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【优化方案】2016年高中数学 第三章 概率 章末优化总结学案 新人教A版必修3


章末优化总结

互斥事件、对立事件的概率及应用 互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的,它们既有区别又有联系.在一次试验中, 两个互斥事件最多只发生一个;而两个对立的事件则必有一个发生,但也不可能同时发生. 所以,两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥. 若事件 A1,A2,?,An 彼此互斥,则 P(A1∪A2∪?∪An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 应用互斥事件的概率的加法公式解题时,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥, 然后求出各事件分别发生的概率,再求和.对于较复杂事件的概率,可以转化为求对立事件 的概率. 求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是 先求其对立事件的概率,若 A 与 B 互为对立事件,则利用公式 P(A)=1-P(B)求解. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个 球,该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率. [解] (1)从袋中随机取两个球,可能的结果有 6 种,而取出的球的编号之和不大于 4 的 1 事件有两个:1 和 2,1 和 3,∴取出的球的编号之和不大于 4 的概率 P1= . 3 (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个

-1-

球,该球的编号为 n,所有(m,n)有 16 种,而 n≥m+2 有 1 和 3,1 和 4,2 和 4 三种结果, 3 13 ∴n<m+2 的概率 P2=1- = . 16 16

利用古典概型求概率 古典概型是一种最基本的概型,也是学习其他概型的基础,在高考题中,经常出现此种 概型的题目,解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性. 对于古典概型概率的计算,关键是分清基本事件个数 n 与事件 A 中包含的结果数 m,有时 需用列举法把基本事件一一列举出来,再利用公式 P(A)= 求出事件的概率,这是一个形象、 直观的好方法,但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏. 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,求选出的 2 名教师性别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,求选出的 2 名教师来自同一学校的概率. [解] 甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示;乙校男教师用 D 表示,两女教 师分别用 E、F 表示. (1)从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为: (A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共 9 种. 从中选出的 2 名教师性别相同的结果为:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共 4 种.所 4 以选出的 2 名教师性别相同的概率为 . 9 (2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C, D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共 15 种. 从中选出的 2 名教师来自同一学校的结果为: (A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共 6 种. 6 2 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 = . 15 5

m n

利用几何概型求概率 若试验同时具有:①基本事件的无限性;②每个事件发生的等可能性两个特征,则此试 验为几何概型, 由于其结果的无限性, 概率就不能应用 P(A)= 求解, 而需转化为几何度量(如 长度、面积、体积等)的比值求解,体现了数形结合的数学思想. (2015·临沂质检)已知关于 x 的一元二次方程 x -2(a-2)x-b +16=0. (1)若 a、b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数,求方程有两个正实数根的概率; (2)若 a∈[2,6],b∈[0,4],求一元二次方程没有实数根的概率. [解] (1)基本事件(a,b)共有 36 个,且 a,b∈{1,2,3,4,5,6},方程有两个正实 2 2 2 数根等价于 a-2>0,16-b >0,Δ ≥0,即 a>2,-4<b<4,(a-2) +b ≥16. 设“一元二次方程有两个正实数根”为事件 A, 则事件 A 所包含的基本事件为(6, 1), (6, 2),(6,3),(5,3)共 4 个,
2 2

m n

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4 1 故所求的概率为 P(A)= = . 36 9 (2)试验的全部结果构成区域 Ω ={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4},设“一元二次方程无实 2 2 数根”为事件 B,则构成事件 B 的区域为 B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2) +b <16}, 如图可知构成事件 Ω 的区域面积为 S(Ω )=16. 1 4π π 2 构成事件 B 的区域面积为:S(B)= ×π ×4 =4π ,故所求的概率为 P(B)= = . 4 16 4

概率与统计的综合问题 统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点,此类题很好地结合了统计 与概率的相关知识,并且在实际生活中应用也十分广泛,能很好地考查学生的综合解题能力, 在解决综合问题时,要求同学们对图表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信 息,排除有关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的目的.

随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高 数据的茎叶图如图所示. (1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率. [解] (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 cm~179 cm 之间,而乙班身高集中于 170 cm~179 cm 之间.因此乙班平均身高高于甲班; 158+162+163+168+168+170+171+179+179+182 (2)x= 10 =170(cm). 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差 s = [(158-170) +(162-170) +(163-170) +(168-170) +(168- 10 170) +(170-170) +(171-170) +(179-170) +(179-170) +(182-170) ]=57.2(cm ). (3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”为事件 A,从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低 于 173 cm 的同学有:(181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179, 176),(179,178),(178,173),(178,176),(176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件:(181,176),(179,176),(178,176),(176,173),
2 2 2 2 2 2 2

