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【2013青岛市一模】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试 理科数学


青岛市高三统一质量检测

数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 A. 2 B. ? 2
2i 1? i

的实部为 C. 1 D. ? 1

2. 设全集 U ? R ,集合 M ? ? x | y ? lg ( x 2 ? 1) ? , N ? ? x | 0 ? x ? 2 ? ,则 N ? ( ?U M ) ? A. ? x | ? 2 ? x ? 1? B. ? x | 0 ? x ? 1? C. ? x | ? 1 ? x ? 1? D. ? x | x ? 1?

3. 下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是 A. y ? sin( 2 x ?
?
2 )

B. y ? cos( 2 x ?

?
2

)

C. y ? sin( x ?

?
2

)

D. y ? cos( x ?

?
2

)

4. 设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, a 1 ? 2 , a 5 ? 3 a 3 ,则 S 9 ? A. 9 0 B. 5 4 C. ? 54 D. ? 7 2

5. 已知 m 、 n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 l ? m , l ? n ,且 m , n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若 m // n , n ? ? ,则 m ? ? 6. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为 半径是 2 的圆,则这个几何体的表面积是 A. 1 6 ? B. 1 4 ?
2

正视图

左视图

C. 1 2 ?

D. 8?
俯视图

7. 已知抛物线 y

? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 P 为抛物

线上一点,且在第一象限, PA ? l ,垂足为 A , P F ? 4 ,则直线 A F 的倾斜角等于

1

A.

7? 12

B.

2?

C.

3?

D.

5?

3 4 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8. 若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b | ? | a ? b | ? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 b ? a 的夹角为

A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

9. 已知函数 f ( x ) ? ?

? x, x ? 0 ? x ? x, x ? 0
2

,若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? m 有三个不同的零点,则实数 m 的
1 2 1 4 1 x
n

取值范围为

A. [ ?

1 2

,1]

B. [ ?

, 1)

C. ( ?

, 0)

D. ( ?

1 4

, 0]

10. 已知 f ( x ) ? | x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n ,则二项式 ( x ? A. 1 5 B. ? 1 5 C. 3 0 D. ? 3 0

) 展开式中 x 项的系数为
2

11. 已知函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x ) = f ( 4 ? x ) , 且当 x ? 2 时其导函数 f ? ( x ) 满足 x f ? ( x ) ? 2 f ? ( x ), 若 2 ? a ? 4 则
a A. f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? f ( lo g 2 a ) a B. f ( 3 ) ? f ( lo g 2 a ) ? f ( 2 )

a C. f ( lo g 2 a ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 )

a D. f ( lo g 2 a ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 )

12. 定义区间 ( a , b ) ,[ a , b ) , ( a , b ] ,[ a , b ] 的长度均为 d ?b?a ,多个区间并集的长度为 各区间长度之和, 例如, ( , 2 ?3 5 的长度 d ( ?? ? ?. 用 [ x ] 表示不超过 x 的 1 ) [, ) ? 21 ( ) 53 3 ) 最大整数,记 { }?x? x ,其中 x ? R .设 f( )? x ? x , g(x ?x? ,当 0 ? x ? k 时, x [ ] x [ ]{} ) 1 不等式 f (x ?g x 解集区间的长度为 5 ,则 k 的值为 ) ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 网

2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 某程序框图如右图所示,若 a ? 3 ,则该程序运行 后,输出的 x 值为 ; 14. 若 ? ( 2 x ?
1 a

开始

1 x

) d x ? 3 ? ln 2 ( a ? 1) ,则 a 的值

n ? 1, x ? a



;
2 2

n ? n ?1 n ? 3
否 输出 x 是

? x ? y ? 4 ? 15. 已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函 ? y ? 0 ?

x ? 2x ?1

数 z ? 2 x ? y 的最大值是 16.给出以下命题: ① 双曲线
y
2

;

结束
? x
2

? 1 的渐近线方程为 y ? ?

