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2013年辽宁省重点中学协作体高考模拟考试理科数学试卷参考答案与评分标准


2013 年辽宁省重点中学协作体高考模拟考试 理科数学试卷参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(每小题 5 分) 1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 9.C 10.A 二、填空题(每小题 5 分) 13. 8 三、解答题 17.解: (Ⅰ) 由 S n ? 14. 8 3 15.

11.A 12.B

3 7 7

16. [? , 4]

2 3

3 3 (bn ? 1) Sn ?1 ? (bn ?1 ? 1) (n… 得 2) 2 2

bn ? Sn ? Sn ?1 ?

3 (bn ? bn ?1 ) (n… ,即 bn ? 3bn?1 , 2) 2
---------------------------------(4 分)

又 b1 ? 3 ,故 bn ? 3n (n ? N * ) .

?a2 ? b1 ? 3, a5 ? b2 ? 9 ,公差 d ?

a5 ? a2 ?2, 5?2
---------------------------------(8 分)

? an ? 2n ? 1 (n ? N * ) .

(Ⅱ)? bn ? 3n ,所以其前 n 项和 S n ?

3 3 (bn ? 1) ? (3n ? 1) , 2 2
------------------(12 分)

3 3n ? 2 ? 6n ? 9 Tn ? (31 ? 32 ? ? ? 3n ? n) ? . 2 4
18.解:(Ⅰ)? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,

? AA1 ? 平面 ABC ,? AA1 ? AC .
又? AC ? AB, AB ? AA1 ? A , AB, AA1 ? 平面 ABB1 A1

? AC ? 平面 ABB1 A1 ,

? A1B ? 平面 ABB1 A1 ,从而 AC ? A1B .

--------------------(4 分)

2013 年辽宁省重点中学协作体高考模拟考试理科数学参考答案共 6 页第 1 页

(Ⅱ)如图,以 A 点为原点, AB, AC, AA1 为 x, y, z 轴 正方向, AB 线段长度为单位长度,建立空间直角坐标系. 设 AA1 ? h ,则 B(1, 0, 0) , C (0,1, 0) , A1 (0,0, h) , 则 BA1 ? (?1,0, h), B1C1 ? (?1,1,0) 由于直线 A1B 与 B1C1 所成的角为 60 ,
?

??? ???? ???? ? ?

z A1 B1 C1

????

???? ?

D B x

A

C

y

1 ----------------(8 分) ? ,? h ? 1 . 1 ? h2 ? 2 2 ???? ??? ? ? BA1 ? (?1,0,1) , C1 (0,1,1) , BC1 ? (?1,1,1) 设平面 A1BC1 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,
? ? ?x ? z ? 0 1 ???? 1 ,可取 n ? (1, 0,1) . D(1, 0, ) , DC1 ? (?1,1, ) . ? 2 2 ?? x ? y ? z ? 0
------(10 分)

???? ???? ? 所以 cos BA1 , B1C1 ?

1

1 ?1 ? ???? ? 2 ? 2, 于是 sin ? ? cos DC1, n ? 3 6 2? 2
所以 DC1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为

2 . 6

-------------------(12 分)

19. 解 :( Ⅰ ) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 , 成 绩 在 190cm 以 上 的 运 动 员 频 率 为 0.05 , 所 以 全 体 运 动 员 总 人 数

a?

2 ? 40 (人), 0.05

乙队中成绩在 [160,170) 内的运动员人数 b ? 40 ? 0.3 ? 3 ? 9 (人). -----(2 分) (Ⅱ)由频率分布直方图可知,乙队成绩在 180cm 以上的没有丢失,全体队员中成绩在 180cm 以上的共有 10 人, 其中成绩为“优秀”的有 6 人. 设至少有一人成绩“优秀”为事件 A ,两人成绩均“优秀”为事件 B ,

C62 2 C10 C2 P( A ? B) 5 则 P( B A) ? ? ? 2 6 2 ? . 2 C P( A) C10 ? C4 13 1? 4 2 C10

----------------(6 分)

(Ⅲ)成绩“优秀”的运动员共 6 人,甲队 4 人,乙队 2 人. 随机变量 X 所有可能取值为 0,1, 2 .

P( X ? 0) ?

0 2 C4 C2 C1C1 8 C 2C 0 6 2 1 ? , P( X ? 1) ? 4 2 2 ? , P( X ? 2) ? 4 2 2 ? ? 2 C6 15 C6 15 C6 15 5

--------------------------------(9 分)

? X 的分布列为 X

0

1

2

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P

1 15

8 15

2 5
-----------------------(11 分)

8 12 20 4 ? ? ? . 数学期望 E ( X ) ? ------------------------(12 分) 15 15 15 3 1 y y 1 ? ? ? ,其中 x ? ?2 , 20.解:(Ⅰ)设 P( x, y) ,由 k1k 2 ? ? 得 4 x?2 x?2 4
整理得 P 点的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0) . 4

------------------(4 分)

(Ⅱ)设点 N (2, m) ( m ? 0 ),

AN : y ?

m ? ( x ? 2) ? 2 2 2 2 4 ? ? (4 ? m ) x ? 4m x ? 4m ? 16 ? 0 x 2 ? 4 y 2 ? 4? ?