-3-

4 2 ∴P(A)= = . 10 5

1.下列说法正确的是( ) A.随机事件的概率总在[0,1]内 B.不可能事件的概率不一定为 0 C.必然事件的概率一定为 1 D.以上均不对 解析:选 C.随机事件的概率总在(0,1)内,不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1. 2.甲、乙、丙三人随意坐一排座位,乙正好坐中间的概率为( )

A. C.

1 2 1 4

B. D.

1 3 1 6

解析:选 B.甲、乙、丙三人随意坐有 6 个基本事件,乙正好坐中间,甲、丙坐左右两侧 2 1 有 2 基本事件,故乙正好坐中间的概率为 = . 6 3 3.某人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是________. 解析:对立事件相对应的集合交集为空集,并集为全集. 答案:两次都不中靶 3 4.假设一直角三角形的两直角边长都是(0,1)间的随机数,则事件“斜边长小于 ”的 4 概率为________. 3 2 2 解析:设两直角边长分别为 x,y,则 0≤x≤1,0≤y≤1,斜边长= x +y < ,样本空 4 2 1 ?3? 9π 因此, 间为边长为 1 的正方形区域, 而满足条件的事件所在的区域的面积为 ×π ×? ? = , 4 64 ?4? 9π 64 9π 所求事件的概率为 P= = . 1 64 9π 答案: 64 5.(2014·高考安徽卷节选)某高校共有 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4 500 人, 为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周 平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).

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(1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所 示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12], 估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率. 4 500 解:(1)300× =90,所以应收集 90 位女生的样本数据. 15 000 (2)由频率分布直方图得 1-2×(0.025+0.100)=0.75, 所以该校学生每周平均体育运动 时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75. 6.(2014·高考重庆卷)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率. 解:(1)据直方图知组距=10, 由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1, 1 解得 a= =0.005. 200 (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20=2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20=3. (3)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A1,A2,成绩落在[60,70)中的 3 人为 B1,B2,B3,则 从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1, B3),(B2,B3), 其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件有 3 个: (B1,B2),(B1,B3),(B2,B3), 3 故所求概率为 P= . 10

[A.基础达标] 1.以下事件是随机事件的是( )

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A.下雨屋顶湿 B.秋后柳叶黄 C.买彩票中奖 D.水结冰体积变大 解析:选 C.A、B、D 是必然事件. 2.设 A,B 为两个事件,且 P(A)=0.3,若 P(B)=0.7,则 A 与 B 的关系是( ) A.A 与 B 互斥 B.A 与 B 对立 C.A? B D.A 不包含 B 解析:选 D.概率和为 1 不能判断是否同时发生,故不能选 A、B,A 发生的可能性小于 B, 显然 D 正确. 2 3.函数 f(x)=x -x-2,x∈[-5,5],那么任取一点 x0,使得 f(x0)≤0 的概率是( ) A. C. 3 10 2 5
2

B. D.

1 5 4 5

解析:选 A.由 f(x0)≤0,即 x0-x0-2≤0,得-1≤x0≤2,其区间长度为 3,由 x∈[-5, 3 5],区间长度为 10,所以所求概率为 P= . 10 4.在 500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2 mL 水样放到显微镜下观察,则发 现草履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 解析:选 C.由于取水样的随机性,所求事件 A:“在取出的 2 mL 的水样中有草履虫”的 概率等于水样的体积与总体积之比 2 =0.004. 500

5.(2014·高考陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个 点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A. C. 1 5 3 5 B. D. 2 5 4 5

解析:选 C.取两个点的所有情况为 10 种,所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种,概 6 3 率为 = .故选 C. 10 5 2 6. 袋中有 5 个白球, n 个红球, 从中任意取一个球, 恰好是红球的概率为 , 则 n=________. 3 解析:由题意,

n 2 = ,解得 n=10. 5+n 3

答案:10 7.(2014·高考浙江卷)在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖.甲、乙两人各 抽取 1 张,两人都中奖的概率是________. 解析:记“两人都中奖”为事件 A, 设中一、二等奖及不中奖分别记为 1,2,0,那么甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2, 1),(2,0),(0,1),(0,2),共 6 种.其中甲、乙都中奖有(1,2),(2,1),2 种,所以

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P(A)= = .
1 答案: 3 8.为了测算如图阴影部分的面积,作一个边长为 6 的正方形将其 包含在内, 并向正方形内随机投掷 800 个点. 已知恰有 200 个点落在阴 影部分,据此,可估计阴影部分的面积是________. 解析:设阴影部分的面积为 S,向正方形内随机投掷 1 个点,落在 阴影部分的概率的估计值是 1 则 S= ×36=9. 4 答案:9 9.(2015·常德质检)空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标,空气质量的好坏由 空气质量指数决定,空气质量指数越高,代表空气污染越严重: 空气质 量指数 空气质 量类别 0~35 优 35~75 良 75~115 轻度污染 115~ 150 中度污 染 150~ 250 重度污 染 ≥250 严重污 染 200 1 S 1 = , 则 = , 又正方形的面积是 36, 800 4 S正方形 4

