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河北省保定市2017届高三(上)11月摸底数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017 学年河北省保定市高三(上)11 月摸底数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. =( ) C.1 D.2﹣i )

A.﹣i B.i

2.已知函数 f(x)=2x 的值域为 A,g(x)=lnx 的定义域为 B,则( A.A∩B=(0,1) B.A∪B=R C.B?A D.A=B 3.若函数 f(x)=(a﹣1)x3+ax2 为奇函数,则 f(1)=( A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.0 , C. D. ,若 与 垂直,则 m 的值为( )

4.设向量 A. B.



5.下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间 A.y=sin2x B.y=|cosx| 6.下列命题中: C.y=﹣tanxD.

上为增函数的是(



①若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q“为真命题; ②“ ”是“ ”的必要不充分条件; ”

③命题“? x∈R,2x>0”的否定是“? x0∈R, 正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.3

7.设数列{an}是公比为 q(|q|>1)的等比数列,令 bn=an+1(n∈N*) ,若数列{bn}有连续四项在集 合{﹣53,﹣23,19,37,82}中,则 q=( A. B. C. D. ) )

8.设 α 为△ABC 的内角,且 tanα=﹣ ,则 cos2α 的值为( A. B.﹣ C.﹣ D.

9.已知函数 f(x)的导函数 f′(x)=a(x+b)2+c(a≠0)的图象如图所示,则函数 f(x)的图象可

能是(



A.

B.

C.

D.

10.等比数列{an}中,若 a4a5=1,a8a9=16,则公比 q 等于( A. B.2 C.﹣2 D.



11. .已知 O 是坐标原点, 0) y) 点A (1, , 若点 M (x, 为平面区域 的最大值是( A. B.1 ) C. D.

上的一个动点, 则

12.已知 O 为正△ABC 内的一点,且满足 比值为 3,则 λ 的值为( A. B. C.2 D.3 )

,若△OAB 的面积与△OBC 的面积的

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知函数 f(x)= 14.若平面向量 15.设数列{an}中,a1=3, ,则 f[f(0)]= 与 方向相反,且 . . .

,则 的坐标为

(n∈N*,n≥2) ,则 an=

16 .已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,满足 f ( x+4 ) =f ( x ) +f ( 2 ) ,且 0 ≤ x ≤ 2 时, f ( x ) = 点,则 a= . ,若函数 g(x)=f(x)﹣a|x|(a≠0) ,在区间[﹣3,3]上至多有 9 个零

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 S3=7,a1+3,a3+4 的等差中项为 3a2. (1)求 a2; (2)若{an}是等比数列,求 an. 18.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (1)求函数 f(x)的解析式; (2)如何由函数 y=sinx 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数 f(x)的图象,写出变换过程. )的部分图象如图所示,

19.等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,且 , (n∈N*) (1)求 an,bn; (2)求{anbn}的前 n 项和 Mn. 20.已知函数 f(x)=x2﹣(2﹣a)x﹣(2﹣a)lnx. . (1)若 a=1,求函数 f(x)的极值;

,等比数列{bn}中,其前 n 项和为 Tn,且

(2)若 f(x)在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围. 21.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a,b,c 成等差数列,C=2A. (1)求 cosA; (2)若 a=2,求△ABC 的面积. 22.已知函数 f(x) =(a﹣bx3)ex﹣ y﹣3=0 垂直. (Ⅰ)求 a,b; (Ⅱ)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)>2. e)处的切线与直线 x﹣(2e+1) , 且函数 f(x)的图象在点(1,

2016-2017 学年河北省保定市高三(上)11 月摸底数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. =( ) C.1 D.2﹣i

A.﹣i B.i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解: 故选:A. = .

