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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用教师用书理


第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形的综合应用教师用书 理 苏教版

1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方叫仰角, 目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).

2.方向角 相对于某正方向的水平角,如南偏东 30°,北偏西 45°等. 3.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α (如图②). 【知识拓展】 1.三角形的面积公式

a+b+c S= p?p-a??p-b??p-c? (p= ),
2

abc a+b+c S= =rp(R 为三角形外接圆半径,r 为三角形内切圆半径,p= ). 4R 2
2.坡度(又称坡比):坡面的垂直高度与水平长度之比. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为 α ,从 B 处望 A 处的俯角为 β ,则 α ,β 的关系为 α +β = 180°.( × )

π (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0, ].( × ) 2 (3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( √ )

1

π (4)方位角大小的范围是[0,2π ),方向角大小的范围一般是[0, ).( √ 2

)

1.(教材改编)如图所示,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的 同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB =105°后,就可以计算出 A,B 两点的距离为________ m. 答案 50 2 解析 由正弦定理得 又∵B=30°, 2 50× 2 ACsin∠ACB ∴AB= = =50 2(m). sin B 1 2 2.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 C,两船航行方向的夹角为 120°,两船的航行 速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h,则下午 2 时两船之间的距离是________n mile. 答案 70 解析 设两船之间的距离为 d, 则 d =50 +30 -2×50×30×cos 120°=4 900, ∴d=70,即两船相距 70 n mile. 3.(教材改编)海面上有 A,B,C 三个灯塔,AB=10 n mile,从 A 望 C 和 B 成 60°视角,从 B 望 C 和 A 成 75°视角,则 BC=________ n mile. 答案 5 6 解析 如图,在△ABC 中,
2 2 2

= , sin∠ACB sin B

AB

AC

AB=10,A=60°,B=75°,
∴ 10 = , sin 60° sin 45°

BC

∴BC=5 6. 4.如图所示,D,C,B 三点在地面的同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别 为 60°,30°,则 A 点离地面的高度 AB=________.

2

答案

3 a 2

1 解析 由已知得∠DAC=30°,△ADC 为等腰三角形,AD= 3a,又在 Rt△ADB 中,AB= AD 2 = 3 a. 2

5.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中 漂行,此时,风向是北偏东 30°,风速是 20 km/h;水的流向是正东,流速是 20 km/h,若 不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东 ________,速度的大小为 ________ km/h. 答案 60° 20 3 解析 如图,∠AOB=60°,由余弦定理知 OC =20 +20 -800cos 120°=1
2 2 2

200,故 OC=20 3,∠COY=30°+30°=60°.

题型一 求距离、高度问题 例 1 (1)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时 气球的高 AD 是 60 m,则河流的宽度 BC=________ m.

(2)如图,A,B 是海平面上的两个点,相距 800 m,在 A 点测得山顶 C 的仰 角为 45°,∠BAD=120°,又在 B 点测得∠ABD=45°,其中 D 是点 C 到水 平面的射影,则山高 CD=________ m. 答案 (1)120( 3-1) (2)800( 3+1) 解析 (1)如图,在△ACD 中,∠CAD=90°-30°=60°,AD=60 m,所以

CD=AD·tan 60°=60 3(m).

3

在△ABD 中,∠BAD=90°-75°=15°, 所以 BD=AD·tan 15°=60(2- 3)(m). 所以 BC=CD-BD=60 3-60(2- 3) =120( 3-1) (m). (2)在△ABD 中,∠BDA=180°-45°-120°=15°. 2 800× 2 由 = ,得 AD= = sin 15° sin 45° sin 15° 6- 2 4

AB

AD

AB·sin 45°

=800( 3+1)(m). ∵CD⊥平面 ABD,∠CAD=45°, ∴CD=AD=800( 3+1) m. 思维升华 求距离、高度问题应注意 (1)理解俯角、仰角的概念,它们都是视线与水平线的夹角;理解方向角的概念. (2)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解; 若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (3)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. (1)一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°, 行驶 4 h 后, 船到达 C 处, 看到这个灯塔在北偏东 15°, 这时船与灯塔的距离为________ km. (2)如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A,B 两点,从 A,B 两点分别测得树尖的仰角 为 30°,45°,且 A,B 两点间的距离为 60 m,则树的高度为________m.

