表示, 再将这些小方格进行排序, 使得相邻的小方格中 的最小项在逻辑上也是相邻的,这样的图形叫做卡诺图 继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 4.4(必做) ;学习与训练训练题 4.4(选做) (3)实践调查:画出一道逻辑函数的卡诺图

第五十七课时:卡诺图及其应用(三) 【教学目标】
知识目标: 掌握逻辑函数卡诺图的表示法,并会利用卡诺图进行逻辑式的化简. 能力目标: 通过对逻辑式化简的学习,学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
利用卡诺图进行逻辑式的化简.

【教学难点】
利用卡诺图进行逻辑式的化简.

【教学设计】
例 2 是作出三个变量的函数的卡诺图表示的题目.例 3 是根据卡诺图写成函数的最小项 表达式的题目,需将逻辑常量 1 对应的项挑出来并写成逻辑和的形式.通过这两道例题,让 学生熟悉函数的卡诺图表示. 4 是利用卡诺图化简逻辑函数的示例, 例 教学中要强调解题的 步骤和方法,强调如何有效地圈完所有的“1”.教材中给出了利用卡诺图化简逻辑函数表达 式的五个步骤,结合例 5 强化这些步骤.

【课时安排】
1 课时

【教学过程】
动脑思考 探索新知 将逻辑函数写成最小项表达式, 在各最小项所对应的小方格内填入“1”, 其他方格内填入“0”, 得这个函数的卡诺图表示. 巩固知识 典型例题 例 2 作出逻辑函数 Y 分析 解
? A BC ? B C ? AB C

的卡诺图表示

首先将逻辑函数用最小项表达式表示,然后画出卡诺图.
Y ? A BC ? B C ? AB C

? A BC ? ( A ? A ) B C ? AB C

? A BC ? A B C ? AB C ? m4 ? m6 ? m2



在三个逻辑变量的卡诺图中, m4、 6、 2 对应的小方格中填入“1”, 将 m m 其余位置填入“0”

(如图) ,得到已知函数卡诺图.
BC BC
BC

BC

A
A

BC 0 1

00 0 1

01 0 0

11 0 0

10 1 1 探索新知

A 动脑思考

给出逻辑函数的最小项表达式,可以画出卡诺图,反过来,给出逻辑函数的卡诺图,可以写 出逻辑函数的最小项表达式. 方法是, 将填 1 的方格对应的最小项写出来, 然后将各项相加. 巩固知识 典型例题 例 3 根据下面的卡诺图(如图 4-11)写出函数的最小项表达式.
BC BC
BC
BC

A
A

BC 0 1

00 0 0

01 1 0

11 0 1

10 1 0

A

图 4-11 解 函数的最小项表达式为 Y 运用知识 强化练习 1 画出下列函数的卡诺图: (1) Y
? AB ? BC ? ABC ? A BC ? AB C ? A B C

.

; (2) Y

? A B ? B ? AC



2 根据下面的卡诺图写出函数的最小项表达式. 第 2 题图
BC BC
BC
BC

A
A

BC 0 1

00 1 0

01 0 1

11 0 1

10 1 0

A

第五十八课时:卡诺图及其应用(四) 【教学目标】
知识目标: 掌握逻辑函数卡诺图的表示法,并会利用卡诺图进行逻辑式的化简. 能力目标: 通过对逻辑式化简的学习,学生的数学思维能力得到锻炼和提高.

【教学重点】
利用卡诺图进行逻辑式的化简.

【教学难点】
利用卡诺图进行逻辑式的化简.

【课时安排】
1 课时

【教学过程】
动脑思考 探索新知 由于卡诺图相邻的两个方格内,对应的是逻辑相邻的最小项,可以合并成一项,并消去以相 反状态出现的 1 个变量(因子) ;相邻的四个最小项,可以消去 2 个变量;相邻的八个最小 项,可以消去 3 个变量. 巩固知识 典型例题 例 4 逻辑函数 Y 图 4-12 写出 化 A 函数表达
A
? A BC ? AB C ? AB C ? A BC

的卡诺图表示为
BC
BC

BC

BC

BC 0

简后的逻辑 00 0 01 1 11 1 10 式. 1

解 将相邻 的 1 圈起 A 1 0 1 0 0 来.观察左 边的圈,无 论 A 的取值 如何,只要 BC 为 01,结果就为 1;观察右边的圈,无论 C 的取值如何,只要 AC 为 01,结果就为 1. 所以,化简后的逻辑函数表达式为 Y 动脑思考 探索新知
? BC ? AB.

“圈 1”时需要注意:

(1)圈内的相邻项,只能为 2 项、4 项或 8 项,并且圈的个数尽量少; (2)有些方格可能多次被圈,但是每个圈内的方格,不能都是其他圈所圈过的. 利用卡诺图化简逻辑函数表达式的基本步骤是: (1)将表达式用最小项的和表示; (2)画出函数的卡诺图; (3)在卡诺图中“圈 1”

(4)消去各圈中以相反状态出现的变量 (5)写出化简后的逻辑函数表达式. 巩固知识 典型例题 例 5 化简 Y 解
Y ? A ( B C ? BC ? B C ? B C ) ? A BC ? A B C ? A B C ?
A BC ? A B? C A B C ? A?B C A B C ? A ? A BC ? A B C .