2.已知函数 f(x)=2x 的值域为 A,g(x)=lnx 的定义域为 B,则( A.A∩B=(0,1) B.A∪B=R C.B?A D.A=B 【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法. 【分析】求出 f(x)的定义域,g(x)的值域,确定出 A=B, 【解答】解:函数 f(x)=2x 的值域为 A=(0,+∞) , g(x)=lnx 的定义域为 B=(0,+∞) , ∴A=B, 故选:D



3.若函数 f(x)=(a﹣1)x3+ax2 为奇函数,则 f(1)=( A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.0



【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】利用奇函数的定义,求出 a,再计算 f(1)即可. 【解答】解:∵f(x)=(a﹣1)x3+ax2 为奇函数, ∴﹣(a﹣1)x3+ax2=﹣(a﹣1)x3﹣ax2, ∴a=0,

∴f(x)=﹣x3,∴f(1)=﹣1, 故选 B.

4.设向量 A. B. C.

, D.

,若 与

垂直,则 m 的值为(



【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出 【解答】解:∵向量 ∴ ∵ 与 ∴ ?( =(﹣1,3+m) , 垂直, )=﹣1+3(3+m)=0, , , ,再由向量垂直的条件,能求出 m 的值.

解得 m=﹣ . 故选:B.

5.下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间 A.y=sin2x B.y=|cosx| C.y=﹣tanxD.

上为增函数的是(



【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】利用三角函数的单调性和周期性,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【解答】解:根据函数以 π 为最小正周期,y=cos 的周期为 在区间 在区间 =4π,可排除 D.

上,2x∈(π,2π) ,y=sin2x 没有单调性,故排除 A. 上,y=﹣tanx 单调递减,故排除 C, 上为增函数,

故只有 y=|cosx|满足以 π 为最小正周期,且在区间 故选:B.

6.下列命题中: ①若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q“为真命题;

②“

”是“

”的必要不充分条件; ”

③命题“? x∈R,2x>0”的否定是“? x0∈R, 正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.3

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】利用复合命题的真假判断①的正误;利用充要条件判断②的正误;利用命题的否定判断③的 正误; 【解答】解:①若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q“为真命题是不正确的; ②“ ”则“ ”,但是“ ”不一定“ ”,所以“ ”是“ ”的必要不充分

条件;正确. ③命题“? x∈R,2x>0”的否定是“? x0∈R, 故选:C. ”,满足命题的否定,是正确.

7.设数列{an}是公比为 q(|q|>1)的等比数列,令 bn=an+1(n∈N*) ,若数列{bn}有连续四项在集 合{﹣53,﹣23,19,37,82}中,则 q=( A. B. C. D. )

【考点】数列递推式. 【分析】推导出{an}有连续四项在{﹣54,﹣24,18,36,81}中,从而 q<0,且负数项为相隔两项 等比数列各项的绝对值递增,按绝对值的顺序排列上述数值,由此能示出结果. 【解答】解:数列{bn}有连续四项在集合{﹣53,﹣23,19,37,82}中, 且 bn=an+1(n∈N*) ,∴an=bn﹣1, 则{an}有连续四项在{﹣54,﹣24,18,36,81}中, ∵数列{an}是公比为 q(|q|>1)的等比数列, 等比数列中有负数项,则 q<0,且负数项为相隔两项 ∵|q|>1,∴等比数列各项的绝对值递增,按绝对值的顺序排列上述数值 18,﹣24,36,﹣54,81, 相邻两项相除 =﹣ , =﹣ , =﹣ , =﹣ ,

∵|q|>1,∴﹣24,36,﹣54,81 是{an}中连续的四项,此时 q=﹣ .

故选:C.

8.设 α 为△ABC 的内角,且 tanα=﹣ ,则 cos2α 的值为( A. B.﹣ C.﹣ D.



【考点】二倍角的余弦. 【分析】利用同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式,求得 cos2α 的值. 【解答】解:∵α 为△ABC 的内角,且 tanα=﹣ ,则 cos2α= 故选:A. ,

=

=

=

9.已知函数 f(x)的导函数 f′(x)=a(x+b)2+c(a≠0)的图象如图所示,则函数 f(x)的图象可 能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】导数的运算;函数的图象. 【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断. 【解答】解:由 f′(x)图象可知,函数 f(x)先减,再增,再减, 故选:D.

10.等比数列{an}中,若 a4a5=1,a8a9=16,则公比 q 等于( A. B.2 C.﹣2 D.



【考点】等比数列的通项公式.