2x ;

2

② 命题 p : “ ? x ? R , s in x ?
+

1 s in x

? 2 ”是真命题;

? ③ 已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2 x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位;

④ 设随机变量 ? 服从正态分布 N ( 0 ,1) ,若 P ( ? ? 1) ? 0 .2 ,则 P ( ? 1 ? ? ? 0 ) ? 0 .6 ; ⑤ 已知
2 2?4 ? 6 6?4 ? 2, 5 5?4 ? 3 3?4 ? 2,
n n? 4

7 7?4

?

1 1? 4

? 2,

10 10 ? 4

?

?2 ?2 ? 4

? 2 ,依

照以上各式的规律,得到一般性的等式为 则正确命题的序号为

?

8? n (8 ? n ) ? 4

? 2 , n ? 4) (

(写出所有正确命题的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? s in ? x 递增,在区间 [
?
3 , 2? 3
?
O C

( ? ? 0 ) 在区间 [ 0 ,

?
3

] 上单调
B

] 上单调递减;如图,四边形 O A C B

中, a , b , c 为 △ A B C 的内角 A, B , C 的对边, 且满足

A

3

4? sin B ? sin C sin A ? 3

? cos B ? cos C

.
cos A

(Ⅰ)证明: b ? c ? 2 a ; (Ⅱ)若 b ? c ,设 ? AOB ? ? , ( 0 ? ? ? ? ) , O A ? 2 O B ? 2 , 求四边形 O A C B 面积的最大值. 18. (本小题满分 12 分) 现有长分别为 1m 、2 m 、3 m 的钢管各 3 根 (每根钢管质地均匀、 粗细相同且附有不同的编号) , 从中随机抽取 n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的, 1 ? n ? 9 ) ,再将抽取的钢管相接焊 成笔直的一根. (Ⅰ)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等},求 P ( A ) ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,若用 ? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),①求 ? 的分布列;
2 ②令? ? ? ? ? ? ? ? 1 , E (? ) ? 1 ,求实数 ? 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)
? 如图,几何体 A B C D ? B 1 C 1 D 1 中,四边形 A B C D 为菱形, ? B A D ? 6 0 , A B ? a ,

面 B 1 C 1 D 1 ∥面 A B C D , B B 1 、 C C 1 、 D D 1 都垂直于 面 A B C D ,且 B B 1 ?
A B 的中点.

D1

C1 B1

2 a , E 为 C C 1 的中点, F 为

E

(Ⅰ)求证: ? D B 1 E 为等腰直角三角形;
D
C

(Ⅱ)求二面角 B 1 ? D E ? F 的余弦值.
A

20. (本小题满分 12 分) 已知 n ? N ,数列 ?d n ? 满足 d n ?
?

F

B

3 ? ( ? 1) 2

n

,数列 ?a n ? 满足 a n ? d 1 ? d 2 ? d 3 ? ? ? ? ? d 2 n ;又知

m n 数列 ?b n ? 中, b 1 ? 2 ,且对任意正整数 m , n , b n ? b m .

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 和数列 ?b n ? 的通项公式;
4

(Ⅱ)将数列 ?b n ? 中的第 a 1 项,第 a 2 项,第 a 3 项,??,第 a n 项,??删去后,剩余的项按 . . . . 从小到大的顺序排成新数列 ?c n ? ,求数列 ?c n ? 的前 2013 项和. 21. (本小题满分 13 分)
x 已知向量 m ? ( e , ln x ? k ) , n ? (1, f ( x ) ) , m / / n ( k 为常数, e 是自然对数的底数) ,曲线

??

?

??

?

y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直, F ( x ) ? x e f ? ( x ) .
x

(Ⅰ)求 k 的值及 F ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)已知函数 g ( x ) ? ? x ? 2 a x ( a 为正实数),若对于任意 x 2 ? [ 0 , 1] ,总存在 x 1 ? ( 0 , ? ? ) ,
2

使得 g ( x 2 ) ? F ( x 1 ) ,求实数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的 焦 距 为 2

3 ,离心率为

2 2

,其右焦点为 F ,过点

B ( 0 ,b )作直线交椭圆于另一点 A .
??? ??? ? ?

(Ⅰ)若 A B ? B F ? ? 6 ,求 ? A B F 外接圆的方程;
x a
???? ???? ??? ?
2 2

(Ⅱ)若过点 M ( 2 , 0 ) 的直线与椭圆 N :

?

y b

2 2

?