? A B C ? A BC ? AB C ? AB C ? A BC ? A B C ? m 0 ? m 1 ? m 2 ? m 3 ? m 5 ? m 7



对应的卡诺图(如图 4-13)为 00 0 1 观察上面的 1 0 01 1 1 11 1 1 10 1 0 圈,无论 B 和 C

取值如何,只要 A 取 0,结果就为 1;观察中间的圈,无论 B 和 A 的取值如何,只要 C 取 1, 结果就为 1.因此, 运用知识 强化练习 化简 Y
? AB ? A BC ? B C Y ? A?C





理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 利用卡诺图化简逻辑函数表达式的基本步骤是什么? 结论: 利用卡诺图化简逻辑函数表达式的基本步骤是: (1)将表达式用最小项的和表示; (2)画出函数的卡诺图; (3)在卡诺图中“圈 1” ; (4)消去各圈中以相反状态出现的变量; (5)写出化简后的逻辑函数表达式. 继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 4.4(必做) ;学习与训练训练题 4.4(选做) (3)实践调查:画出一道逻辑函数的卡诺图

第五十九课时:应用举例(一) 【教学目标】
知识目标: 通过应用实例,使学生理解根据实际问题写出真值表、得到逻辑表达式,化简逻辑表达 式,画出逻辑图等一系列解题思路. 能力目标: 学生通过熟悉利用本章知识解决相关问题的过程, 提高应用数学知识解决实际问题的能 力.

【教学重点】
利用逻辑代数解决实际生产中应用问题的方法和步骤.

【教学难点】
理解题意并列出真值表,利用逻辑表达式画出逻辑图.

【教学设计】
例 1 开关电路设计问题.解题关键是正确做出真值表.例 2 是利用逻辑代数解决实际应 用问题的案例,体现了根据逻辑状态做出真值表、写出逻辑表达式,化简逻辑表达式,再画 出逻辑图的全过程. 3 是利用逻辑代数化简逻辑电路的案例. 例 由已知的逻辑电路图写出逻 辑表达式、然后利用卡诺图化简并画出化简后的逻辑图.从而既强化了逻辑图、表达式间的 关系由让学生看到逻辑函数化简的意义. 4 是生产中的实际问题, 例 直接利用定义得到了逻 辑函数表达式.

【课时安排】
1 课时.

【教学过程】
巩固知识 典型例题 例1 某跃层住宅一层和二层之间的楼梯口装有一盏电灯 D.设计电路用开关 A、 B 控制电灯,即改变任意一个开关的状 态,都能改变电灯的状态.写出这个电路的逻辑表达式. 分析 解 列出开关 A、B 及电灯 D 的真值表进行分析. 列出真值表: A 0 1 B 0 0 D 0 1

1 0

1 1

0 1

由真值表中清楚地看到,电灯只在两种情况下,才被点亮; (1)开关 A 闭合(A=1)开关 B 切断(B=0)时; (2)开关 A 切断(A=0)开关 B 闭合(B=1)时. 也就是说,仅在两种情况下 由此得到逻辑式
D ? A B?

D=1 成立: (1) A B ? 1 成立; (2) AB ? 1 成立.
A. B

可以用两个“一刀双掷开关”来实现这个线路,电路图如图 4-14 所示

图 4?14 说明: “一刀双掷开关”A 的两种状态为 A 和 A ,如图 4?14 所 动脑思考 探索新知 解决这类问题的主要步骤是: (1)搞清楚全部已知条件(设计要求) ; (2)列出相应的表格(真值表) ; (3)导出符合要求的逻辑关系式,并进行化简; (4)设计开关电路图或逻辑图. 巩固知识 典型例题 例2 在举重比赛中,有 A,B,C 三位裁判,当两位或两位以上裁判认为运动员动作

合格,才可以发出举重成功的信号. (1)列出逻辑状态表并写出逻辑关系式; (2)化简逻辑关系式,并画出逻辑图.

(转下节)

第六十课时:应用举例(二) 【教学目标】
知识目标: 通过应用实例,使学生理解根据实际问题写出真值表、得到逻辑表达式,化简逻辑表达 式,画出逻辑图等一系列解题思路. 能力目标: 学生通过熟悉利用本章知识解决相关问题的过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力.

【教学重点】 利用逻辑代数解决实际生产中应用问题的方法和步骤. 【教学难点】 理解题意并列出真值表,利用逻辑表达式画出逻辑图. 【课时安排】 1 课时. 【教学过程】
解 (1)每位裁判控制一个开关,如果他赞成,就按开关,表示为 1;如果不赞成,

不按开关,表示为 0.表决结果用指示灯 E 来表示,如果多数赞成,则指示灯亮,E=1;反之 则灯不亮,E=0.按题目要求列出真值表. A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 E 0 0 0 1 0 1 1 1

观察真值表,只在四种情况下指示灯亮,因此,逻辑关系式为
E ? AB C ? A BC ? A B C ? A B C . (2)画出对应的卡诺图(图

4?15)

画出逻辑图

A B C

& & & ≥1 E

例 3 写出下面逻辑图(如图 4-17)的逻辑表达式,并将其化简,针对化简后的逻辑表 达式,再画出逻辑图.



观察图 4?17,可以得到逻辑表达式为

F ? A B ? A C?

B C

作出逻辑函数的卡诺图如下(如图 4?18) .
BC BC
BC

BC

BC A 0 1

00

01

11

10 图 4?18 察卡诺图, 的逻辑表达

A

0 0

1 0

1 1

0 1

观 得到化简后 式为 F
? A B ? AC

A

.

化简后逻辑表达式对应的逻辑图如图 4-19 所示.

运用知识 强化练习

用三个信号 A,B,C(有信号为 1,无信号为 0)控制一个灯(灯亮

为 1,不亮为 0) ,至少要有两个信号,灯 D 才能亮.试设计该开关电路图,并画出逻辑图. 继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材

(2)书面作业:教材习题 4.5(必做) ;学习与训练训练题 4.5(选做) (3)实践调查:运用本节课所学知识解决实际问题



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