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2016年北京高三二模解析大题理科


2016 年北京高三二模解析大题(理科) 1 . ( 2016 年 北 京 市 海 淀 区 高 三 二 模 理 ) 已 知 点 A( x1 , y1 ), D( x2 , y2 )( 其 中 x1 ? x2 ) 是 曲 线

y 2 ? 4 x( y? 0 ) 上的两点, A, D 两点在 x 轴上的射影分别为点 B, C ,且 | BC |? 2 . (Ⅰ)当点 B 的坐标为 (1,0) 时,求直线 AD 的斜率; S 1 (Ⅱ)记 ?OAD 的面积为 S1 ,梯形 ABCD 的面积为 S2 ,求证: 1 ? . S2 4
2 . (2016 年北京市西城区高三二模理)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点和短轴的两 a2 b2 个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为 4 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 B(0, m)(m ? 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,点 B 关于原点的对称点为 D,若点 D 总在以线段 EF 为直径的圆内,求 m 的取值范围.

3 . (2016 年北京市东城区高三二模理)已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点( 2 , 1 ),且以 a2 b2

椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 M(x, y ) 是椭圆 C 上的动点, P(p,0) 是 X 轴上的定点,求 MP 的最小值及取最小值 时点 M 的坐标. 4 . ( 2016 年北京市朝阳区高三二模理)在平面直角坐标系 xOy 中 ,点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 在椭圆

x2 xx ? y 2 ? 1上,过点 P 的直线 l 的方程为 0 ? y0 y ? 1 . 2 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若直线 l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A, B 两点,试求 ?OAB 面积的最小值; (Ⅲ)设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 Q 与点 F1 关于直线 l 对称,求证:点 Q, P, F2

C:

三点共线. 5 .(2016 年北京市丰台区高三二模理)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若椭圆 C 与直线 y ? x ? m 交于 M , N 两点,且 | MN |?

x2 y2 + ? 1. 4 3
12 2 ,求 m 的值; 7

(Ⅲ)若点 A ( x1 , y1 ) 与点 P( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,且点 A 在第一象限,点 P 在第二象限,点 B 与点
2 2 A 关于原点对称,求证:当 x1 ? x2 ? 4 时,三角形 ?PAB 的面积为定值.

6 . (2016 年北京市房山区高三二模理)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0,1) ,且长轴长 a 2 b2

是焦距的 2 倍. 过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 AB 垂直于 x 轴,判断点 O 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)若点 O 在以线段 AB 为直径的圆内,求直线 AB 的斜率 k 的取值范围. x2 y 2 7 . (2016 年北京市昌平区高三二模理) 已知椭圆 M : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的焦距为 2 ,点 D 0, a b

?

3

?

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在椭圆 M 上,过原点 O 作直线交椭圆 M 于 A 、 B 两点,且点 A 不是椭圆 M 的顶点,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 H ,点 C 是线段 AH 的中点,直线 BC 交椭圆 M 于点 P ,连接 AP . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程及离心率; (Ⅱ)求证: AB ? AP .

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答案 1. 2. 略 x2 ? y2 ? 1 2 (Ⅱ)解:(方法一)

EF ? 2 当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? 0 , 此时 E,F 为椭圆的上下顶点,且 , D (0, ? m ) 因为点 总在以线段 EF 为直径的圆内,且 m ? 0 ,所以 0 ? m ? 1 . 故点 B 在椭圆内 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m .
由方程组 ? ? x2
? y ? kx ? m, ? ? y ? 1, ?2
2

得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,

2 2 2 因为点 B 在椭圆内, 所以直线 l 与椭圆 C 有两个公共点,即 ? ? (4km) ? 4(2k ? 1)(2m ? 2) ? 0 . ?4km 2m2 ? 2 设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 2k ? 1 2k ? 1 G ( x , y ) 0 0 EF 设 的中点 ,



x0 ?

m x1 ? x 2 ? 2km m ? 2km y 0 ? kx 0 ? m ? 2 G( 2 , 2 ) ? 2 2 2k ? 1 , 所以 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ,
? 2km 2 m m 4k 4 ? 12k 2 ? 4 ) ?( 2 ? m) 2 ? 2 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 , 2k 2 ? 1 ? m 2 2k 2 ? 1 EF DG ? 2 对于 k ? R 恒成立. 所以