1 3

相交于两点 G 、 H ,设 P 为 N 上一点,且

满足 O G ? O H ? t O P ( O 为坐标原点) ,当 P G ? P H ?

????

????

2 3

5

时,求实数 t 的取值范围.

5

青岛市高三统一质量检测

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. C B A C D A B B C A C B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 3 1 14. 2 15. 2 5 16.①③⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知:
? sin B ? sin C sin A ? 2? ? 4? 3

?

,解得: ? ?

3 2



???????????2 分

2 - cos B - cos C cos A

? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A
? sin ( A ? B ) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A ?????????????????????4 分

? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2 a ???????????????????6 分

(Ⅱ)因为 b ? c ? 2 a, b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ A B C 为等边三角形
S OACB ? S ?OAB ? S ?ABC ? 1 2 O A ? O B s in ? ? 3 4
2

AB

???????????8 分

? s in ? ?

3 4

(O A ? O B -2 O A ? O B co s ? )
2 2

?????????????????9 分

? sin ? -

3 cos ? ?

5 4

3

? 2 s in ( ? -

?
3

)?

5 4

3



???????????????10 分

? ? ? ( 0 , ? ) ,? ? -

?
3

?(-

?

2? , ), 3 3

当且仅当 ? -

?
3

?

?
2

, ? ? 即

5? 6

时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ?

5 4

3

??????12 分

18. (本小题满分 12 分)

6

解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件,

P ( A) ?

C 3C 3 C 6 C9
3

1

2

1

?

9 14

???????????????4 分

(Ⅱ)① ? 可能的取值为 2 , 3, 4 , 5 , 6
C3 C9
2 2

P (? ? 2 ) ?

?

1 12
1 1

P (? ? 3 ) ?

C 3C 3 C9
2

1

1

?

1 4

P (? ? 4 ) ?

C 3 ? C 3C 3
2

C9 C3 C9
2 2

2

?

1 3

P (? ? 5 ) ?

C 3C 3 C9
2

1

1

?

1 4

P (? ? 6 ) ?

?

1 12

∴ ? 的分布列为:

?

2
1

3
1 4

4
1 3

5
1 4

6
1 12

P

12

????????????????????9 分 ② E (? ) ? 2 ?
2

1 12

? 3?

1 4

? 4?

1 3

? 5?
2

1 4

? 6?

1 12

? 4

????????????10 分
2

? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ,? E (? ) ? ? ? E ( ? ) ? ? ? 1 ? ? 4 ?

? ? ?1

? E (? ) ? 1 ,? ? 4 ?

2

? ? ?1?1? 0 ? ? ?

1 4

????????????????12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (I)连接 B D ,交 A C 于 O ,因为四边形
A B C D 为菱形, ? B A D ? 6 0 ,所以 B D ? a
?

z
D1

C1 B1

因为 B B 1 、 C C 1 都垂直于面
E

A B C D ,? B B 1 // C C 1 ,又面 B 1 C 1 D 1 ∥面
D

H

A B C D ,? B C // B 1 C 1
O

C

所以四边形 B C C 1 B 1 为平行四边形 ,则

x

A

F

B

y

7

B 1 C 1 ? B C ? a ???????????2 分

因为 B B 1 、 C C 1 、 D D 1 都垂直于面 A B C D ,则 D B 1 ?
DE ? ? CE ? a ?
2

D B ? B B1
2

2

?

a ? 2a
2

2

?

3a

DC

2

2

a

2

?

6a 2

2 a
2

B1 E ?

B1C 1 ? C 1 E
2

2

?

a ?
2

?

6a 2

?4 分

2
2 2

所以 D E ? B 1 E ?
2 2

6a ? 6a 4

? 3a

2

? D B1

2

所以 ? D B 1 E 为等腰直角三角形

??????????????????5 分

(II)取 D B 1 的中点 H ,因为 O , H 分别为 D B , D B 1 的中点,所以 O H ∥ B B 1 以 O A , O B , O H 分别为 x , y , z 轴建立坐标系,
a 2 ???? ? 3 2 ???? 2 2 a 2 2 2 3 4 ???? a ), D F ? ( 3 4 a 4 3 4

则 D (0, ?

