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1.2.1任意角的三角函数(1)


1.2.1

任意角的三角函数< 第一课时> 任意角的三角函数 第一课时
班级 姓名

学习目标
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量 的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余 弦、正切函数在各象限内的符号. 2.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.

重点难点
教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义。. 教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号。

教学过程
(一)提出问题 问题 1:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题 2:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴 的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在 α 的 终 边 上 任 取 一 点 P(a,b), 它 与 原 点 的 距 离 r= a + b >0.过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,则
2 2

线段 OM 的长度为 a,线段 MP 的长度为 b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=

MP b OM a MP b = ,cosα= = ,tanα= = . OP r OP r OP a

问题 3:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题 4:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? (二)新课导学 1、单位圆的概念: .在直角坐标系中,我们称以

为圆心,以

为半径的圆为单位圆.

2、三角函数的概念 我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.

1

图2 如图 2 所示,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么:

(1)y 叫做 α 的正弦 记作 sinα,即 sinα=y; 的正弦,记作 即 (2)x 叫做 α 的余弦 记作 cosα,即 cosα=x; 的余弦,记作 即 的正切,记作 (3) 叫做 α 的正切 记作 tanα,即 tanα= (x≠0). 即
所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将它们统称为三角函数. 注意:(1)正弦、余弦、正切、都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. (2)sinα 不是 sin 与 α 的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的 “sin”“tan”等是没有意义的. (3) 由相似三角形的知识,对于确定的角 α,这三个比值不会随点 P 在 α 的终边上的位置的 改变而改变. 3、例 1:已知角α的终边与单位圆的交点是 1 , 3 ) 求角α的正弦、余弦和正切值。 P (?

y x

y x

2 2

练习 1:已知角α的终边经过点 ,求角α正弦、余弦和正切值。 例2 求 的正弦、余弦和正切值. 练习 2:用三角函数的定义求 的三个三角函数值 4、定义推广: 定义推广:

是一个任意角, x,y)是其终边上的任意一点, 设角 α 是一个任意角,P(x,y)是其终边上的任意一点, 点 P 与原点的距离 r =
x
2

+

y

2

> 0

那么① 那么①

y y 的正弦, 叫做 α 的正弦,即 sin α = r r x x cos α = 的余弦, ② 叫做 α 的余弦,即 r r

2


4、 探究 三角函数

y y α α 的正切,即 tan = (x ≠0) 叫做 的正切, x x
定义域

.三角函数的定义域

sin α cos α
tan α
5、例题讲解 例3 已知角 α 的终边经过点 P 0 (-3,-4),求角 α 的正弦、余弦和正切值 .

练习 3. 已知角 θ 的终边过点 P(-12,5) ,求 θ 的正弦、余弦和正切三个三角函数值. 5、探究三角函数值在各象限的符号

y
( )
o
+

y
( ) ( ) o x ( ) ( )

x ( ) ( )

sin α

cos α

y
( ) ( ) ) o )

x

( ) ( ) )tan α )

3

6、例题讲解 例 4、 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角 θ 为第三象限角.反之也对。 ? 变式训练 (1、 (2007 北京高考)已知 cosθ·tanθ<0,那么角 θ 是( ) ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 (2、 )教材第 15 页第 6 题 (三)课堂小结 知识 能力 (四)作业布置 习题 1.2A 组第 2,9 题

?sin θ < 0, ?tan θ > 0.

4



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