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人教版高一数学必修2第一单元第三节第二课时球的表面积与体积课件(21张ppt)_图文

1.3.2球体的表面积 和体积公式 回顾: 1、柱体、锥体、台体的表面积 圆柱 S ? 2?r (r ? l ) 圆柱、圆锥、 圆台(旋转体) 圆台??S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) 圆锥 S ? ?r (r ? l ) 棱柱、棱锥、 棱台(多面体) 展开图 各面面积之和 所用的数学思想: 空间问题“平面”化 2、柱体、锥体、台体的表面积 柱体 V ? Sh 柱体、锥体、 台体的体积 1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 锥体 V ? 1 Sh 3 3、圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式 之间的关系: O? S台 ? π(r? ? r ? r?l ? rl) 2 2 O S ? 2πr(r ? l) r l rO ' ? r'=r 上底扩大 r l O r'=0 l r 上底缩小 O S锥 ? πr(r ? l) 4、柱体、锥体、台体的体积公式之间 的关系: 上底扩大 上底缩小 V ? Sh S' ? S 1 ' ' V ? ( S ? S S ? S )h 3 S' ? 0 1 V ? Sh 3 思考:如何求球的体积? ? 排液法: H h h 球体的体积公式 4 3 V球= ? R 3 球体的表面积公式 S ? 4? R 2 从公式中可以看出球的体积和表面积都 只与球的半径有关,即都是以半径为自 变量的函数. 例1、如图,圆柱的底面直径与高都等于 球的直径,求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三分之二. (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. (3)球的表面积等于圆柱表面积的三分 之二. 练习: (1)把球的半径扩大为原来的3倍,则 27 体积扩大为原来的________ 倍. (2)把球表面积扩大到原来的2倍,那 2 2 么体积扩大为原来的_______ 倍. (3)三个球的表面积之比为1:2:3,则 1: 2 2 : 3 3 它们的体积之比为_________. (4)三个球的体积之比为1:8:27,则它 1: 4 : 9 们的表面积之比为________. “接”与“切”: 两个几何体相(内)切:一个几何体的 各个面与另一个几何体的各面相切 ? 两个几何体相接:一个几何体的所有顶 点都在另一个几何体的表面上 ? 解决“接切”问题的关键是画出正确 的截面,把空间“接切”转化为平面 “接切”问题 ? 例2.如图,正方体的棱长为a,它的各个顶点 都在球的球面上,求球的表面积和体积。 分析:正方体内接于球,则由 球和正方体都是中心对称图形 可知,它们中心重合,则正方 体体对角线与球的直径相等。 Q 正方体内接于球 解: \ 球的直径等于正方体的体对角线长 A \( 2 R ) ? 3a \R ? 2 2 D B O C 3 2 a 3 2 D1 C1 B1 3 \S ? 4 ?R2 ? 3?a2 且V ? 4 ?? ? 3 R ?a3 A1 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上。 (变式) 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、 2、 3 ,求此球体的表面积和体积。 分析:长方体内接于球,则由 球和长方体都是中心对称图形 可知,它们中心重合,则长方 体体对角线与球的直径相等。 Q 长方体内接于球 解: \ 球的直径等于长方体的 体对角线长 \ ( 2 R )2 ? 32 ? 22 ? ( 3 )2 ? 16 \ R ? 2 3 32 ? \ S ? 4 ?R 2 ? 16 ? 且 V ? 4 ? ? R 3 3 球与正方体的“接切”问题练习: 1.一个正方体的顶点都在 球面上,它的棱长是 4cm,求这个球队体积 . 2.钢球直径5cm,把钢球放入一个正方 体的有 盖纸盒中,至少要用多 少纸? 3.长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3, 5,15,求它的外接球表面积 . 4.半球内有一内接正方体 ,正方体的一个面在 半球的底面圆上,若正 方体的一边长为 6,求半球的半径 . 课堂小结 ?熟练掌握球的体积、表面积公式: 4 3 ① V ? ?R 3 2 ② S ? 4?R 截面问题 ? ? 用一个平面α去截一个球O,截面是圆面 球的截面的性质: ? ? 球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d,球的半径为R,则 2 2 2 r ? R ?d R ? O r d 例3、已知过球面上三点A、B、C的截面到 球心O的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2cm,求球的体积、表面 积. 解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r, O A O? C R Q O ?O ? , ?ABC是正三角形, 2 2 3 2 3 O ?A ? ? AB ? ?r 3 2 3 B 例3、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的 体积、表面积。 在Rt ?OO?A中,? OA2 ? O?O2 ? O?A2 , \R2 ? ( R 2 2 3 2 ) ?( ) , 2 3 4 \R ? . 3 O A O? 4 4 4 3 256 3 V ? ?R ? ? ( ) ? ?; 3 3 3 81 C 16 64 S ? 4?R ? 4? ? ? ?. 9 9 2 B 练习: 1.三个球的半径之比为 1: 2:3 ,那么最大的球的体积 是其余两个球的体积和的 倍; 2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍,则球的体积 比原来增加 倍; 3.把半径分别为3,4,5的三个铁球,熔成一个大 球,则大球半径是 ; 4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是 切球的体积是 . ,内 5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切, 正方体的各顶点都在球O3的表面上,求三个球的 表面积之比. 提示:球的表面积之比事实

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