, 0 ), E ( ?

a, 0,

a ) , B1 ( 0 ,

,

2 a ), F (

a,

, 0)

所以 D B 1 ? ( 0 , a , 2 a ) , D E ? ( ?
??

3 2

a,

a 2

,

a,

a , 0 ) ??????7 分

设面 D B 1 E 的法向量为 n1 ? ( x1 , y 1 , z 1 ) , 则 n1 ? D B1 ? 0 , n1 ? D E ? 0 ,即 a y 1 ?
??
?? ???? ? ?? ???? 2 a z1 ? 0 且 ?
3 2 a x1 ? a 2 y1 ? 2 2 a z1 ? 0

令 z 1 ? 1 ,则 n1 ? (0 , ? 2 ,1) ????????????????????????9 分 设面 D F E 的法向量为 n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 则 n2 ? D F ? 0, n2 ? D E ? 0 即
?? ? 3 3 2 3

?? ?

?? ???? ?

?? ???? ?

3 4 6

ax2 ?

3 4

ay2 ? 0 且?

3 2

ax2 ?

a 2

y2 ?

2 2

az2 ? 0

令 x 2 ? 1 ,则 n 2 ? (1, ?

,

)

????????????????????11 分

8

6 ?? ?? ? 则 c o s n1 , n 2 ? 3 3?

?

2 3

6 ? ? 8 3 2 2

1?

1 3

,则二面角 B 1 ? D E ? F 的余弦值为

2 2

?12 分

20. (本小题满分 12 分) 解:? d n ?
3 ? ( ? 1) 2
n

,? a n ? d 1 ? d 2 ? d 3 ? ? ? ? ? d 2 n ?

3 ? 2n 2

? 3n

???????3 分 ??????5 分

2 2 3 3 n n 又由题知:令 m ? 1 ,则 b 2 ? b1 ? 2 , b 3 ? b1 ? 2 ? b n ? b1 ? 2 n m nm n mn m n 若 b n ? 2 ,则 b n ? 2 , b m ? 2 ,所以 b n ? b m 恒成立 n n m n 若 b n ? 2 ,当 m ? 1 , b n ? b m 不成立,所以 b n ? 2

??????????????6 分

(Ⅱ)由题知将数列 ?b n ? 中的第 3 项、第 6 项、第 9 项??删去后构成的新数列 ?c n ? 中的奇数 列与偶数列仍成等比数列,首项分别是 b1 ? 2 , b 2 ? 4 公比均是 8 ,
T 2 0 1 3 ? ( c1 ? c 3 ? c 5 ? ? ? ? ? c 2 0 1 3 ) ? ( c 2 ? c 4 ? c 6 ? ? ? ? ? c 2 0 1 2 )

????9 分

?

2 ? (1 ? 8 1?8

1007

)

?

4 ? (1 ? 8 1?8

1006

)

?

20 ? 8

1006

?6

????????????????12 分
1 ? ln x ? k e
x

7

21. (本小题满分 13 分)解: (I)由已知可得: f ( x ) = 由已知,
f ? (1) ? 1? k e ? 0

1n x ? k e
x

x ? f ?( x ) ?



,∴ k
1 x

?1

??????????????????????2 分

? F ( x ) ? x e f ?( x ) ? x (
x

? ln x ? 1) ? 1 ? x ln x ? x 所以 F ? ( x ) ? ? ln x ? 2 ????3 分

由 F ? ( x ) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? 0 ? x ? 由 F ? ( x ) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? x ?
? F ( x ) 的增区间为 ( 0 ,

1 e
2



1 e
2

1 e
2

] ,减区间为 [

1 e
2

, ?? )

???????????????5 分

(II)? 对于任意 x 2 ? [ 0 , 1] ,总存在 x 1 ? ( 0 , ? ? ) , 使得 g ( x 2 ) ? F ( x 1 ) ,
? g ( x ) m ax ? F ( x ) m ax

??????????????????????????6 分 时, F ( x ) 取得最大值 F (
1 e
2

由(I)知,当 x

?

1 e
2

) ?1?

1 e
2

.????????????8 分

2 对于 g ( x ) ? ? x ? 2 a x ,其对称轴为 x ? a

9

2 当 0 ? a ? 1 时, g ( x ) m a x ? g ( a ) ? a , ? a 2 ? 1 ?