答案 (1)30 2

(2)30+30 3

解析 (1)如图,由题意,∠BAC=30°,∠ACB=105°,

4

∴B=45°,AC=60 km, 由正弦定理 = , sin 30° sin 45° ∴BC=30 2 km. (2)在△PAB 中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60, sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°= 6- 2 , 4 由正弦定理得 = , sin 30° sin 15° 1 ×60 2 2 3 2 1 × - × = 2 2 2 2

BC

AC

PB

AB

∴PB=

=30( 6+ 2), 6- 2 4 2 2

∴树的高度为 PB·sin 45°=30( 6+ 2)× =(30+30 3)(m). 题型二 求角度问题

例 2 甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45°方向,距 A 有 9 海里的 B 处,并以 20 海里每小 时的速度沿南偏西 15°方向行驶,若甲船沿南偏东 θ 的方向,并以 28 海里每小时的速度行 驶,恰能在 C 处追上乙船.问用多少小时追上乙船,并求 sin θ 的值.(结果保留根号,无需 求近似值) 解 设用 t 小时,甲船追上乙船,且在 C 处相遇,那么在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB =9,∠ABC=180°-15°-45°=120°, 由余弦定理,得 1 2 2 (28t) =81+(20t) -2×9×20t×(- ), 2 128t -60t-27=0, 3 9 解得 t= 或 t=- (舍去), 4 32 所以 AC=21(海里),BC=15(海里), 根据正弦定理,得
5
2

sin∠BAC= cos∠BAC=

BCsin∠ABC 5 3 = , AC 14
75 11 1- 2= . 14 14

又∠ABC=120°,∠BAC 为锐角, 所以 θ =45°-∠BAC, sin θ =sin(45°-∠BAC) =sin 45°cos∠BAC-cos 45°sin∠BAC = 11 2-5 6 . 28

思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义; (2)分析题意, 分清已知与所求, 再根据题意画出正确的示意图, 这是最关键、 最重要的一步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用. (1)(2016·苏州模拟)如图所示,位于 A 处的信息中心 获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等 待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、 相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,则 cos θ 的值为________. 答案 21 14

解析 在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°, 由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800? BC=20 7.
由正弦定理,得 = sin∠ACB sin∠BAC ? sin∠ACB= ·sin∠BAC=

AB

BC

AB BC

21 . 7

2 7 由∠BAC=120°,知∠ACB 为锐角,则 cos∠ACB= . 7 由 θ =∠ACB+30°,得 cos θ =cos(∠ACB+30°) =cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°= 题型三 三角形与三角函数的综合问题 例 3 (2016·扬州调研)在斜三角形 ABC 中,tan A+tan B+tan Atan B=1. 21 . 14

6

(1)求 C 的值; (2)若 A=15°,AB= 2,求△ABC 的周长. 解 (1)方法一 因为 tan A+tan B+tan Atan B=1,即 tan A+tan B=1-tan Atan B, 因为在斜三角形 ABC 中,1-tan Atan B≠0, tan A+tan B 所以 tan(A+B)= =1, 1-tan Atan B 即 tan(180°-C)=1,即 tan C=-1, 因为 0°<C<180°,所以 C=135°. 方法二 由 tan A+tan B+tan Atan B=1, 得 sin A sin B sin Asin B + + =1, cos A cos B cos Acos B

化简得 sin Acos B+sin Bcos A+sin Asin B =cos Acos B, 即 sin(A+B)=cos(A+B), 所以 sin C=-cos C, 因为斜三角形 ABC,所以 C=135°. (2)在△ABC 中,A=15°,C=135°,则 B=180°-A-C=30°. 由正弦定理 = = 得 sin A sin B sin C

BC

CA

AB

BC CA 2 = = =2, sin 15° sin 30° sin 135°
故 BC=2sin 15°=2sin(45°-30°) =2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)= 6- 2 , 2

CA=2sin 30°=1.
所以△ABC 的周长为 AB+BC+CA= 2+ = 2+ 6+ 2 . 2 6- 2 +1 2

思维升华 三角形与三角函数的综合问题,要借助三角函数性质的整体代换思想,数形结合 思想,还要结合三角形中角的范围,充分利用正弦定理、余弦定理解题. (2016·南京学情调研)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 acos

B=bcos A.
(1)求 的值;

b a

7

1 π (2)若 sin A= ,求 sin(C- )的值. 3 4 解 (1)方法一 由 acos B=bcos A, 结合正弦定理得 sin Acos B=sin Bcos A, 即 sin(A-B)=0. 因为 A,B∈(0,π ),所以 A-B∈(-π ,π ), 所以 A-B=0,即 A=B,所以 a=b,即 =1. 方法二 由 acos B=bcos A, 结合余弦定理得 a·
2 2

b a

a2+c2-b2 b2+c2-a2 =b· , 2ac 2bc

即 2a =2b ,即 =1. 1 (2) 因为 sin A= ,由(1)知 A=B, 3 2 2 因此 A 为锐角,所以 cos A= . 3 4 2 所以 sin C=sin(π -2A)=sin 2A=2sin Acos A= , 9 7 2 cos C=cos(π -2A)=-cos 2A=-1+2sin A=- . 9 π π π 所以 sin(C- )=sin Ccos -cos Csin 4 4 4 = 4 2 2 7 2 8+7 2 × + × = . 9 2 9 2 18

b a

10.函数思想在解三角形中的应用

典例 (14 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时, 轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速 度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航 行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时,可以设出第三边,利用余弦定理列
8