【分析】由等比数列的性质得

=

.a4a5=

=1>0,由此能求出公比 q 的值.

【解答】解:∵等比数列{an}中,a4a5=1,a8a9=16, ∴ 又 a 4a 5= ∴q>0, 解得公比 q= 故选:A. . = . =1>0,

11. .已知 O 是坐标原点, 0) y) 点A (1, , 若点 M (x, 为平面区域 的最大值是( A. B.1 ) C. D.

上的一个动点, 则

【考点】简单线性规划. 【分析】由已知点的坐标求得目标函数 ,由约束条件作出可行域,再由目标函数的几

何意义,即可行域内的动点与定点 P(﹣1,0)的距离求解. 【解答】解:∵A(1,0) ,M(x,y) , ∴ 由约束条件 ,则 z= = .

作出可行域如图,

的几何意义为可行域内的动点与定点 P(﹣1,0)的距离.

由图可知, 故选:C.



12.已知 O 为正△ABC 内的一点,且满足 比值为 3,则 λ 的值为( A. B. C.2 D.3 )

,若△OAB 的面积与△OBC 的面积的

【考点】向量在几何中的应用. 【分析】如图 D,E 分别是对应边的中点,对所给的向量等式进行变形,根据变化后的条件得到 ﹣λ =

,由于正三角形 ABC,结合题目中的面积关系得到 S△COB= S△ABC,S△COA= S△ABC,由面积之比,

O 分 DE 所成的比,从而得出 λ 的值. 【解答】解:由于 变为 + +λ( + )=0. ,

如图,D,E 分别是对应边的中点, 由平行四边形法则知 故 =﹣λ , + =2 ,λ( + )=2λ ,

在正三角形 ABC 中, ∵S△COB= S△AOB= × S△ABC= S△ABC, S△COA=S△ACB﹣ S△ABC﹣ S△ABC= S△ABC, 且三角形 AOC 与三角形 COB 的底边相等,面积之比为 2 得 λ=2. 故选:C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知函数 f(x)= 【考点】对数的运算性质. 【分析】由函数的解析式求得 f(0)的值,进而求得 f[f(0)]的值. 【解答】解:∵函数 ∴f[f(0)]=f(1)=log21=0, 故答案为 0. ,则 f(0)=30=1, ,则 f[f(0)]= 0 .

14.若平面向量 【考点】向量的模. 【分析】平面向量 【解答】解:平面向量

与 方向相反,且

,则 的坐标为

(1,﹣2)



与 方向相反,设 =k(﹣1,2) , (k<0) ,根据 与 方向相反,

,解得 k.

设 =k(﹣1,2) , (k<0) , ∵ ,∴ = ,解得 k=﹣1.

则 =(1,﹣2) , 故答案为: (1,﹣2) .

15.设数列{an}中,a1=3, 【考点】数列递推式.

(n∈N*,n≥2) ,则 an=



【分析】利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解:∵a1=3, (n∈N*,n≥2) ,

则 an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =3n+3n﹣1+…+32+3 = = .

故答案为:



16 .已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,满足 f ( x+4 ) =f ( x ) +f ( 2 ) ,且 0 ≤ x ≤ 2 时, f ( x ) = 点,则 a= 20﹣8 . ,若函数 g(x)=f(x)﹣a|x|(a≠0) ,在区间[﹣3,3]上至多有 9 个零

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】利用 f(x)的周期与对称性得出 f(x)在(2,3)上的解析式,由 g(x)的零点个数可得 y=ax 与 f(x)在(2,3)上的图象相切,根据斜率的几何意义列方程组解出 a. 【解答】解:f(2)=﹣4×22+12×2﹣8=0, ∴f(x+4)=f(x) , ∴f(x)的周期为 4. 作出 f(x)在[﹣3,3]上的函数图象,如图所示:

令 g(x)=0 得 f(x)=a|x|, ∴当 x>0 时,y=ax 与 y=f(x)在(2,3)上的函数图象相切, ∵1<x<2 时,f(x)=﹣4x2+12x﹣8,且 f(x)是偶函数, ∴当﹣2<x<﹣1 时,f(x)=﹣4x2﹣12x﹣8, 又 f(x)周期为 4,则当 2<x<3 时,f(x)=﹣4(x﹣4)2﹣12(x﹣4)﹣8=﹣4x2+20x﹣24, 设 y=ax 与 y=f(x)在(2,3)上的切点坐标为(x0,y0) ,



,解得 x0= .

