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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三数学9月月考试题理201909160159

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2020 届高三数学 9 月月考试题 理

第Ⅰ卷 (选择题, 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

1. 设全集U =R ,集合 A ? ?x | log2 x ? 2?, B ? ?x | ?x ?3??x ?1? ? 0? ,则 ?CU B? A ?

A. ???, ?1?

B.?x | x ? ?1或0 ? x ? 3? C.?0,3?

D. ? 0, 3?

2.设 a、b 是非零向量,则“ a=2 b ”是“ a = b ”成立的 |a| |b|

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不

必要条件

2

2

3.已知

a

?

? ??

1 3

?3 ??

,b

?

? ??

1 2

?3 ??

,c

?

log3?

,则

a,b, c

的大小关系为

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a

4.已知 AB ? (2,3),AC ? (3, t), BC ?1 ,则 AB ? BC ?

A.-3

B.-2

C. 2

D. 3

5.已知函数 y ? lg(x ? x2 ? a2 ) 是定义在 R 上的奇函数,且函数 g(x) ? x2 ? a 在 ?0, ??? 上
x 单调递增,则实数 a 的值为

A. ?1

B. ?2

C.1

D.2

6.在 ABC 中, D 为 BC 中点,O 为 AD 中点,过 O 作一直线分别交 AB、AC 于 M、N

两点,若 AM ? x AB, AN ? y AC ( xy ? 0 ),则 1 ? 1 ? xy

A. 3

B. 2

C. 4

D. 1 4

7.函数 f (x) ? sin(?x ??) ( ? < π )的图象如图所示,为了得到 g(x) ? sin 3x 的图象,
2

只需将 f (x) 的图象

A.向右平移 π 个单位长度 4

B.向左平移 π 个单位长度 4

1

C.向右平移 π 个单位长度 12

D.向左平移 π 个单位长度 12

8.若非零向量 a、b 满足 a ? b ,向量 2a ? b 与 b 垂直,则 a 与 b 的夹角为

A. 150

B. 120

C. 60

D. 30

9.设 A、B、C 是半径为 1 的圆上三点,若 AB ? 3 ,则 AB ? AC 的最大值为

A. 3+ 3

B. 3 + 3 2

10.已知函数 f (x) ? ln x ,则 4?x

C. 3

D. 3

A. y ? f (x) 的图象关于点 (2, 0) 对称

B. y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 2 对称

C. f (x) 在 (0, 4) 上单调递减

D. f (x) 在 (0, 2) 上单调递减,在 (2, 4) 上

单调递增

11 . 已 知 函 数 f (x) ? a sin x ? 3 cos x 的 图 像 的 一 条 对 称 轴 为 直 线 x ? 5? , 且 6

f (x1) ? f (x2 ) ? ?4 ,则 x1 ? x2 的最小值为

A. ? ? 3

B. 0

C. ?

3

D. 2? 3

12.设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,?x ? R ,都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,且当 x ?[0, 2]

时, f (x) ? 2x ? 2,函数 g(x) ? f (x) ? loga (x ?1) ?a ? 0, a ? 1? 在区间 (?1, 9]内恰有三

个不同零点,则实数 a 的取值范围是

A. (0, 1) ( 7, ? ?) 9
C. (1 , 1) ( 3, 7) 95

B. (1 , 1) (1, 3) 9
D. (1 , 1) ( 5, 3) 73

第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上)
13. 已知 a ? (3, 4) ,b ? (t, ?6) ,且 a, b 共线,则向量 a 在 b 方向上的投影为__________..

14.

已知 ?

??0,?

?



cos

? ??

?

?? 6

? ??

?

3 .则 cos? 5

? _________.

15. 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 3 ,且 AE ? 2 EC ,连接 BE 交 CD 于 F ,则

2

? ? CA ? 2BF

?

? ??

1 3

CA

?

4BF

? ??

?

______________

16. 如图,设 ?ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c , a cosC ? c cos A ? bsin B ,

且 ?CAB ? ? .若点 D 是 ?ABC 外一点, DC ? 2, DA ? 3,则当四边形

6

ABCD 面积最大时, sin D ?



D

C

A

B

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)
已知函数 y ? f (x) 与函数 y ? ax (a ? 0, 且 a ? 1) 图象关于 y ? x 对称
(Ⅰ)若当 x ??0, 2?时,函数 f (3 ? ax) 恒有意义,求实数 a 的取值范围;
(Ⅱ)当 a ? 2 时,求函数 g(x) ? f ( x ) ? f (2x) 最小值.

18.(本小题满分 12 分)
已知 ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,面积为 S ,且 c2 ? a2 ? b2 ? 4 3 S . 3
(Ⅰ)若 c2 ? 5a2 ? ab ,求 sin B ; sin A
(Ⅱ)若 c ? 21 , S ? 3 ,求 a ? b 的值.

19.(本小题满分 12 分)
3

已知函数 f (x) ? 2 cos x( 3 sin x ? cos x) . (I)求函数 f (x) 的最小正周期和对称中心坐标; (II)讨论 f (x) 在区间[0, ? ]上的单调性.
2

20.(本小题满分 12 分)
已知 ?ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c , a sin A ? C ? b sin A . 2
(Ⅰ)求 B ;
(Ⅱ)若 ?ABC 为锐角三角形,且 c ? 1, 求 ?ABC 面积的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x? ? x ? 2sin x .

(Ⅰ)求函数

f

?x?在

????

? 3

,? 3

? ??

上的最值;

(Ⅱ)若存在

x

?

? ??

0,

? 2

? ??

,使得不等式

f

?x?

?

ax 成立,求实数

a

的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x ln x, g(x) ? a(x ?1) . (Ⅰ)若 f (x) ? g(x) 恒成立,求实数 a 的值; (Ⅱ)存在 x1, x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 , f (x1) ? f (x2 ) ,求证: f '( x1 ? x2 ) ? 0 .
4

哈师大附中 2017 级高三上学期月考数学试题(理科)答案

一、选择题

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案 D

B

D

C

A

C

C

B

B

A

D

C

二、填空题

13.

14.

三、解答题 17. (本大题满分 10 分)

15.

16.

解:(Ⅰ)实数 的取值范围

(II)



,则

所以, 18.(本大题满分 12 分)

解:(Ⅰ)由余弦定理可得:



可得:

由正弦定理可得:

.

(II) 19.(本大题满分 12 分) 解:(Ⅰ)
,对称中心为
5

(II)增区间 减区间

20.(本大题满分 12 分)

解:(Ⅰ)

,由正弦定理可得:

所以,

.

(II)由正弦定理可得:



为锐角三角形可得

所以, 方法二:

面积的取值范围为:

6

21.(本大题满分 12 分) 解:(Ⅰ)



单调递增



当 令



时,





递减,









递增,



时 存在

递增,

递减,

综上可知,实数 的取值范围 22.(本大题满分 12 分)

解:(Ⅰ)

,恒成立

,不成立; ,恒成立;
7

令 ①当 ②当

时, 时,

,则



是减区间,

是增区间

,不符合题意,舍去.

所以,

在 递增,

递减

,在 取等号,即:

(II)

令 .



递减;在

递增,



可知



(*)

要证

成立

只需证:

由(*)可知:即证



,即证:

8



所以,



所以,

所以,

.

9


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