方程求解;对于三角形中的最值问题,可建立函数模型,转化为函数最值问题解决. 规范解答 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里, 则 S= 900t +400-2·30t·20·cos?90°-30°? = 900t -600t+400=
2 2

[1 分]

1 2 900?t- ? +300. 3

[3 分] [6 分]

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,v= =30 3. 3 1 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇.

[7 分]

则 v t =400+900t -2·20·30t·cos(90°-30°), 600 400 2 故 v =900- + 2 .

2 2

2

t

t

[10 分]

∵0<v≤30, 600 400 2 3 2 ∴900- + 2 ≤900,即 2- ≤0,解得 t≥ . t t t t 3 2 又 t= 时,v=30, 3 2 故 v=30 时,t 取得最小值,且最小值等于 . 3 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20. 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30°,航行速度为 30 海里/小时. [14 分] [13 分]

1.(2017·苏北四市联考)一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方 向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏 东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是________海里. 答案 10 2 解析 如图所示,易知,

9

在△ABC 中,AB=20 海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°, 根据正弦定理得 = , sin 30° sin 45° 解得 BC=10 2(海里). 2.在高出海平面 200 m 的小岛顶上 A 处,测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是 45° 与 30°,此时两船间的距离为________ m. 答案 200( 3+1) 解析 过点 A 作 AH⊥BC 于点 H, 由图易知∠BAH=45°,∠CAH=60°,AH=200 m, 则 BH=AH=200 m,CH=AH·tan 60°=200 3 (m). 故两船距离 BC=BH+CH=200( 3+1) (m). 3.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得 俯角分别为 45°和 60°,而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船相距____m. 答案 10 3 解析 如图,OM=AOtan 45°=30 (m),

BC

AB

ON=AOtan 30°=30×
=10 3 (m),

3 3

在△MON 中,由余弦定理得,

MN=

900+300-2×30×10 3×

3 2

= 300=10 3 (m). 4.(2016·南京模拟)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m,50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为________.

10

答案 45° 解析 依题意可得 AD=20 10(m),AC=30 5(m), 又 CD=50(m),所以在△ACD 中, 由余弦定理得 cos∠CAD=
2

AC2+AD2-CD2 2AC·AD
2 2



?30 5? +?20 10? -50 2×30 5×20 10



6 000 6 000 2



2 , 2

又 0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°, 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 5.如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,测 得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔高 AB= ________.

答案 15 6 解析 在△BCD 中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.

BC 30 由正弦定理得 = , sin 30° sin 135°
所以 BC=15 2. 在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB=15 2× 3=15 6. 6.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为 15°的看台的某一列的正前方, 从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°, 第一排和最后一排的 距离为 10 6米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50 秒,升 旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.

11

答案 0.6 解析 在△BCD 中, ∠BDC=45°,∠CBD=30°,CD=10 6(米). 由正弦定理,得 BC=

CDsin 45°
sin 30°

=20 3(米). 3 =30(米). 2

在 Rt△ABC 中,AB=BCsin 60°=20 3×

AB 30 所以升旗速度 v= = =0.6(米/秒). t 50
7.如图,CD 是京九铁路线上的一条穿山隧道,开凿前,在 CD 所在水平面上 的山体外取点 A,B,并测得四边形 ABCD 中,∠ABC= π 2 ,∠BAD= π ,AB 3 3

=BC=400 米,AD=250 米,则应开凿的隧道 CD 的长为________米. 答案 350 π 解析 在△ABC 中,AB=BC=400 米,∠ABC= , 3 ∴AC=AB=400 米,∠BAC= π . 3

2π π π ∴∠CAD=∠BAD-∠BAC= - = . 3 3 3 ∴在△CAD 中,由余弦定理,得

CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD
π 2 2 =400 +250 -2·400·250·cos =122 500. 3 ∴CD=350 米. 8.如图,一艘船上午 9∶30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处,之后它继续沿正北方向 匀速航行, 上午 10∶00 到达 B 处, 此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处, 且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是______ n mile/h.

12

答案 32 解析 设航速为 v n mile/h, 1 在△ABS 中,AB= v,BS=8 2,∠BSA=45°, 2 1 v 2 8 2 由正弦定理得 = ,∴v=32. sin 30° sin 45° 9.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且小 区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟, 从 D 沿 DC 走到 C 用 了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为________米.