2 1 6 3

对某市空气质量指数进行一个月(30 天)的监测,所得的条形统计图如图所示:

(1)估计该市一个月内空气受到污染的概率(若空气质量指数大于或等于 75,则空气受到 污染); (2)在空气质量类别为“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中用分层抽样的方 法抽取一个容量为 6 的样本,若在这 6 个数据中任取 2 个数据,求这 2 个数据所对应的空气 质量类别不都是轻度污染的概率. 12 4 2 18 3 解:(1)空气受到污染的概率 P= + + = = . 30 30 30 30 5 (2)易知用分层抽样的方法从“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中抽取的个 数分别为 2,3,1. 设它们的数据依次为 a1,a2,b1,b2,b3,c1,则抽取 2 个数据的所有基本事件为(a1,a2), (a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c1),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c1),(b1,b2), (b1,b3),(b1,c1),(b2,b3),(b2,c1),(b3,c1),共 15 种. 设“这两天的空气质量类别不都是轻度污染”为事件 A,则 A 中的基本事件数为 12, 12 4 4 所以 P(A)= = ,即这两天的空气质量类别不都是轻度污染的概率为 . 15 5 5 10.设关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0,若 a 是从区间[0,4]上任取的一个数,b
-72 2

是从区间[0,3]上任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 2 2 解:设事件 A 为“方程 x +2ax+b =0 有实根”. 2 2 2 2 则Δ =4a -4b ≥0,即 a ≥b . 又∵a≥0,b≥0, ∴a≥b. 试验的全部结果所构成的区域为{(a, b)|0≤a≤4, 0≤b≤3}, 而构成事件 A 的区域为{(a, b)|0≤a≤4,0≤b≤3,a≥b},即如图所示的阴影部分:

1 2 3×4- ×3 2 5 所以 P(A)= = . 4×3 8 [B.能力提升] 1.在等腰 Rt△ABC 的斜边 AB 上任取一点 M,则 AM 的长小于 AC 的长的概率为( A. C. 1 2 2 2 B. D. 2 3 2 4 )

解析:选 C.如图,在 AB 上截取 AC′=AC,于是 P(AM<AC)= 长小于 AC 的长的概率为

AC′ AC 2 = = ,所以 AM 的 AB AB 2

2 . 2 2.一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 球,然后放回袋中再取出一球, 则取出的两个球同色的概率为( ) A. C. 1 2 1 4 B. D. 1 3 2 5

解析:选 A.记 2 个红球分别为 a1,a2,2 个白球分别为 b1,b2,则基本事件空间为{(a1, a1),(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1, a2),(b1,b1),(b1,b2),(b2,a1),(b2,a2),(b2,b1),(b2,b2)},共 16 个基本事件.记事 件 A=“取出的两个球同色”={(a1,a1),(a1,a2),(a2,a1),(a2,a2),(b1,b1),(b1,b2), 8 1 (b2,b1),(b2,b2)}共 8 个基本事件.所以 P(A)= = . 16 2 3.某班派出甲、乙两名同学参加学校举行的数学竞赛,甲、乙两名同学夺得第一名的概 3 1 率分别是 和 ,则该班同学夺得第一名的概率为________. 8 3

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3 解析: 甲同学夺得第一与乙同学夺得第一是互斥事件, 故该班同学夺得第一的概率 P= + 8 1 17 = . 3 24 17 答案: 24 4.(2014·高考江苏卷)从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数 的乘积为 6 的概率是________ . 解析:取两个数的所有情况有:(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6), 共 6 种情况. 乘积为 6 的情况有:(1,6),(2,3),共 2 种情况. 2 1 所求事件的概率为 = . 6 3 1 答案: 3 5.(2014·高考福建卷)根据世行 2013 年新标准,人均 GDP 低于 1 035 美元为低收入国 家;人均 GDP 为 1 035~4 085 美元为中等偏下收入国家;人均 GDP 为 4 085~12 616 美元为 中等偏上收入国家;人均 GDP 不低于 12 616 美元为高收入国家.某城市有 5 个行政区,各区 人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表: 行政区 A B C D E 区人口占城市人口比例 25% 30% 15% 10% 20% 区人均 GDP (单位:美元) 8 000 4 000 6 000 3 000 10 000

