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四川省成都经济技术开发区实验高级中学校2017届高三数学一诊模拟期末模拟试题理


成都经开区实验高级中学 2014 级高三上期期末模拟考试试卷 数 学(理工类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择),考生作答时,须将答案答答题卡上,在本试 卷、草稿纸上答题无效。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 注意事项: 1.必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A={y|y=x },B={x|y=lg(1﹣x)},则 A∩B= A.[0,1] B.[0,1) C.(﹣∞,1) D.(﹣∞,1]
2

2.将函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图像沿 x 轴向右平移 个可能取值为 A. ?

? 个单位后,得到的图像关于原点对称,则 ? 的一 6 ? 3
5? 6

?
3

B.

? 6

C.

D.

3. 已知 a , b 是平面 ? 内的两条不同直线,直线 l 在平面 ? 外,则 l ? a, l ? b 是 l ? ? 的 A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 x ?[0,1] 时, f ( x) ? x ,则方程

f ( x) ?
A.3

2x ? 8 在 (0,??) 解的个数是 x ?1
B.4 , B.6 C.9 D.12 C.5 D.6

5.设函数 A.3

6. 已知命题 p : 对于 x ? R 恒有 2 x ? 2? x ? 2 成立;命题 q : 奇函数 f ( x ) 的图像必过原点,则下列结 论正确的是 A. p ? q 为真 B. ? ?p ? ? q 为真 C. ? ?q ? 为假 D. p ? ? ?q ? 为真
1

7.在 ? ABC 中. sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin Bsin C .则 A 的取值范围是 A.(0,

?
6

]

B.[

?
6

,? )

C.(0,

?
3

]

D.[

?
3

,? )

8.命题“ ?n ? N * , f (n) ? N * 且 f (n) ? n ”的否定形式是 A. ?n ? N * , f (n) ? N * 且 f (n) ? n
* * C. ?n0 ? N , f (n0 ) ? N 且 f (n0 ) ? n0

B. ?n ? N * , f (n) ? N * 或 f (n) ? n
* * D. ?n0 ? N , f (n0 ) ? N 或 f (n0 ) ? n0

9.从某中学甲、乙两个班中各随机抽取 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm)后获得身高数据的茎 叶图如图 1,在这 20 人中,记身高在 150,160),160,170),170,180),180,190]的人数依次为 A1,

A2,A3,A4,图 2 是统计样本中身高在一定范围内的人数的程序框图,则下列说法中正确的是

图1

10.在 (1 ? x)6 (1 ? y) 4 的展开式中,记 x m y n 项的系数为 f (m, n) ,则

f (3,0) ? f (2,1) ? f (1,2) ? f (0,3) ?
A.45 B.60 C.120 D. 210





2 ? ? ? x ? 2 x, x ? 0 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若关于 x 的不等式 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? 0 恰有 1 个整数解,则 x ? 2 x , ??? x ? 0 ? ?

实数 a 的最大值是 (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 8

2

12.如图所示,正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,E,F 分别是棱 AA′,CC′的中点,过直线 E,F 的平面分别与棱 BB′、DD′交于 M,N,设 BM=x,x∈[0, 1],给出以下四个命题: ①平面 MENF⊥平面 BDD′B′; ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; ③四边形 MENF 周长 L=f(x),x∈[0,1]是单调函数; ④四棱锥 C′﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数;以上命题中假命题的序号为 A.①④ B.② C.③ D.③④

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 13. 计算定积分

?

1

?1

( x2 ? sin x)dx ? ___________

14.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计 2 000 户, 其中农民家庭 1 800 户,工人家庭 100 户. 现要从中抽取容量为 40 的样本调查家庭收入情况,则在整个抽样过程中,可以用到的抽样方法的是 __________.(填序号) ①简单随机抽样;②系统抽样;③分层抽样. 15.在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积, 满足 S ? 则角 C 的大小为 16 设函数 f ( x) 的定义域为 D,如果存在正实数 k ,使对任意 x ? D ,都有 x ? k ? D ,且

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 4

f ( x ? k ) ? f ( x) 恒成立,则称函数 f ( x) 为 D 上的“ k 型增函数”.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函
数,且当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a | ?2a ,若 f ( x) 为 R 上的“2011 型增函数”,则实数 a 的取值范 围是 .

三、解答题(共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17.(本题满分 12 分) 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) , g ( x) ? log a (1)求函数 F ( x) 的定义域 D 及其零点; (2)若关于 x 的方程 F ( x) ? m ? 0 在区间 [0, 1) 内仅有一解,求实数 m 的取值范围.