答案 50 7 解析 如图,连结 OC,在△OCD 中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°.由余 弦定理得 OC =100 +150 -2×100×150×cos 60°=17 500, 解得 OC=50 7.
2 2 2

*10.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 a+b=cx, 则实数 x 的取值范围是________. 答案 (1, 2] 解析 x=

a+b sin A+sin B = =sin A+cos A c sin C

? π? ? π? = 2sin?A+ ?.又 A∈?0, ?, 4? 2? ? ?
∴sin π π ? π? <sin?A+ ?≤sin ,即 x∈(1, 2]. 4? 4 2 ?

11.要测量电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,求电视塔的高度. 解 如图,
13

设电视塔 AB 高为 x m, 则在 Rt△ABC 中,由∠ACB=45°,得 BC=x. 在 Rt△ADB 中,∠ADB=30°, 则 BD= 3x. 在△BDC 中,由余弦定理得,

BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos 120°,
即( 3x) =x +40 -2·x·40·cos 120°, 解得 x=40,所以电视塔高为 40 m. 12.(2015·天津)在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.已知△ABC 的面积为 3 15,
2 2 2

b-c=2,cos A=- .
(1)求 a 和 sin C 的值; π? ? (2)求 cos?2A+ ?的值. 6? ? 1 解 (1)在△ABC 中,由 cos A=- , 4 可得 sin A= 15 . 4

1 4

1 由 S△ABC= bcsin A=3 15, 2 得 bc=24,又由 b-c=2,解得 b=6,c=4. 由 a =b +c -2bccos A,可得 a=8. 由
2 2 2

a c 15 = ,得 sin C= . sin A sin C 8

π? π π ? (2)cos?2A+ ?=cos 2A·cos -sin 2A·sin 6? 6 6 ? = 3 1 15-7 3 2 (2cos A-1)- ×2sin A·cos A= . 2 2 16

*13.在海岸 A 处发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船.在 A 处北 偏西 75°方向, 距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船, 此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向 行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间. 解 如图,设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获走私船(在 D 点),则 CD=10 3

t 海里,BD=10t 海里,

14

在△ABC 中,由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A
=( 3-1) +2 -2·( 3-1)·2·cos 120° =6, 解得 BC= 6. 又 = , sin∠BAC sin∠ABC
2 2

BC

AC

∴sin∠ABC=

AC·sin ∠BAC 2·sin 120° 2 = = , BC 2 6

∴∠ABC=45°,故 B 点在 C 点的正东方向上, ∴∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD 中,由正弦定理,得 ∴sin∠BCD= = = , sin∠BCD sin∠CBD

BD

CD

BD·sin∠CBD CD

10t·sin 120° 1 = . 2 10 3t

∴∠BCD=30°, ∴缉私船沿北偏东 60°的方向行驶. 又在△BCD 中,∠CBD=120°,∠BCD=30°, ∴∠D=30°,∴BD=BC,即 10t= 6, 解得 t= 6 小时≈15 分钟. 10

∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要 15 分钟. 14.(教材改编)如图,有两条相交成 60°角的直路 X′X,Y′Y,交点是 O,甲、乙两人分别 在 OX、OY 上,甲的起始位置离点 O 3 km,乙的起始位置离点 O 1 km.后来甲沿 XX′的方向, 乙沿 YY′的方向,同时以 4 km/h 的速度步行.

(1) 求甲、乙在起始位置时两人之间的距离;
15

(2) 设 t h 后甲、乙两人的距离为 d(t),写出 d(t)的表达式.当 t 为何值时,甲、乙两人之 间的距离最短?并求出两人之间的最短距离. 解 (1) 由余弦定理,得起初两人的距离为 1 +3 -2×1×3×cos 60°= 7(km). (2)设 t h 后两人的距离为 d(t),则 1 当 0≤t≤ 时, 4
2 2

d(t)=
?1-4t? +?3-4t? -2×?1-4t?×?3-4t?×cos 60° = 16t -16t+7; 3 当 t> 时, 4
2 2 2

d(t)=
?4t-1? +?4t-3? -2×?4t-1?×?4t-3?×cos 60° = 16t -16t+7; 1 3 当 <t≤ 时, 4 4
2 2 2

d(t)=
?4t-1? +?3-4t? -2×?4t-1?×?3-4t?×cos 120° = 16t -16t+7. 所以 d(t)= 16t -16t+7 = 1 2 16?t- ? +3 (t≥0), 2
2 2 2 2

1 当 t= 时,两人的距离最短. 2 1 答 当 t= 时,两人的最短距离为 3 km. 2

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