所以

DG ? (

EF ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 2 1 ? k 2

因为点 D 总在以线段 EF 为直径的圆内,
4 2 所以 m 4k ? 12k ? 4 ? 2 1 ? k 2 2 2k ? 1

2k 2 ? 1 ? m 2 . 2k 2 ? 1

化简,得 2m 2 k 4 ? 7m 2 k 2 ? 3m 2 ? 2k 4 ? 3k 2 ? 1 , 整理,得 k2 ?1 2 2 1 而 g (k ) ? 2 ? 1? 2 ≥1 ? ? (当且仅当 k ? 0 时等号成立). k ?3 k ?3 3 3 3 1 3 0?m? m2 ? 0?m? 3 , 由 m ? 0 ,得 3 3 . 综上,m 的取值范围是 所以 (方法二)
???? ???? 2m2 ? 2 ?4km DE ? DF ? 0 则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 因为点 D 总在以线段 EF 为直径的圆内 , 所以 2k ? 1 2k 2 ? 1 ???? ???? ???? ???? 2 因为 DE ? ( x1 , y1 ? m) , DF ? ( x2 , y2 ? m) , 所以 DE ? DF ? x1 x2 ? y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m ? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? m(kx1 ? m ? kx2 ? m) ? m2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? 2km( x1 ? x2 ) ? 4m2

m2 ?

k 2 ?1 k2 ?3,

2m2 ? 2 ?4km ? 2km 2 ? 4m2 ? 0 2 2k ? 1 2k ? 1 , 2 k ? 1 m2 ? 2 k ? 3 (以下与方法一相同,略) 整理,得 ? (k 2 ? 1)
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3.

解:(Ⅰ)椭圆的的标准方程为 (Ⅱ) MP
2

x2 y2 ? ?1 4 2

? ( x ? p) 2 ? y 2 .

x2 y2 x2 x2 ? ? 1 , 故 y 2 ? 2(1 ? ) ? 2 ? . 4 2 4 2 x2 1 2 1 2 2 ? x ? 2 px ? p 2 ? 2 ? ( x ? 2 p) 2 ? p 2 ? 2. 所以 MP ? ( x ? p) ? 2 ? 2 2 2 因为 M(x,y)是椭圆 C 上的动点, 所以 x ? 2 .
因为 M(x,y)是椭圆 C 上的动点,所以
2 (1) 若 2 p ? 2 即 p ? 1 ,则当 x ? 2 p 时 MP 取最小值 2 ? p ,
2 此时 M (2 p, ? 2 ? 2 p ) .

(2)若 p ? 1 ,则当 x ? 2 时, MP 取最小值 p ? 2 ,此时 M ( 2,0) . (3)若 p ? ?1 ,则当 x ? ?2 时, MP 取最小值 p ? 2 ,此时 M (?2,0) 4.

1 2 ? 2 2 (Ⅱ)因为直线 l 与 x 轴, y 轴分别相交于 A, B 两点,所以 x0 ? 0, y0 ? 0 . xx 2 2 令 y ? 0 ,由 0 ? y0 y ? 1 得 x ? ,则 A( , 0) . 2 x0 x0 xx 1 1 令 x ? 0 ,由 0 ? y0 y ? 1 得 y ? ,则 B(0, ) . 2 y0 y0
解:(Ⅰ) e ? 所以 ?OAB 的面积 S?OAB ? 因为点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C :

1 1 2 1 . OA OB ? ? 2 2 x0 y0 x0 y0

x2 x2 ? y 2 ? 1上,所以 0 ? y0 2 ? 1 . 2 2 2 x y x 1 2 0 0 2 ? 2. 所以 1 ? 0 ? y0 ? 2 .即 x0 y0 ? ,则 x0 y0 2 2 2 1 1 ? 2. 所以 S?OAB ? OA OB ? 2 x0 y0

x0 2 2 ? y0 2 ,即 x0 ? ?1, y0 ? ? 时, ?OAB 面积的最小值为 2 2 2 (Ⅲ)①当 x0 ? 0 时, P(0, ?1) . 当直线 l : y ? 1 时 , 易得 Q(? 1, 2), 此时 kF2 P ? ?1 , kF2Q ? ?1 . 因为 kF2Q ? kF2 P , 所以三点
当且仅当

Q, P, F2 共线. 同理,当直线 l : y ? ?1 时,三点 Q, P, F2 共线. ②当 x0 ? 0 时,设点 Q(m, n) ,因为点 Q 与点 F1 关于直线 l 对称,