1 ,记 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) 1? x

3

18.(本小题满分 12 分)
0 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 A 1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ?ACB ? 90 ,

BC ? 1, AC ? CC1 ? 2 .
(I)证明: AC1 ? A 1B ; (II)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3 ,求二面角 A 1 ? AB ? C 的大小.

C1 A1

B1

D A

C

B

19.(本小题满分 12 分)某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路通畅状况有关,对 其容量为 100 的样本进行统计,结果如下: T(分钟) 频数(次) 25 20 30 30 35 40 40 10

(Ⅰ)求 T 的分布列与数学期望 ET; (Ⅱ)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘 教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ?

1 ,其中 a1 ? 0 . an ? 2

4

(1)求证 ?

? 1 ? ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; ? an ? 1 ?

(2)设 Tn ? an ? an?1 ? ? ?a2n?1 .若 Tn ? p ? n 对任意的 n ? N ? 恒成立,求 p 的最小值.

21.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? (1 ? ax) ln( x ? 1) ? bx , 其中, a 和 b 是实数, 曲线 y ? f ( x ) 恒与 x 轴相切于坐标原 点. (1) 求常数 b 的值; (2)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (3)当 0 ? x ? 1 时关于 x 的不 等式 f ( x) ? 0 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、 23 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。 作答时请写清题号, 本小题满分 10 分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点 M 的极 坐标为 ? 2 2,

? ?

??

? x ? 1 ? 2 cos ? ( ? 为参数). ? ,曲线 C 的参数方程为 ? 4? ? y ? 2sin ?

(1)直线 l 过 M 且与曲线 C 相切,求直线 l 的极坐标方程; (2)点 N 与点 M 关于 y 轴对称,求曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围

23.(本题满分 10 分)选修 4- 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)设函数 g(x)=|2x-1|.当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围.

5

成都经开区实验高级中学 2014 级高三上期期末模拟考试试卷 数学(理工类)参考答案 1—5 BDBBC 13. 6—10 DCDCC 14、①②③ 11—12 1 5. 60 0 CC 16、 a ?

2011 6 1 17.解:(1) F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 log a ( x ? 1) ? log a ( a ? 0 且 a ? 1) 1? x

2 3

?x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,所以函数 F ( x) 的定义域为 (?1, 1) ? ?1 ? x ? 0
令 F ( x) ? 0 ,则 2 log a ( x ? 1) ? log a

2分

1 ? 0 ??(*)方程变为 1? x

loga ( x ? 1)2 ? loga (1 ? x) , ( x ? 1)2 ? 1 ? x ,即 x 2 ? 3x ? 0
解得 x1 ? 0 , x2 ? ?3 ??4 分 经检验 x ? ?3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x ? 0 ,所以函数 F ( x) 的零点为 0 5分 (2) m ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ( 0 ? x ? 1) 1? x

2 4 m ? loga x ? 2 x ? 1 ? loga (1 ? x ? 4 ? 4) , a m ? 1 ? x ? ?4

1? x

1? x

1? x

8分

设 1 ? x ? t ? (0, 1] ,则函数 y ? t ?

4 在区间 (0, 1] 上是减函数, t
10 分 12 分 ,

当 t ? 1 时,此时 x ? 1 , y min ? 5 ,所以 a m ? 1 。 ①若 a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有 1 解;②若 0 ? a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有 1 解

C ^A C 18.解: 解法一: (I)A1 D ^ 平面 ABC ,A1 D ? 平面 AA1C1C , 故平面 AA1C1C ^ 平面 ABC . 又B

\ BC ^ 平面 AA1C1C .连结 A1C ,∵侧面 AA1C1C 为菱形,故 AC1 ^ A1C ,由三垂线定理得 AC1 ^ A1 B ;

(II)BC ^ 平面 AA1C1C , BC ? 平面 BCC1 B1 ,故平面 AA1C1C ^ 平面 BCC1 B1 .作 A1 E ^ CC1 , E 为垂足, 则 A1 E ^ 平面 BCC1 B1 .又直线 AA1 ∥平面 BCC1 B1 ,因而 A1 E 为直线 AA1 与平面 BCC1 B1 的距离,
A1 E = 3 .∵ A1C 为 ?ACC1 的角平分线,故 A1 D = A1 E = 3 .作 DF ^ AB , F 为垂 足,连结 A1 F ,由

三垂线定理得 A1 F ^ AB ,故 ?AFD 为二面角 A1 ? AB ? C 的平面角.由 AD = AA12 - A1D2 = 1 得 D 为 AC 1 的中点, DF = ?
1 2 AC ? BC AB 5 , tan ? A1 FD 5 A1 D = DF 15 , ∴二面角

A1 ? AB ? C 的大小为 arctan 15 .