1 e
2

,从而 0 ? a ? 1 ??????10 分
1 e
2

当 a ? 1 时, g ( x ) m a x ? g (1) ? 2 a ? 1 , ? 2 a ? 1 ? 1 ? 综上可知: 0 ? a ? 1 ?
1 2e
2

,从而 1 ? a ? 1 ?

1 2e
2

??12 分

????????????????????????13 分
c a 2 2

22. (本小题满分 13 分)解:(Ⅰ)由题意知: c ?
x
2

3 ,e ?
2

?

,又 a ? b ? c ,
2 2 2

解得: a ?

6,b ?

3?

可得: B ( 0 , 3 ) , F (
??? ??? ? ? ? A B ? B F ? ? 6 ,? ?

?1 3 ??? ? 3 , 0 ) ,设 A ( x 0 , y 0 ) ,则 A B ? ( ? x 0 , 6

椭圆 C 的方程为:

?

y

??????????2 分
???? 3 ? y0 ) , B F ? ( 3 , ? 3) ,

3 x0 ?

3 ( 3 ? y 0 ) ? ? 6 ,即 y 0 ? x 0 ?

3

? 4 3 2 2 ? x0 y0 ? x0 ? ? x0 ? 0 ? ?1 ? ? ? 3 由? 6 ,或 ? ? ? 3 ? y0 ? ? 3 3 ? ? ? y ? ? y0 ? x0 ? 3 ? 0 3 ?

即 A ( 0 , ? 3 ) ,或 A (

4 3

3

,

3 3

)

??????????????????????4 分
3 ,? ? A B F 外接圆是以 O 为圆心, 3

①当 A 的坐标为 ( 0 , ? 3 ) 时, O A ? O B ? O F ?
2 2

为半径的圆,即 x ? y ? 3 ???????????????????????5 分 ②当 A 的坐标为 (
4 3 3 , 3 3 ) 时, k A F ? 1 , k B F ? ? 1 ,所以 ? A B F 为直角三角形,其外接圆是

以线段 A B 为直径的圆,圆心坐标为 (
2 3 3

2 3

3

,

2 3
2

3

) ,半径为

1 2

AB ?

15 3



? ? A B F 外接圆的方程为 ( x ?

) ? (y ?
2

3 3

) ?
2

5 3 2 3 3 ) ? (y ?
2

2 2 综上可知: ? A B F 外接圆方程是 x ? y ? 3 ,或 ( x ?

2 3

3

) ?
2

5 3

??7 分

(Ⅱ)由题意可知直线 G H 的斜率存在. 设 G H : y ? k ( x ? 2 ) , G ( x1 , y 1 ) , H ( x 2 , y 2 ) , P ( x , y )

10

? y ? k (x ? 2) ? 2 2 2 2 由? x2 得: (1 ? 2 k ) x ? 8 k x ? 8 k ? 2 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 2
2 由 ? ? 6 4 k ? 4 ( 2 k ? 1)(8 k ? 2 ) ? 0 得: k ?
4 2 2

1 2

(? )

?????????9 分

x1 ? x 2 ?

8k

2 2

1 ? 2k

, x1 x 2 ?
5 3

8k

2

? 2
2

1 ? 2k
????

???? ???? 2 ? PG ? PH ?
4 2

,? H G ?
8k
2

2 3

5

即 1? k
20 9

2

x1 ? x 2 ?

2 3

5

? (1 ? k ) [
2

64k

(1 ? 2 k )

2

? 4?

? 2
2

1 ? 2k

]?

? k

2

?

1

,结合( ? )得:

1

? k

2

?

1

??????????????????11 分

4 4 2 ???? ???? ??? ? ? O G ? O H ? t O P ,? ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ? t ( x , y )

从而 x ?

x1 ? x 2 t

?

8k

2 2

t (1 ? 2 k )

,y ?

y1 ? y 2 t

?

1 t

[ k ( x1 ? x 2 ) ? 4 k ] ?

?4k t (1 ? 2 k )
2
2

?

点 P 在椭圆上,? [
8 1 ? 2k
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