设 Q( x1 , y1 ) ,则 x1 ? (?2) ? 从而 Q(

?4m2 ?4m2 8 ? 2m2 ? ,? x1 ? 2 ? 2 , m2 ? 4 m ? 4 m2 ? 4
---------------------------------(6 分)

8 ? 2m 2 4m , ). m2 ? 4 m2 ? 4

而 B(2, 0) ,? QB 直线斜率 kQB

4m 2 1 ? m ?2 4 ? ? , 8 ? 2m m ?2 2 m ?4

? 直线 QB 与以 NB 为直径的圆的另一个交点为 M ,? MN ? QB .
? MN 方程为 y ? m ? m( x ? 2) ,即 y ? m( x ? 1) ,过定点 C (1, 0)
--------(9 分)

定 值 证 法 一 : 即 C , M , N 三 点 共 线 , 又 CB 是 以 NB 为 直 径 的 圆 的 切 线 , 由 切 割 线 定 理 可 知, CM ? CN ? CB ? 1 ,为定值.
2

---------------------------(12 分)

定值证法二:直线 QB : y ? ? 联立得, xM ?

1 ( x ? 2) ,直线 CN : y ? m( x ? 1) , m

m2 ? 2 2 2 , CM ? CN ? 1 ? kCM xM ? xC ? 1 ? kCN xN ? xC m2 ? 1

? 1 ? m2
分)

m2 ? 2 1 ? 1 ? 1 ? m2 2 ? 1 ? (1 ? m2 ) ? 2 ? 1 , 为定值 . 2 m ?1 m ?1

----(12

x x 21.解:(Ⅰ) f ?( x) ? e ? xe ? 2 x ? a , f (0) ? 1 , f ?(0) ? ?1 ,

?b ? 1 , a ? ?2, b ? 1 . ?? ?1 ? a ? ?1

----------------------------------(2 分)

2013 年辽宁省重点中学协作体高考模拟考试理科数学参考答案共 6 页第 3 页

1 1 ? cx ?c ? ,由于 c ? 0 , x x 1 所以当 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 是增函数, c 1 当 x ? ( , ??) 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 是减函数, c 1 1 ? g ( x) max ? g ( ) ? ln ? 1 ? 1 ? c ? ? ln c ? c , c c g ?( x) ?
由 g ( x) ? 1 恒成立可知, ? ln c ? c ? 1 ,即 ln c ? c ? 1 …0 成立.① -------(4 分)

令 h( x) ? ln x ? x ? 1 ( x ? 0) , h?( x ) ?

1 1? x ?1 ? , x x

h( x) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数,
? h( x) ? h(1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1? 0 (当且仅当 x ? 1 时等号成立), ? ln c ? c ? 1? 0 .②
由①②可知, ln c ? c ? 1 ? 0 ,所以 c ? 1 . ------------------------(6 分)

(Ⅱ)证法一:所求证不等式即为 x(ln x ? ex ) ? 3 ? 4 x ? 0 . 设 F ( x) ? ln x ?

1 1 1 x ?1 ? 1( x ? 0) , F ?( x) ? ? 2 ? 2 , x x x x

当 x ? (0,1) 时, F ?( x) ? 0, F ( x) 是减函数, 当 x ? (1, ??) 时, F ?( x) ? 0, F ( x) 是减函数,

? F ( x)min ? F (1) ? 0 ,即 ln x …1 ?

1 . x

---------------------------(8 分)
x

x ?1 由(Ⅰ)中结论②可知, ln x ? x ? 1,? x ? e ,? 当 x ? 0 时, x ? 1 ? e ,

从而 x(ln x ? e ) ? 3 ? 4 x ? x(1 ?
x

1 ? x ? 1) ? 3 ? 4 x x

--------------(10 分)

? x2 ? 2 x ? 2 ? 4 x ? ( x ? 1)2 ? 4 x ? 1

… x )2 ? 4 x ?1 ? (2 x ?1)2 …0 . (2
(或者 x2 ? 2x ? 2 ? 4 x ? x2 ? 2( x ?1)2 ? 0 也可) 即 x(ln x ? ex ) ? 3 ? 4 x ? 0 ,? 原不等式成立. ---------------------(12 分)

证法二:所求证不等式即为 x(ln x ? ex ) ? 3 ? 4 x ? 0 设 F ( x) ? ln x ? e ?
x

3 4 x ? ,? 4 x ? 2 1? 4x ? 1 ? 4x , x x
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? F ( x) …ln x ? e x ?

3 1? 4x 2 ? ? ln x ? e x ? ? 4 x x x

-------------------(8 分)
x

由(Ⅰ)中结论②可知, ln x ? x ? 1,? x ? ex?1 ,? 当 x ? 0 时, x ? 1 ? e ,

? F ( x) ? ln x ? x ? 1 ?