6

C1 A1 E

B1

z A1

C1

B1

C D A F

B

C D x A

B y

解法二:以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴的正半轴,以 CB 长为单位长,建立如图所示的空间直角 坐标系 C - xyz .由题设知 A1 D 与 z 轴平行, z 轴在平面 AA1C1C 内. (I)设 A1 (a , 0 , c ) ,由题设有 a ? 2 , A(2 , 0 , 0) , B (0 , 1, 0) , 则
??? ? ???? ???? ???? ? ???? ???? ???? AB = (- 2 , 1, 0) , AC = (- 2 , 0 , 0) , AA1 = (a - 2 , 0 , c) , AC1 = AC + AA1 = (a - 4 , 0 , c) , BA1 = (a , - 1, c) .

???? 2 由 AA1 = 2 得 (a - 2) + c 2 = 2 ,即 a 2 - 4a + c 2 = 0 (①).于是
???? ? ???? AC1 ?BA1 a2 - 4a + c2 = 0 , \ AC1 ^ A1 B .

?? ?? ??? ? ?? ???? (II)设平面 BCC1 B1 的法向量 m = (x , y , z) , 则 m ^ CB , m ^ BB1 , 即
?? ??? ? m ?CB ?? ???? 0 , m ?BB1

??? ? 0 .? CB = (0 , 1, 0) ,

???? ???? ?? BB1 = AA1 = (a - 2 , 0 , c) , 故 y = 0 , 且 (a - 2) x + cz = 0 . 令 x= c, 则 z = 2- a ,m = c( ,0,2 - a ) , 点A
??? ? ?? ??? ? 到平面 BCC1 B1 的距离为 CA ? cos m , CA ??? ? ?? CA ×m ?? = m 2c c 2 + (2 - a )
2

= c .又依题设,点 A 到平面

BCC1 B1 的距离为 3 , \ c =

???? 3 .代入①解得 a = 3 (舍去)或 a = 1 .于是 AA1 = - 1 , 0 , 3 .设平面

(

)

? ? ???? ? ??? ? ? ???? ABA1 的法向量 n = ( p , q, r ) ,则 n ^ AA1 , n ^ AB ,即 n ?AA1
- 2 p + q = 0 .令 p =

? ??? ? 0 , n ?AB

0 , \ - p + 3r = 0 ,故且

3 ,则 q = 2 3, r =1 ,

? n?

?

3,2 3,1

? .又 p ? ? 0,0,1 ? 为平面 ABC 的法向量,

? ?

? ? ? ? ? ? n? p 1 ? ? ,∴二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 arccos 1 . 故 cos n, p ? ? ? 4 n? p 4
19.【解答】解(Ⅰ)由统计结果可得 T 的频率分布为 T(分钟) 频率 25 0. 30 0. 35 0. 40 0.

7

2

3

4

1

以频率估计概率得 T 的分布列为 T P 25 0. 2 30 0. 3 40 0. 1

从而数学期望 ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟) (Ⅱ)设 T1,T2 分别表示往、返所需时间,T1,T2 的取值相互独立,且与 T 的分布列相同,设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”,由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对应于“刘教授在 路途中的时间不超过 70 分钟” P( )=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1× 0.4+0.1×0.1=0.09 故 P(A)=1﹣P( )=0.91 20. (1)证明:∵an+1=-

an+2-1 an+1 1 1 ,∴an+1+1=- +1= an+2 =an+2, 2 分 an ? 2 an ? 2
3分 4分 6分

1 an+2 1 由于 an+1≠0,∴an+1+1=an+1=1+an+1, 1 ∴{an+1}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. 1

an+1=1+(n-1)=n,

∴an=

1 -1. n

(2)∵Tn=an+an+1+?+a2n-1 ? p-n, ∴n+an+an+1+?+a2n-1 ? p, 即(1+an)+(1+an+1)+(1+an+2)+?+(1+a2n-1) ? p,对任意 n∈N 恒成立, 而 1+an=
*

7分

1 , n
8 分

设 H(n)=(1+an)+(1+an+1)+?+(1+a2n-1), ∴H(n)= 1 1 1 +n+1+?+ , n 2n ? 1 1 1 1 1 1 +2n+2n+1, 2n ? 1 9分