(1)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准; (2)现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个,求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏 上收入国家标准的概率. 1 解:(1)设该城市人口总数为 a,则该城市人均 GDP 为 (8 000×0.25a+4 000×0.30a+6

a

000×0.15a+3 000×0.10a+10 000×0.20a)=6 400. 因为 6 400∈[4 085,12 616), 所以该城市人均 GDP 达到了中等偏上收入国家标准. (2)“从 5 个行政区中随机抽取 2 个”的所有的基本事件是:{A,B},{A,C},{A,D}, {A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共 10 个. 设事件“抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为 M, 则事件 M 包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共 3 个,所以所求概率为 P(M) 3 = . 10 6.(选做题)(CB 即 CitizenBand 市民波段的英文缩写)两个 CB 对讲机持有者,莉莉和霍 伊都为卡尔货运公司工作,他们的对讲机的接收范围为 25 公里,在下午 3:00 时莉莉正在基 地正东距基地 30 公里以内的某处向基地行驶,而霍伊在下午 3:00 时正在基地正北距基地 40 公里以内的某地向基地行驶,试问在下午 3:00 时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大?
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解:设 x 和 y 分别代表莉莉和霍伊距基地的距离,于是 0≤x≤30,0≤y≤40,则他俩所 有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里 x,y 都在它们各自的限制范围内,则所有这 样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域,每一个几何区域中的点都代表莉 莉和霍伊的一个特定的位置, 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过 25 公里时发生(如图).

因此构成该事件的点由满足不等式 x +y ≤25 的数对组成,此不等式等价于 x +y ≤ 625, 图中的长方形区域代表总的基本事件, 阴影部分代表所求事件, 长方形区域的面积为 1 200 平方公里, 625π ?1? 2 而事件的面积为? ?π ·(25) = (平方公里), 4 ?4? 625π /4 625π 25π 于是有 P= = = . 1 200 4 800 192

2

2

2

2

- 10 -

(时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.下列事件中,随机事件的个数为( ) ①在某学校 2015 年的田径运动会上,学生张涛获得 100 米短跑冠军; ②在明天下午体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯; ③从标有 1,2,3,4 的 4 张号签中任取一张,恰为 1 号签; ④在标准大气压下,水在 4 ℃时结冰. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 C.①在某学校 2015 年的田径运动会上,学生张涛有可能获得 100 米短跑冠军, 也有可能未获得冠军,是随机事件;②在明天下午体育课上,体育老师随机抽取一名学生去 拿体育器材,李凯不一定被抽到,是随机事件;③从标有 1,2,3,4 的 4 张号签中任取一张, 不一定恰为 1 号签,是随机事件;④在标准大气压下,水在 4 ℃时结冰是不可能事件.故选 C. 2.把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌” 是( ) A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件 D.必然事件 解析:选 B.根据题意,把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人,事件“甲分得红牌” 与“乙分得红牌”不会同时发生,故两者是互斥事件,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红 牌”之外,还有“丙分得红牌”,故两者不是对立事件,所以事件“甲分得红牌”与“乙分 得红牌”是互斥但不对立事件. 3.下列试验属于古典概型的有( ) ①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球,取出的球为 红色的概率; ②在公交车站候车不超过 10 分钟的概率; ③同时抛掷两枚硬币,观察出现“两正” “两反” “一正一反”的次数; ④从一桶水中取出 100 mL,观察是否含有大肠杆菌. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:选 A.古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性.①符合两个特征;对于②和 ④,基本事件的个数有无限多个;对于③,出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性 并不相等,故选 A. 4.(2015·济南一中高一检测) 有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小 组, 每位同学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A. C. 1 3 2 3 B. D. 1 2 3 4

- 11 -

解析:选 A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有 9 个,其中这两位同学参加同一 3 1 兴趣小组的结果有 3 个,所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为 = . 9 3 5.任取一个三位正整数 N,则对数 log2N 是一个正整数的概率是( A. C. 1 225 1 300 B. D. 3 899 1 450
7 8

)

解析:选 C.三位正整数有 100~999,共 900 个,而满足 log2N 为正整数的 N 有 2 ,2 , 3 1 9 2 ,共 3 个,故所求事件的概率为 = . 900 300 6.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长, 2 则该矩形面积大于 20 cm 的概率为( ) A. C. 1 6 2 3 B. D. 1 3 4 5
2

解析:选 C.设|AC|=x cm,0<x<12,则|CB|=(12-x) cm,要使矩形面积大于 20 cm , 10-2 2 2 只要 x(12-x)>20,则 x -12x+20<0,2<x<10,所以所求概率为 P= = ,故选 C. 12 3 7.取一根长度为 3 米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1 米 的概率为( ) A. C. 1 2 1 3 B. D. 2 3 1 4

解析:选 C.设事件 A=“剪得两段的长都不小于 1 米”.把绳子三等分,当剪断位置处 在中间一段时,事件 A 发生.由于中间一段的长度为 1 米,所以,由几何概型的概率公式得