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n ? x0 m ? 1 2 2 ? x0 ? 4 x0 ? 4 y0 ? 2 ? 2 ? y0 ? 2 ? 1, m ? , ? 2 2 ? 4 y0 ? x0 ? x0 m ? 2 y0 n ? x0 ? 4 ? 0, ? ? n 所以 ? 整理得 ? 解得 ? ?0 x0 2 y0 m ? x0 n ? 2 y0 ? 0. ? ? n ? 4 x0 y0 ? 8 y0 . ? 2 ? (? ) ? ?1. 2 2 ? ? m ?1 2 y0 4 y0 ? x0 ? ? 1 ? ? 2 2 x2 ? 4 x0 ? 4 y0 4x y ? 8 y 所以点 Q( 0 , 0 20 2 0 ) . 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 ???? ? ???? ? x2 ? 4 x ? 4 y 2 4x y ? 8 y 0 0 又因为 F2 P ? ( x0 ?1, y0 ) , F2Q ? ( 0 ? 1, 0 20 2 0 ) , 且 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

(

2 2 x0 ? 4 x0 ? 4 y0 4 x0 y0 ? 8 y0 (4 x0 ? 8 y0 2 ) ? (4 x0 ? 8)( x0 ? 1) ? 1) ? y ? ? ( x ? 1) ? y ? 0 0 0 2 2 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

? y0 ? ? y0 ?

4 x0 ? 8 y0 2 ? (4 x0 2 ? 4 x0 ? 8) 2 2 4 y0 ? x0

?8 y02 ? 4 x02 ? 8 ?4(2 y02 ? x02 ) ? 8 ?4 ? 2 ? 8 ? y ? ? y0 ? 2 ? 0. 0 2 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 ???? ? ???? ? 所以 F2 P// F2Q .所以点 Q, P, F2 三点共线. 1 5. 解:(Ⅰ)因为 a ? 2, b ? 3 ,所以 c ? 1 ,离心率 e ? 2 ? y ? x ? m, (Ⅱ) ? 2 ,消去 y 的并化简得 7 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 12 ? 0 2 ?3x ? 4 y ? 12
? ? 64m2 ? 28(4m2 ? 12) ? 16(21 ? 3m2 ) ? 0 ,

4 21 ? 3m2 2 12 2 1 ?1 ? 设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 | MN |? , 7 7 解得 m ? ?2 ,且满足 ? ? 0 y1 x ,即 y1x ? x1 y ? 0 . (Ⅲ)直线 AB 的方程为 y ? x1 | x y ? y2 x1 | 2 2 点 P( x2 , y2 ) 到直线 AB 的距离 d ? 2 1 , | AB |? 2 x1 ? y1 x12 ? y12 1 | x y ? y2 x1 | S?PAB ? | AB | d ? x12 ? y12 2 1 ?| y2 x1 ? x2 y1 | , 2 x12 ? y12
因为 x1 ? 0, x2 ? 0, y1 ? 0, y2 ? 0 ,

3 3 3 3 2 2 2 4 ? x12 , y2 ? 4 ? x2 y12 ? (4 ? x12 ), y2 ? (4 ? x2 ) , y1 ? , 2 2 4 4 所以 | y2 x1 ? x2 y1 |? y2 | x1 | ? y1 | x2 |

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3 3 2 2 ( 4 ? x12 | x2 | ? 4 ? x2 | x1 |) ? ( x2 ? x12 ) , ? 2 3 . 2 2 2 2 所以当 x1 ? x2 ? 4 时,三角形△PAB 的面积为定值 2 3 (Ⅲ)方法二:设直线 AB 的方程为 y ? kx ,即 kx ? y ? 0 . ?kx ? y ? 0, 12 2 2 2 2 2 ? ,解得 x1 . | AB |? 2 x1 ? k x1 ? 2 | x1 | 1 ? k . ? 2 2 2 3 ? 4k ?3x ? 4 y ? 12 | kx2 ? y2 | 点 P( x2 , y2 ) )到直线 AB 的距离 d ? , k2 ?1 1 | kx ? y2 | S?PAB ? | AB | d ?| x1 | 1 ? k 2 ? 2 ?| x1 || kx2 ? y2 | , 2 k2 ?1 ?
因为 x1 ? 0, x2 ? 0, y1 ? 0, y2 ? 0 ,则 k ? 0 . 所以 x1 ?

2 3 3 ? 4k 2

2 , x2 ? ? 4 ? x1 ?