H(n+1)=n+1+n+2+?+

8

1 1 1 1 1 ∴H(n+1)-H(n)=2n+2n+1- =2n+1-2n<0,

n

∴数列{H(n)}单调递减, ∴n∈N*时,H(n) ? H(1)=1,故 p ? 1 . ∴p 的最小值为 1. 21.解: (1) 对 f ( x) 求导得: f '( x) ? ?a ln(1 ? x) ? 12 分

10 分

1 ? ax ? b , 根据条件知 f '(0) ? 0 , 所以 1? x

1 ? b ? 0, b ? 1 .
(2) f ( x) ? (1 ? x) ln( x ? 1) ? x

f '( x) ? ? ln( x ? 1) ?

1? x 2x ? 1 ? ? ln( x ? 1) ? x ?1 x ?1

设 ? ( x) ? ? ln( x ? 1) ?

x?3 2x 则 ? '( x) ? ? , ? x ? ?1 , ?? ?( x) ? 0 . ( x ? 1) 2 x ?1

?? ( x) 单减, ?? (0) ? 0 ? (?1, 0), f ( x) 单增, (0, ??) f ( x) 单减.
(3) 由(1)得 f ( x) ? (1 ? ax)ln(1 ? x) ? x , f '( x ) ? ? a ln(1 ? x ) ?

1 ? ax ? 1, 1? x

( f '( x)) ' ? ?

a ?a(1 ? x) ? (1 ? ax) ax ? 2a ? 1 ? ?? . 2 1? x (1 ? x) (1 ? x) 2

①当 a ? ?

2a ? 1 a( x ? ) 1 f '( x) 在 [0,1] 上单 0 ? x ? 1 时, 由于 , 所以 ( f '( x)) ' ? ? a ? 0 , 于是 2 2 (1 ? x)

调递增, 从而 有

f '( x) ? f '(0) ? 0 , 因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增, 即 f ( x) ? f (0) ? 0 , 而且仅
ax ? 2a ? 1 ? 0 , 于是 f '( x) 在 [0,1] (1 ? x)2
? 2

f (0) ? 0 ; ②当 a ? 0 时, 由 0 ? x ? 1 , 有 ( f '( x)) ' ? ?

上单调递减, 即

f ( x) ? f (0) ? 0 , 而且仅有 f (0) ? 0 ; ③当 ? ? a ? 0 时, 令

2a ? 1 a( x ? ) 2a ? 1 m ? min{1, ? } , 当 0 ? x ? m 时, f '( x ) 在 [0, m] 上 a ( f '( x )) ' ? ? 0 , 于是 a 2 (1 ? x)
单调递减, 从而 仅有

f '( x) ? f '(0) ? 0 , 因此 f ( x) 在 [0, m] 上单调递减, 即 f ( x) ? f (0) ? 0 , 而且
1 2

f (0) ? 0 ,综上可知, 所求实数 a 的取值范围是 (??, ? ] .

22.试题解析:(1)由题意得点 M 的直角坐标为 ? 2, 2 ? ,曲线 C 的一般方程为

9

? x ? 1?

2

? y 2 ? 4 ..........2 分

设直线 l 的方程为 y ? 2 ? k ? x ? 2 ? ,即 kx ? y ? 2k ? 2 ? 0 ,.................3 分 ∵直线 l 过 M 且与曲线 C 相切,∴ 分

k ?2 1? k 2

? 2 ,....................4

4 ,....................5 分 3 ∴直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 2 或 4 ? cos ? ? 3? sin ? ? 14 ? 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
即 3k 2 ? 4k ? 0 ,解得 k ? 0或k=分 (2) ∵点 N 与点 M 关于 y 轴对称, ∴点 N 的直角坐标为 ? ?2, 2 ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 分 则点 N 到 圆心 C 的距离为 分 曲线 C 上的点到点 N 的距离的最小值为 13 ? 2 , 最大值为 13 ? 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

? ?2 ? 1?

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ? 22 ? 13 ,

? . 9 分曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围为 ? . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ? 13 ? 2, 13 ? 2 ? .
分 23.解 (1)当 a=2 时,f(x)=|2x-2|+2.

解不等式|2x-2|+2≤6 得-1≤x≤3. 因此 f(x)≤6 的解集为{x|-1≤x≤3}. (2)当 x∈R 时,

f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a
=|1-a|+a. 所以当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3 等价于|1-a|+a≥3. 当 a≤1 时,①等价于 1-a+a≥3,无解. 当 a>1 时,①等价于 a-1+a≥3,解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2,+∞).

10


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