P(A)= .
8.小莉与小明一起用 A,B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字 1,2, 3,4,5,6)玩游戏,以小莉掷的 A 立方体朝上的数字为 x,小明掷的 B 立方体朝上的数字为 y,来确定点 P(x,y),那么他们各掷一次所确定的点 P(x,y)落在已知抛物线 y=-x2+4x 上 的概率为( ) A. C. 1 6 1 12 B. D. 1 9 1 18

1 3

解析:选 C.根据题意,两人各掷立方体一次,每人都有六种可能性,则(x,y)的情况有 2 2 2 36 种,即 P 点有 36 种可能,而 y=-x +4x=-(x-2) +4,即(x-2) +y=4,易得在抛物 3 1 线上的点有(2,4),(1,3),(3,3)共 3 个,因此满足条件的概率为 = . 36 12 9.如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分

- 12 -

都是以正方形的顶点为圆心,半径为 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且 2 击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是( π A.1- 4 π C.1- 8 B. π 4 )

a

D.与 a 的取值有关
2

a 2 πa ( ) 2 2 4 πa 2 解析:选 A.正方形面积为 a ,空白部分面积为 4π = ,所以概率为 P=1- 2 4 4 a
π =1- . 4

10.在箱子里装有十张纸条,分别写有 1 到 10 的十个整数.从箱子中任取一张纸条,记 下它的读数 x,然后再放回箱子中,第二次再从箱子中任取一张纸条,记下它的读数 y,则 x +y 是 10 的倍数的概率为( ) A. C. 1 2 1 5 B. D. 1 4 1 10

解析:选 D.先后两次取纸条时,形成的有序数对有(1,1),(1,2),?,(1,10),?, (10,10),共 100 个.∵x+y 是 10 的倍数,∴这些数对应该是(1,9),(2,8),(3,7),(4, 6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,10),共 10 个,故 x+y 是 10 的倍数 10 1 的概率是 P= = . 100 10 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 11.(2015·浙江十校联考)袋中含有大小相同的总数为 5 个的黑球、白球,若从袋中任 9 意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 ,则从中任意摸出 2 个球,得到的都是白球的 10 概率为________. 解析:因为袋中装有大小相同的总数为 5 个的黑球、白球,若从袋中任意摸出 2 个球, 1 共有 10 种情况,没有得到白球的概率为 ,设白球个数为 x,则黑球个数为 5-x,那么,可 10 3 知白球有 3 个,黑球有 2 个,因此可知从中任意摸出 2 个球,得到的都是白球的概率为 . 10 答案: 3 10

πx 1 12.在区间[-1,1]上随机取一个数 x,则 cos 的值介于 0 到 之间的概率为________. 2 2

- 13 -

πx 1 2 πx 1 解析:由 cos = ,x∈[-1,1]得 x=± ,如图所示,使 cos 的值介于 0 到 之间 2 2 3 2 2 2 2 的点落在[-1,- ]和[ ,1]内, 3 3 1 2× 3 1 ∴所求概率 P= = . 2 3 1 答案: 3 13.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径 作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概 率是________. 解析:设 OA=OB=2R,连接 AB,设分别以 OA,OB 为直径的两 个半圆交于点 C,OA 的中点为 D,连接 CD,OC. 如图所示,由对称性可得,阴影的面积就等于直角扇形的拱形面 积,S
阴影

1 1 2 2 2 2 = π (2R) - ×(2R) =(π -2)R ,S 扇=π R ,故所求的概 4 2
2

(π -2)R 2 率是 =1- . 2 πR π 2 答案:1- π 14.如图为铺有 1~36 号地板砖的地面,现将一粒豆子随机地扔 到地板上,豆子落在能被 2 或 3 整除的地板砖上的概率为________. 1 7 13 19 25 31 2 8 14 20 26 32 3 9 15 21 27 33 4 10 16 22 28 34 5 11 17 23 29 35 6 12 18 24 30 36

解析:因为每块地板砖的面积相等,所以豆子落在每块地板砖上是等可能的,因为能被 2 整除的有 18 块,能被 3 整除的有 12 块,能被 6 整除的有 6 块,所以能被 2 或 3 整除的一共 24 2 有 18+12-6=24(块).故所求概率为 = . 36 3 2 答案: 3 15. 如图, 利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 y= 与两直线 x=2 2 及 y=0 所围成的阴影部分的面积 S:①先产生两组 0~1 的均匀随机数, a=RAND,b=RAND;②做变换,令 x=2a,y=2b;③产生 N 个点(x,y), 并统计满足条件 y< 的点(x,y)的个数 N1,已知某同学用计算器做模拟 2 试验结果,当 N=1 000 时,N1=332,则据此可估计 S 的值为________.

x2

x2

- 14 -

x 332 S 解析:根据题意:满足条件 y< 的点(x,y)的概率是 ,正方形的面积为 4,则有 = 2 1 000 4
332 ,∴S=1.328. 1 000 答案:1.328 三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 16.(本小题满分 8 分)随机地排列数字 1,5,6 得到一个三位数,计算下列事件的概率. (1)所得的三位数大于 400; (2)所得的三位数是偶数. 解:1,5,6 三个数字可以排成 156,165,516,561,615,651,共 6 个不同的三位数. 4 2 (1)大于 400 的三位数的个数为 4,∴P= = . 6 3 (2)三位数为偶数的有 156,516,共 2 个, 2 1 ∴相应的概率为 P= = . 6 3 17.(本小题满分 8 分)设 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},任取 x,y∈M,x≠y. 求 x+y 是 3 的倍数的概率. 解:利用平面直角坐标系列举,如图所示.