?4k 3 ? 4k 2

,

3 3 3 2 , 4 ? x2 ? x1 ? 2 2 3 ? 4k 2 ?4k 3 kx2 ? y2 ? k ? ( )? ? ? 3 ? 4k 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 3 S?PAB ?| x1 || kx2 ? y2 |? ? 3 ? 4k 2 ? 2 3 . 所以三角形△PAB 的面积为定值 2 3 ? 4k x2 ? y2 ? 1 6. 解:(Ⅰ)椭圆的标准方程为: 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 F (?1, 0) , 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 的方程是 x ? ?1 ? x ? ?1 AB 2 ? ? OF 由 ? x2 得y?? 所以 AB ? 2 y ? 2 ,又 OF ? c ? 1 因为 2 2 2 ? ? y ?1 ?2 y2 ?
所以点 O 在以线段 AB 为直径的圆外

2 2 ), (- 1, ) 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 1 1 OA ? OB ? OA OB cos ?AOB ? (?1, ) ? (?1, ? ) ?1? ? ? 0 2 2 2 2 所以 cos ?AOB ? 0 ,即 ?AOB 为锐角.所以点 O 在以线段 AB 为直径的圆外 (Ⅲ)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
方法二:点 A, B 的坐标为 (- 1,

? y ? k ( x ? 1) 4k 2 2k 2 ? 2 ? 2 2 2 2 , x x ? 由 ? x2 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 所以 x1 ? x2 ? ? 2 1 2 2 2k ? 1 2k 2 ? 1 ? ? y ?1 ?2 ??? ? ??? ? 方法一:因为点 O 在以线段 AB 为直径的圆内, 所以 ?AOB 为钝角,所以 OA ? OB ? 0
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??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k ( x1 ? 1)k ( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2 2(k ? 1)( k ? 1) ?4k ? 2 ? k2 ? 0 2 2k ? 1 2k ? 1 方法二:线段 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) ,则 ?
2 2 4

整理得 k 2 ? 2 所以 ? 2 ? k ?

2

x0 ?

x1 ? x2 2k 2 2k 2 k ?? 2 ? 1) ? 2 , y0 ? k (? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
2

2 ?? 4k 2 ? 8k 2 ? 8 ? 2 2 ? ? AB ? (1 ? k ) ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? (1 ? k ) ?? ? 2 ? ? ? ? ? 2k ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? ? ? ? ?

8(k 2 ? 1)2 k 2 ?1 ? ? (2k 2 ? 1)2 2k 2 ? 1

4k 4 ? k 2 OM ? x0 ? y0 ? (2k 2 ? 1)2
2 2

因为点 O 在以线段 AB 为直径的圆内,所以 AB ? 2 OM 所以 AB ? 4 OM
2 2

所以

8(k 2 ? 1) 2 4(4k 4 ? k 2 ) ? (2k 2 ? 1) 2 (2k 2 ? 1)2

2k 4 ? 3k 2 ? 2 ? 0

0 ? k2 ? 2
7.

所以 ? 2 ? k ?
2

2

x y2 1 ? ? 1 ,椭圆 M 的离心率为 2 4 3 y (II)设 A( x0 , y0 ), P( x1 , y1 ) ,则 B ( ? x0 , ? y0 ), C ( x0 , 0 ). 2 2 2 2 x y x1 y2 由点 A, P 在椭圆上,所以 0 ? 0 ? 1 ① ? 1 ?1 ② 4 3 4 3 2 2 y ? y0 3 点 A 不是椭圆 M 的顶点,②-①得 12 ?? . 2 x1 ? x0 4 3 y0 y1 ? y0 3y y ? y0 3 y0 , k BC ? 2 ? 0 , 且 点 B, C , P 三 点 共 线 , 所 以 1 法 一 : 又 k PB ? , 即 ? x1 ? x0 2 x0 4 x0 x1 ? x0 4 x0 y0 4( y1 ? y0 ) y y ?y 4( y ? y ) y ? y 4( y 2 ? y 2 ) 4 3 ? . 所以, k AB ?kPA ? 0 ? 1 0 ? 1 0 ? 1 0 ? 12 02 ? ? (? ) ? ?1, x0 x1 ? x0 3( x1 ? x0 ) x1 ? x0 3( x1 ? x0 ) 3 4 x0 3( x1 ? x0 )
解:(I)所以椭圆 M 的方程为 即 AB ? AP 法二: 由 已 在 , kPA ? kPB
k PA ? ?



AB



AP











y ?y y ?y y2?y 2 ? 1 0 ? 1 0 ? 12 02 ? x1 ? x0 x1 ? x0 x1 ? x0

3 ? ( x12 ? x0 2 ) 3 3y 4 ? ? 又 k PB ? k BC ? 0 , 得 2 2 4 x0 x1 ? x0 4

x0 y ?x , 则 k AB ?k PA ? 0 ?( 0 ) ? ?1 , y0 x0 y0
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即 AB ? AP

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