2 2 ? 4 ? ln x ? x ? ? 3 ------------------(10 分) x x 2 1 2 ( x ? 2)( x ? 1) 设 G ( x) ? ln x ? x ? ? 3 ( x ? 0) , G?( x) ? ? 1 ? 2 ? , x x x x2
当 x ? (0,1) 时, G?( x) ? 0, G( x) 是减函数, 当 x ? (1, ??) 时, G?( x) ? 0 , G( x) 是增函数,? G( x) … (1) ? 0 ,? F ( x) ? 0 . G 又 x ? 0 ,? x ? F ( x) ? 0 ,即 x(ln x ? ex ) ? 3 ? 4 x ? 0 ,

? 原不等式成立.

---------------------------------------(12 分)

证法三:所求证不等式即为 x(ln x ? ex ) ? 3 ? 4 x ? 0 设 F ( x) ? ln x ? e ?
x

1? x 3 4 x ? 2 ? 2x , ,? 4 x ? 4 ? ? 2 x x 3 2 ? 2x 1 ? ? ln x ? e x ? ? 2 x x x
---------------(8 分)
x

? F ( x) …ln x ? e x ?

x ?1 由(Ⅰ)中结论②可知, ln x ? x ? 1,? x ? e ,? 当 x ? 0 时, x ? 1 ? e ,

? F ( x) ? ln x ? x ? 1 ?
设 G ( x ) ? ln x ? x ?

1 1 ? 2 ? ln x ? x ? ? 1 x x

------------------(10 分)

1 ? 1 ( x ? 0) , x

G?( x) ?

1 1 x2 ? x ?1 5 ?1 ?1? 2 ? , ?0? x ? 2 x x x 2

当 x ? (0,

5 ?1 ) 时, G?( x) ? 0, G( x) 是减函数, 2

当 x ?(

5 ?1 , ??) 时, G?( x) ? 0 , G( x) 是增函数, 2

?G( x) …G(

5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 2 ? 5 ?1 ) ? ln ? ? ? 1 ? ln 2 2 2 2 5 ?1

?

5 ?1 1 5 ?1 3 1 ? ln ? ?1, ? F ( x) ? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? 2 ? 0 . ? ? ,? ln 2 e 2 5 e

又 x ? 0 ,? x ? F ( x) ? 0 ,即 x(ln x ? ex ) ? 3 ? 4 x ? 0 , ---------------------------------------(12 分) 22.证明:(Ⅰ)? BE 是圆 O 的切线,??EBD ? ?BAD ,
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? 原不等式成立.

? 又? ?CBD, ?CAD 为 CD 所对的圆周角,??CBD ? ?CAD ,
而 AD 是 ?BAC 的平分线,??BAD ? ?CAD ,? ?EBD ? ?CBD . ---(5 分) (Ⅱ)? ?EBD ? ?EAB , ?E ? ?E ,?V ABE ∽ V BDE ,? 又 ?CBD ? ?CAD ? ?BAD ? ?BCD ,? BD ? CD ,

AB BD ? , BE DE

?

AB CD ? ,即 AB ? DE ? CD ? BE . BE DE
2 2

--------------------------(10 分)

23.解:(Ⅰ)圆 C 的普通方程是 ( x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ; 所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? . --------------------------(5 分)

? ?1 ? 2 cos ?1 ? (Ⅱ)设 ( ?1 ,?1 ) 为点 P 的极坐标,则有 ? ? ? ?1 ? 3 ?

? ?1 ? 1 ? 解得 ? ? . ??1 ? 3 ? ? ?2 ? 3 ? 解得 ? ? ?? 2 ? 3 ?

? ?2 (sin ?2 ? 3 cos ?2 ) ? 3 3 ? 设 ( ? 2 , ? 2 ) 为点 Q 的极坐标,则有 ? ? ? ?2 ? 3 ?
由于 ?1 ? ? 2 ,所以 PQ ?

?1 ? ?2 ? 2 ,所以线段 PQ 的长为 2. --------(10 分)

24.解:(Ⅰ) y ? 3 ? 1 ?

2 x ? 3 ? 3 ? 3x ( x ? 3)(1 ? 3) ? 3? ? 1? x 1? x 1? x
----------------------------(5 分)

? x ? 3 ,? y ? 3 ? 0 ,? y ? 3 .
(Ⅱ) y ? 3 ? x ? 3 ?

( x ? 3)(1 ? 3) ? x? 3 1? x

? 3 ?1 ? 3 ?2? x ? x ? 3 ?? ? 1 ? x ? 1? ? x ? 3 ? 1 ? x , ? ? ?

? 3 ? 2 ? 0, x ? 0 ,?

3?2? x ? 0, 1? x

而 x ? 3 ? 0 ,? y ? 3 ? x ? 3 ? 0 ,? y ? 3 ? x ? 3 , 所以 y 比 x 更接近于 3 . ------------------------------------(10 分)

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