2

由此可知,基本事件总数 n=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.而 x+y 是 3 的倍数的情

m 1 况有 m=15(种),故所求事件的概率为 = . n 3
18.(本小题满分 10 分)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶,该靶为正方形板,边长 为 18 厘米,挂于前门附近的墙上,顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意 大利馅饼中的一个,投镖靶中画有三个同心圆,圆心在靶的中心,当投镖击中半径为 1 厘米 的最内层圆域时.可得到一个大馅饼;当击中半径为 1 厘米到 2 厘米之间的环域时,可得到 一个中馅饼;如果击中半径为 2 厘米到 3 厘米之间的环域时,可得到一个小馅饼,如果击中 靶上的其他部分,则得不到馅饼,我们假设每一个顾客都能投镖中靶,并假设每个圆的周边 线没有宽度,即每个投镖不会击中线上,试求一顾客: (1)赢得一个大馅饼, (2)赢得一个中馅饼, (3)赢得一个小馅饼, (4)没得到馅饼的概率. 解:试验的样本空间可由一个边长为 18 的正方形表示.如图表明 R 和子区域 r1、r2、r3 和 r4,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件.

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r1的面积 π (1)2 π (1)P(r1)= = = ; 2 R的面积 18 324 r2的面积 π (2)2-π (1)2 3π π (2)P(r2)= = = = ; 2 R的面积 18 324 108
(3)P(r3)= (4)P(r4)=

r3的面积 π (3)2-π (2)2 5π = = ; 2 R的面积 18 324 r4的面积 324-π (3)2 9π π = =1- =1- . 2 R的面积 18 324 36

19.(本小题满分 12 分)已知集合 Z={(x,y)|x∈[0,2],y∈[-1,1]}. (1)若 x,y∈Z,求 x+y≥0 的概率; (2)若 x,y∈R,求 x+y≥0 的概率. 解:(1)设“x+y≥0,x,y∈Z”为事件 A,x,y∈Z,x∈[0,2],即 x=0,1,2;y∈[- 1,1],即 y=-1,0,1. 则基本事件有:(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1), 8 (2,0),(2,1)共 9 个.其中满足“x+y≥0”的基本事件有 8 个,∴P(A)= . 9 8 故 x,y∈Z,x+y≥0 的概率为 . 9 (2)设“x+y≥0,x,y∈R”为事件 B, ∵x∈[0,2],y∈[-1,1],则 基本事件为如图四边形 ABCD 区域,事件 B 包括的区域为其中的 阴影部分.

∴P(B)=

S阴影

S四边形ABCD- ×1×1 2×2- ×1×1
= 7 8

1 2

S四边形ABCD

S四边形ABCD



1 2 2×2

7 = ,故 x, 8

y∈R,x+y≥0 的概率为 .
20.(本小题满分 12 分)2014 年全国政协十二届二次会议期间,某报刊媒体要选择两名记 者去进行专题采访,现有记者编号分别为 1,2,3,4,5 的五名男记者和编号分别为 6,7,8, 9 的四名女记者.要从这九名记者中一次随机选出两名,每名记者被选到的概率是相等的,用 符号(x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为 x、y,且 x<y”. (1)共有多少个基本事件?并列举出来; (2)求所抽取的两名记者的编号之和小于 17 但不小于 11 或都是男记者的概率. 解:(1)共有 36 个基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9), (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8), (4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),

