高一数学必修1-函数的单调性-ppt

函数的单调性

马晓玲

函数的单调性
马晓玲

观察下列函数图象，你能描述下它们的变化规律吗？
y
f ( x) ? - x ? 1

o

x

函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质—单调性. 如何描述函数图象的“上升”“下降”呢? 以二次函数f(x)=x2 为例,列出x,y的对应值表:

x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
对比左图和上表,可以发现什么规律? 图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(-∞,0] 上随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小; 图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.

如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大, 相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的 f(x)也随着增大.”?

对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述“在区 间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:

你能仿照这样的描述,说明函数 f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?

定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有 f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数.

定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有 f(x1)＞f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 减函数.

定义:
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减 函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的

单

调区间.

例1 下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象说 出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数 还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数.

例2 物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告诉我 们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试 用函数的单调性证明之.
证明: 1

2 3 1.取值
2.作差 3.变形 4.定号 5.下结论

4

5

用定义证明函数在区间上是增或减函 数的步骤：
1.在此区间上任取两个实数 x1 , x2 , 且 x1 ? x2 。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2.将它们的函数值作差：
3.作差后变形处理(因式分解,通分等) 4.确定差的符号。 5.作出结论。

练习：证明函数 f (x) ? -2x ? 1 在 R
上是减函数.

小结:
? 1.函数的单调性概念; ? 2.增(减)函数的定义;

? 3.增(减)函数的图象特征;
? 4.增(减)函数的判定;

? 5.增(减)函数的证明.

练习1 画出下列函数图象，并写出单调区间：

(1) y ? ? x ? 2
2

y

2

单调增区间为? ??,0?

1
-2 -1
O

单调减区间为?0, ???

1

2

x

练习2 证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。

想一想：函数f(x)=1/x在(0，
+∞)上的单调性呢？

在整个定义域内 f(x)=1/x是不是减函数呢？

反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1
可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。

1 (2) y ? ( x ? 0) x
两个单调减区间? ??,0? 和? 0， ? ??
能否写成

y x2
O

?? ?,0? ? ?0， ? ? ??

x1

x

两区间之间用“和”或用“逗号” 隔开.