,a=20﹣8



故答案为:

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 S3=7,a1+3,a3+4 的等差中项为 3a2. (1)求 a2; (2)若{an}是等比数列,求 an. 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】 (1)利用已知条件建立方程组,求解健康得答案; (2)设数列{an}的公比为 q,由 a2=2,可得首项与公比,即可求得数列{an}的通项公式. 【解答】解: (1)由已知得: 解得 a2=2; (2)设数列{an}的公比为 q,由 a2=2,可得 又 S3=7,可知 +2+2q=7,∴2q2﹣5q+2=0,解得 ①若 则 ②若 q2=2,∴a1=1, 则 . ,∴a1=4, . . ,q2=2. ,

18.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (1)求函数 f(x)的解析式;

)的部分图象如图所示,

(2)如何由函数 y=sinx 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数 f(x)的图象,写出变换过程.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】 (Ⅰ)由函数的图象可求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,从而求得函数的 解析式. (Ⅱ)根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 【解答】解: (1)由图象知 A=1. f(x)的最小正周期 故 将点 又 ∴ . , y=sin2x 的图象, 的图象, 的图象. 的图象 的图象 , 代入 f(x)的解析式得 , , ,

故函数 f(x)的解析式为 (2)变换过程如下:y=sinx 图象上的 再把 y=sin2x 的图象 另解:y=sinx 再把

19.等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,且 , (n∈N*) (1)求 an,bn;

,等比数列{bn}中,其前 n 项和为 Tn,且

(2)求{anbn}的前 n 项和 Mn. 【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【分析】 (1)法 1:利用等差数列的前 3 项求出公差与首项,再利用通项公式即可得出. 法 2:利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出. (2)法 1:利用分组求和即可得出. 法 2:利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解: (1)法 1:由 又 因为 a2=﹣1 时, ,a1=1… ,所以 a2=3 或﹣1 =1,故 a2=﹣1 舍去…

所以等差数列{an)的公差 d=a2﹣a1=2∴an=2n﹣1,… 同样可得 b1=1,b2=3 或﹣1 因为 b2=3 时, 又{bn}为等比数列,所以 法 2 : ,故 b2=3 舍去 … , a1=1…1 分 , ,( n ≥ 2 ) (an﹣an﹣1) (an+an﹣1)﹣2(an+an﹣1)=0… (an﹣an﹣1﹣2) (an+an﹣1)=0,因为{an}为等差数列, 所以 an﹣an﹣1﹣2=0,又 a1=1∴an=2n﹣1,… 又{bn}为等比数列,所以易得 …

(2)法一:Mn=a1?b1+a2?b2+…+an?bn=1﹣3+5﹣7+…+(﹣1)n﹣1(2n﹣1) 若 n 为偶数,则 Mn= 所以 Mn=﹣n… 若 n 为奇数,则结合上边情况可得 Mn=﹣(n﹣1)+(2n﹣1)=n 综上可得 Mn=(﹣1)n﹣1?n… 法二:Mn=1×(﹣1)0+3×(﹣1)1+5×(﹣1)2+…+(2n﹣1)×(﹣1)n﹣1…① ﹣Mn=1×(﹣1)1+3×(﹣1)2+5×(﹣1)3+…+(2n﹣1)×(﹣1)n…② ①﹣②得:

2Mn=1+2×(﹣1)1+2×(﹣1)2+2×(﹣1)3+…+2×(﹣1)n﹣1﹣(2n﹣1)×(﹣1)n﹣﹣﹣﹣ 2Mn= ﹣﹣
n﹣1 Mn=n× (﹣1) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