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(8,9),共 36 个. (2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于 17 但不小于 11”为事件 A,即事件 A 为“x, y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且 11≤x+y<17,其中 x<y”,由(1)可知事件 A 共含有 15 个基本事件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6), (5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),共 15 个.“都是男 记者”记作事件 B,则事件 B 为“x<y≤5”,包含:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2, 15 10 25 3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 10 个.故 P(A)+P(B)= + = . 36 36 36 25 故所求概率为 . 36 模块综合检测 (时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.下列描述不能看作算法的是( ) A.解方程 2x-6=0 的过程是移项和系数化为 1 B.从济南到温哥华要先乘火车到北京,再转乘飞机 2 C.解方程 2x +x-1=0 2 2 D.利用公式 S=π r 计算半径为 3 的圆的面积时,计算π ×3 解析:选 C.因为 A,B,D 三个均有明确的步骤,并且在有限步内能解决问题,而 C 没有 给出解决问题的步骤. 2 .要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小,需知道相应样本的 ( ) A.平均数 B.方差 C.众数 D.频率分布 解析:选 D.由样本的频率分布可以估计总体在某一范围内的分布情况,故选 D. 3.下列说法正确的是( ) ①互斥事件一定是对立事件; ②球的体积与半径的关系是正相关; ③汽车的重量和百公里耗油量成正相关. A.①② B.①③ C.②③ D.③ 解析:选 D.互斥事件不一定是对立事件,①错;②中球的体积与半径是函数关系,不是 正相关关系,②错;③正确. -x,x≤-1, ? ? 4.(2015·枣庄高一检测)如图所示是计算函数 y=?0,-1<x≤2,的值的程序框图,则 ? ?x2,x>2 在①、②、③处应分别填入的是( )

- 17 -

A.y=-x,y=0,y=x 2 B.y=-x,y=x ,y=0 2 C.y=0,y=x ,y=-x 2 D.y=0,y=-x,y=x 解析: 选 B.框图为求分段函数的函数值, 当 x≤-1 时, y=-x, 故①y=-x, 当-1<x≤2 2 时,y=0,故③y=0,那么②y=x . 5.已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 ( ) ^ A.y=1.23x+0.08 ^ C.y=1.23x+4 ^ B.y=1.23x+5 ^ D.y=0.08x+1.23

2

^ ^ ^ ^ 解析:选 A.设回归直线方程为y=bx+a,则b=1.23,因为回归直线必过样本点的中心, ^ 代入点(4,5)得a=0.08. ^ ∴回归直线方程为y=1.23x+0.08. 6.如图是甲、乙两市领导干部年龄的茎叶图,则对于这两市领导干部的平均年龄给出的 以下说法中正确的是( )

①A 市领导干部年龄的分布主要集中在 40~50 之间;②B 市领导干部年龄的分布大致对 称;③A 市领导干部的平均年龄比 B 市领导干部的平均年龄大;④两市领导干部的平均年龄都 是 50. A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④ 解析:选 C.由茎叶图易知①②正确. A 市领导干部的平均年龄为

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xA=

38+38+40+?+61 ≈48.3; 17 35+36+?+57 =45.3, 22

B 市领导干部的平均年龄为 xB=

xA>xB,所以③正确,④错误.
7.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班 50 名学生高校招生体检表中的视力情况进 行统计,其结果的频率分布直方图如图所示.

若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则该班学生中能报 A 专业的人数为( ) A.10 B.20 C.8 D.16 解析:选 B.视力在 0.9 以上的频率为(1+0.75+0.25)×0.2=0.4,故能报 A 专业的人数 为 0.4×50=20. 8.盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共 10 个,从中随机取出 1 个,若它是肉馅包子 2 7 的概率为 ,它不是豆沙馅包子的概率为 ,则素馅包子的个数为( 5 10 A.1 C.3 B.2 D.4 )

7 解析:选 C.由题意,可知这个包子是肉馅或素馅的概率为 ,所以它是素馅包子的概率 10 7 2 3 3 为 - = ,故素馅包子的个数为 10× =3. 10 5 10 10 9.一组数据的平均数、众数和方差都是 2,则这组数可以是( ) A.2,2,3,1 B.2,3,-1,2,4 C.2,2,2,2,2,2 D.2,4,0,2 解析:选 D.易得这四组数据的平均数和众数都是 2,所以只需计算它们的方差就可以. 第一组数据的方差是 0.5;第二组数据的方差是 2.8;第三组数据的方差是 0;第四组数 据的方差是 2. 10.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 与 b,确定 平面上一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N), 若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为( ) A.3 B.4 C.2 和 5 D.3 和 4 解析:选 D.点 P(a,b)共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)6 种情况, 得 x+y 分别等于 2,3,4,3,4,5,所以出现 3 与 4 的概率最大,故 n 的所有可能值为 3 和 4. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上)

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11.如图所示的程序框图,其运行结果(即输出的 S 值)是________.

解析:程序框图表示 S=2+4+6+8+10=30. 答案:30 12.如图,一颗豆子随机扔到桌面上,假设豆子不落在线上,则它落在阴影区域的概率 为________.

