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高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课堂探究新人教B版必修3资料


高中数学 第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特 征课堂探究 新人教 B 版必修 3
1.平均数、中位数、众数的区别与联系 剖析: 平均数在度量一组数据的集中化趋势的统计量中是应用最广泛的. 计算平均数时 全部数据都参加运算,因此,用它来反映一组数据的集中化趋势的代表性比较好.但是它也 有缺点, 主要的问题是平均数是根据一组数据中的全部数据来计算的, 会受到数据中那些没 有代表性的极端值的影响.因此,有时在计算平均数时,先剔除个别缺乏代表性的特殊值, 所得到的结果可能会更具有代表性. 中位数主要受一组数据中的中间位置上的数值的影响, 用中位数来反映一组数据中各数 据大小的一般水平并不很精确.但中位数计算简单,与平均数相比,中位数不受数据中极端 值的影响.从这个意义出发,它可以作为数据平均指标的代表值. 众数并没有通常意义上的“平均”的含义. 但众数在数据中出现的次数最多, 说明该数 值在数据中最具有代表性. 众数不会受到数据中极端值的影响, 但并不是每一组数据都是具 有众数的.对于分组数据而言,众数常常依赖于分组的情况,分组数改变时,众数可能就有 较大的变化,稳定性较差.同时众数也可能是不唯一的. 2.方差、极差和标准差的特点 剖析:方差、极差和标准差是从不同角度描述一组数据的离散趋势的.它们各自的特点 及应用如下: 虽然极差没有充分利用数据,不能提供更确切的信息,但由于只涉及两个数据,计算非 常简便,所以极差在实际现场检查时经常利用,但极差没有考虑各中间值. 方差充分利用了所得到的数据,提供了更确切的信息.在统计中,方差能够较好地区别 出不同组数据的分散情况或程度, 但方差的单位是原始观测数据的单位的平方. 而标准差能 够和方差一样区分数据的分散情况,且其单位与原始观测数据的单位相同. (1)当标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离 散性. (2)数据组 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,方差为 s ,标准差为 s,则数据组 ax1+b,
2

ax2+b,?,axn+b(a,b 为常数)的平均数为 a x +b,方差为 a2s2,标准差为 as.

题型一 用众数、中位数、平均数估计总体 【例 1】 某工厂人员及工资构成如下表: 人员 周工资 经理 2 200 管理人员 250 高级技工 220 工人 200 学徒 100 合计

1

人数

1

6

5

10

1

23

(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数. (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗?为什么? 分析:本题着眼于众数、中位数、平均数各自的特点,以及适用对象. 解: (1)由题中表格可知: 众数为 200, 中位数为 220, 平均数为(2 200+250×6+220×5 +200×10+100)÷23=300(元/周). (2)虽然平均数为 300 元/周, 但从题中表格中所列出的数据可见, 只有经理在平均数以 上,其余的人都在平均数以下,故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平. 反思 平均数受数据中的极端值的影响较大, 降低了对总体估计的可靠性, 这时平均数

反而不如众数、中位数更客观. 题型二 用方差或标准差估计总体 【例 2】 (2013 江苏高考, 6)抽样统计甲、 乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位: 环), 结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________. 解析:由题中数据可得 x 甲=90, x 乙=90. 1 1 2 2 2 2 2 2 2 于是 s甲= [(87-90) +(91-90) +(90-90) +(89-90) +(93-90) ]=4, s乙= [(89 5 5 -90) +(90-90) +(91-90) +(88-90) +(92-90) ]=2, 由 s甲>s乙,可知乙运动员成绩稳定.故应填 2. 答案:2 反思 对于常用的平均数、方差、标准差的公式要能够熟练记忆,不能记错公式,造成
2 2 2 2 2 2 2

计算上的失误,使得统计的结果失去真实的意义.另外,应用求得的标准差的结论时,要特 别注意标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小. 题型三 样本数字特征的应用 【例 3】 画出下列四组数据的频率分布条形图,并说明它们的异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5; (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6; (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7; (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 分析:比较四组数据的异同可从它们的平均数、标准差这些数字特征入手,分析它们的 集中趋势或离散程度.
2

解:四组数据的频率分布条形图如图所示.

四组数据的平均数都是 5,标准差分别是 0.00,0.82,1.49,2.83.虽然它们有相 同的平均数,但是它们的标准差不同,说明数据的离散程度是不一样的. 反思 频率分布条形图可以将我们所要求的平均数、众数、中位数、标准差等数据一一

用图形直观显示出来,帮助我们获取有用的信息,特别是在对两组数据间进行比较时,应用 非常方便. 题型四 易错辨析 【例 4】 若 10 个正整数的平方和是 208,平均数是 4,则这组数据的方差为多少?将 这组数据同时减去 3,则新数据的平均数为多少?方差为多少? 1 2 2 2 2 错解:s = (x1+x2+?+x10-10 x )=16.8,这组数据都减去 3 后,平均数为 4-3 10 =1,方差为 16.8-9=7.8. 错因分析:对平均数、方差的公式不清楚,致使计算结果不正确. 1 1 2 2 2 2 2 正解:由方差公式 s = [(x1- x ) +(x2- x ) +?+(xn- x ) ],展开整理可得 s = n n [(x1+x2+?+xn)-n( x ) ],
2 2 2 2

3

这里由题设 n=10,x1+x2+?+x10=208, x =4, 1 2 2 所以 s = (208-10×4 )=4.8. 10 一组数据同时减去 a 后,平均数为 x -a,方差不变, 所以都减去 3 后,平均数为 1,方差为 4.8.

2

2

2

4



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