20.已知函数 f(x)=x2﹣(2﹣a)x﹣(2﹣a)lnx. . (1)若 a=1,求函数 f(x)的极值; (2)若 f(x)在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)求出函数的导数,利用导数为 0,求解极值点,然后判断求解极值即可. (2)利用导函数的符号,结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值,推出结果即可. 【解答】解: (1)∵f(x)=x2﹣(2﹣a)x﹣(2﹣a)lnx,x>0 ∴ 因为 a=1,令 =0 得 x=1 或 x= , (舍去)…

又因为,当 0<x<1 时,f'(x)<0;x>1 时,f'(x)>0 所以 x=1 时,函数 f(x)有极小值 f(1)=0… (2)若 f'(x)>0,在 x>0 上恒成立,则 2x2﹣(2﹣a)x﹣(2﹣a)>0 恒成立, ∴ 而当 x>0 时∵ 检验知,a=2 时也成立∴a≥2… [或:令 ,∴ ,∵x>0,∴g'(x)<0﹣﹣﹣﹣﹣ . 恒成立…

所以,函数 g(x)在定义域上为减函数 所以 g(x)<g(0)=2 检验知,a=2 时也成立∴a≥2….

21.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a,b,c 成等差数列,C=2A. (1)求 cosA; (2)若 a=2,求△ABC 的面积. 【考点】数列与函数的综合;正弦定理;余弦定理.

【分析】 (1)利用等差数列以及正弦定理,结合两角和与差的三角函数求解 A 即可. (2)利用三角函数的基本关系式以及正弦定理,转化求解三角形的面积即可. 【解答】解: (1)C=2A,B=180°﹣3A 因为 a,b,c 成等差数列 所以 a+c=2b 得 sinA+sinC=2sinB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ sinA+2sinA?cosA=2sin3A=2sin(A+2A)=2sinA?cos2A+2cosA?sin2A =2sinA(4cos2A﹣1)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 整理得:8cos2A﹣2cosA﹣3=0 解之得: ﹣﹣﹣﹣﹣ (2)∵ ,所以 , a=2, , 或 (舍去)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

c=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ a+c=2b, , = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

22.已知函数 f(x) =(a﹣bx3)ex﹣ y﹣3=0 垂直. (Ⅰ)求 a,b;

e)处的切线与直线 x﹣(2e+1) , 且函数 f(x)的图象在点(1,

(Ⅱ)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)>2. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)根据函数 f(x)的图象在点(1,e)处的切线与直线 x﹣(2e+1)y﹣3=0 垂直,求得 a, b; (Ⅱ)由(Ⅰ)得 函数的单调性,即可证明结论. 【解答】 (Ⅰ)解:因为 f(1)=e,故(a﹣b)e=e,故 a﹣b=1①; 依题意,f′(1)=﹣2e﹣1;又 , ,证 f(x)>2,即证 2ex﹣exx3>2 ,构造函数,确定

故 f′(1)=ae﹣1﹣4be=﹣2e﹣1,故 a﹣4b=﹣2②, 联立①②解得 a=2,b=1,… (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得 要证 f(x)>2,即证 2ex﹣exx3>2 ; …

令 g(x)=2ex﹣exx3,∴g′(x)=ex(﹣x3﹣3x2+2)=﹣ex(x3+3x2﹣2)=﹣ex(x+1) (x2+2x﹣2) , 故当 x∈(0,1)时,﹣ex<0,x+1>0; 令 p(x)=x2+2x﹣2,因为 p(x)的对称轴为 x=﹣1,且 p(0)?p(1)<0, 故存在 x0∈(0,1) ,使得 p(x0)=0; 故当 x∈(0,x0)时,p(x)=x2+2x﹣2<0,g′(x)=﹣ex(x+1) (x2+2x﹣2)>0, 即 g(x)在(0,x0)上单调递增; 当 x∈(x0,1)时,p(x)=x2+2x﹣2>0,故 g′(x)=﹣ex(x+1) (x2+2x﹣2)<0, 即 g(x)在(x0,1)上单调递减;因为 g(0)=2,g(1)=e, 故当 x∈(0,1)时,g(x)>g(0)=2,… 又当 x∈(0,1)时, 所以 2ex﹣exx3>2 ,∴ ,即 f(x)>2… …

2017 年 4 月 19 日


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