解析:由题意知试验发生包含的事件对应的图形是一个大正方形,若设大正方形的边长 是 3,则大正方形的面积是 9,满足条件的事件是三个小正方形,面积和是 3, 3 1 ∴落在图中阴影部分中的概率是 = . 9 3 1 答案: 3 13.(2013·高考湖北卷)某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下:7,8,7, 9,5,4,9,10,7,4,则 (1)平均命中环数为________; (2)命中环数的标准差为________. 1 解析:(1) x = (7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7. 10 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)方差 s = [(7-7) +(8-7) +(7-7) +(9-7) +(5-7) +(4-7) +(9-7) +(10 10 -7) +(7-7) +(4-7) ]=4. ∴标准差 s=2. 答案:(1)7 (2)2 14.(2015·湖南师大附中联考)为了均衡教育资源,加大对偏远地区的教育投入.某调 研小组调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年教育支出 y(单位:万元),调查显 ^ 示年收入 x 与年教育支出 y 具有线性相关关系,且得到回归方程为:y=0.15x+0.2,则家庭 年收入每增加 1 万元,年教育支出平均增加________万元. 解析:由题意知 0.15(x+1)+0.2-0.15x-0.2=0.15. 答案:0.15
2 2 2

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15.设 a∈[0,10)且 a≠1,则函数 f(x)=logax 在(0,+∞)内为增函数且 g(x)=

a-2 在 x

(0,+∞)内也为增函数的概率为________. 解析:由条件知,a 的所有可能取值为 a∈[0,10)且 a≠1,使函数 f(x),g(x)在(0,+ ∞)内都为增函数的 a 的取值为?
?a>1, ?

?a-2<0, ?

∴1<a<2.

2-1 1 由几何概型的概率公式知,P= = . 10-0 10 答案: 1 10

三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 16.(本小题满分 8 分)画出下面的程序所描述的一个程序框图. INPUT x IF x>0 THEN PRINT x ELSE PRINT -x END IF END 解:程序框图如图:

17.(本小题满分 8 分)检查甲、乙两厂的 100 瓦灯泡的产品质量,分别抽取 20 个灯泡, 检查结果如下: 瓦数 甲厂个数 乙厂个数 94 0 1 96 3 2 98 6 7 100 8 4 102 2 3 104 0 2 106 1 1

(1)若 95~105 瓦的灯泡为合格产品,试估计两厂产品的合格率; (2)问哪个厂的产品质量比较稳定? 解:(1)甲厂产品的合格率为 19 =95%, 20

18 乙厂产品的合格率为 =90%. 20 (2)甲厂产品的样本平均数为
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x 甲=(96×3+98×6+100×8+102×2+106)÷20=99.3. s2 甲=
2

1 2 2 2 2 [3×(96- 99.3) +6×(98- 99.3) +8×(100- 99.3) +2×(102- 99.3) + (106 20

-99.3) ]=5.31.

x 乙=(94+2×96+7×98+4×100+3×102+2×104+106)÷20=99.6.
2 2 2 2 s2 [(94-99.6) +2×(96-99.6) +7×(98-99.6) +4×(100-99.6) +3×(102- 乙=

1 20

99.6) +2×(104-99.6) +(106-99.6) ]=8.64, 2 s2 甲<s乙, 所以甲厂的产品质量比较稳定. 18.(本小题满分 10 分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为 此做了四次试验,得到的数据如下表所示: 零件的个数 x(个) 加工的时间 y(h) 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5

2

2

2

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

^ ^ ^ (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少时间? 解:(1)散点图如图.

(2)由表中数据得:

4 x y = 52.5 , x = 3.5 , y = 3.5 , i i ? ? xi2=54. i=1 i=1

4

^ ^ 代入公式得b=0.7,a=1.05, ^ ∴y=0.7x+1.05. 回归直线如图中所示. (3)将 x=10 代入回归直线方程, ^ 得y=0.7×10+1.05=8.05(h).

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∴预测加工 10 个零件需要 8.05 h. 19.(本小题满分 12 分)(2014·高考北京卷)从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一 周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图: 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分组 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) 合计 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100

(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率; (2)求频率分布直方图中的 a,b 的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 100 名学生该 周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论) 解:(1)根据频数分布表,100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6+2+2 10 =10(名),所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1- =0.9. 100 从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9. (2)课外阅读时间落在组[4,6)的有 17 人,频率为 0.17, 频率 0.17 所以 a= = =0.085. 组距 2 课外阅读时间落在组[8,10)的有 25 人,频率为 0.25, 频率 0.25 所以 b= = =0.125. 组距 2 (3)样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组. 20.(本小题满分 12 分)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情 况,随机访问了 50 位市民.根据这 50 位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越 高),绘制茎叶图如下:

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甲部门 4 97 97665332110 98877766555554443332100 6655200 632220 3 4 5 6 7 8 9 10

乙部门 59 0448 122456677789 011234688 00113449 123345 011456 000

(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 解:(1)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的 是 75,75,故样本中位数为 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在 25,26 位的是 66,68,故样本中位数为 66+68 =67,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67. 2 5 8 (2)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为 =0.1, = 50 50 0.16,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16. (3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且 由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市 市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.

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